代数式求值的十种常用方法

代数式求值的十种常用方法代数式求值的十种常用方法 代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型 它除了按常规直接代入求值 外 还要根据其形式多样 思路多变的特点 灵活运用恰当的方法和技巧 本文结合近几 年各地市的中考试题 介绍十种常用的求值方法 以供参考 一 利用非负数的性质 若已知条件是几个非负数的和的形式 则可利用 若几个非负数的和为零 则每个非 负数都应为零 来确定字母的值 再代入求值 目前 经常出现的非负数有 a 2 a a 等 例 1 若 a31 和 3b8 互为相反数 则 27 ab 1 2 解 由题意知 0 3b8 a31 则 0a31 且 03b8 解得3 1 a 8 3 b 因为8 1 8 3 3 1 ab 所以 3727827 ab 1 2 2 故填 37 练习 2010 年深圳市 若 0 3b 2a 2 则 2007 ba 的值是 A 0B 1C 1D 2007 提示 2a 3b 选 C 二 化简代入法 化简代入法是指先把所求的代数式进行化简 然后再代入求值 这是代数式求值中最 常见 最基本的方法 例 2 先化简 再求值 bababbab2ba 322 其中2 1 a 1b 解 原式 ab2babab2ababab2a 22222222 当2 1 a 1b 时 原式 11 2 1 2ab2 练习 2009 年河北省 已知 3a 2b 求 22 bab2a ab b 1 a 1 的值 提示 原式ba 1 当 3a 2b 时 原式 1 三 整体代入法 当单个字母的值不能或不用求出时 可把已知条件作为一个整体 代入到待求的代数 式中去求值的一种方法 通过整体代入 实现降次 归零 约分的目的 以便快速求得其 值 例 3 2010 年已知 4 b 1 a 1 则ab7b2a2 bab3a 解 由 4 b 1 a 1 即 ab4ba 所以原式 ab7ba2 ab3ba ab7b2a2 bab3a 1 ab ab ab7ab8 ab3ab4 故填 1 练习 代数式 6x4x3 2 的值为 9 则 6x 3 4 x 2 的值为 A 7B 18C 12D 9 提示 1x 3 4 x 2 选 A 四 赋值求值法 赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定 然后求出所提供的代数式 的值的一种方法 这是一种开放型题目 答案不唯一 在赋值时 要注意取值范围 例 4 请将式子 1x 1 1 1x 1x 2 化简后 再从 0 1 2 三个数中选择一个你喜欢且使 原式有意义的 x 的值代入求值 解 原式 1x 1 1x 1x 1x 1x1x 2x 1x 2x 1x 依题意 只要1x 就行 当 0 x 时 原式22x 或当2x 时 原式42x 练习 先将式子 2 2 x 1x x 1 1 化简 然后请你自选一个理想的 x 值求出原式的值 提示 原式1x x 只要 0 x 和1x 的任意实数均可求得其值 五 倒数法 倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形 从而求出代数式的值的一种方法 例 5 若 7y3y2 2 2 的值为4 1 则 1y6y4 1 2 的值为 A 1B 1C 7 1 D 5 1 解 由 4 1 7y3y2 2 2 取倒数得 4 2 7y3y2 2 即 1y3y2 2 所以 1y3y221y6y4 22 1112 则可得 1 1y6y4 1 2 故选 A 练习 已知 4 x 1 x 则1x5x x 24 2 的值是 提示 133 x 1 x5 x 1 x x 1x5x 2 2 2 2 24 填13 1 六 参数法 若已知条件以比值的形式出现 则可利用比例的性质设比值为一个参数 或利用一个 字母来表示另一个字母 例 6 如果 2 b a 则 22 22 ba baba 的值是 A 5 4 B 1C 5 3 D 2 解 由 2 b a 得 b2a 所以原式 22 22 22 22 bb2 bbb2b2 ba baba 5 3 b5 b3 2 2 故选 C 练习 若3 4 b a 则b ba 的值是 A 3 1 B 3 2 C 1D 3 4 提示 设 k4a k3b 选 A 七 配方法 若已知条件含有完全平方式 则可通过配方 把条件转化成几个平方和的形式 再利 用非负数的性质来确定字母的值 从而求得结果 例 7 已知 05b4a2ba 22 求 3b4a2 2 的值 解 由 05b4a2ba 22 得 04b4b1a2a 22 即 02b1a 22 由非负数的性质得 01a 02b 解得 1a 2b 所以原式 7324123b4a2 22 练习 若 12c3b2a 且 cabcabcba 222 则 32 cba 提示 2cba 填 14 八 平方法 在直接求值比较困难时 有时也可先求出其平方值 再求平方值的平方根 即以退为 进的策略 但要注意最后结果的符号 例 8 已知 7yx 且 12xy 则当 yx 时 y 1 x 1 的值等于 解 因为 7yx 12xy 所以 22 2 22 yx yx xy xy y 1 x 1 144 1 12 1247 yx xy4yx 2 2 22 2 又因为 yx 所以 0 y 1 x 1 所以 12 1 y 1 x 1 故填2 1 练习 已知 x 1 x 3 则x 1 x 的值是 提示 54 x 1 x x 1 x 2 填 5 九 特殊值法 有些试题 用常规方法直接求解比较困难 若根据答案中所提供的信息 选择某些特 殊情况进行分析 或选择某些特殊值进行计算 把一般形式变为特殊形式进行判断 这时 常常会使题目变得十分简单 例 9 若 3 3 2 210 3 xaxaxaax2 则 2 31 2 20 aaaa 的值为 解 由 3 3 2 210 3 xaxaxaax2 知 若令1x 则 3 3210 12aaaa 若令1x 则 3 3210 12aaaa 所以 33 31203120 2 31 2 20 1212aaaaaaaaaaaa 11212 3 故填 1 练习 已知实数 a b 满足 1ba 那么1b 1 1a 1 22 的值为 A 4 1 B 2 1 C 1D 2 提示 可令 1a 1b a b c 的取值不惟一 选 C 十 利用根与系数的关系 如果代数式可以看作某两个 字母 的轮换对称式 而这两个 字母 又可能看作某 个一元二次方程的根 可以先用根与系数的关系求得其和 积式 再整体代入求值 例 10 2007 年德阳市 阅读材料 设一元二次方程 0cbxax 2 的两根为1 x 2 x 则两根与方程系数之间有如下关系 a b xx 21 a c xx 21 根据该材料填空 已知1 x 2 x 是方程 03x6x 2 的两实数根 则 2 1 1 2 x x x x 的值为 解 由根与系数的关系得 6xx 21 3xx 21 所以 21 2 2 2 1 2 1 1 2 xx xx x x x x 10 3 326 xx xx2xx 2 21 21 2 21 故填 10 练习 2009 年云南省 已知1 x 2 x 是一元二次方程 02xx 2