全等三角形知识总结及典型例题

1 全等三角形知识总结及典型例题全等三角形知识总结及典型例题 知识点知识点 1 1 全等三角形的定义和表示方法 全等三角形的定义和表示方法 1 1 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 重合的顶点叫做对应顶点 重合的边叫做对 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 重合的顶点叫做对应顶点 重合的边叫做对 应边 重合的角叫做对应角应边 重合的角叫做对应角 2 2 全等全等 用用 表示 读作表示 读作 全等于全等于 记两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在 记两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在 对应的位置上 对应的位置上 例例 1 1 如图 11 1 3 所示 图中两个三角形能完全重合 下列写法正确的是 A ABE AFB B ABE ABF C ABE FBA D ABE FAB 知识点知识点 2 2 全等三角形的性质 全等三角形的性质 性质 全等三角形中 对应边相等 对应角相等 性质 全等三角形中 对应边相等 对应角相等 注意 全等三角形的对应线段 对应边上的中线 对应边上的高 对应角的平分线 相等 全等三角 形的周长相等 面积相等 例例 2 2 如图 11 1 7 ABD ACE 点 B 和点 C 是对应顶点 AB 8 AD 6 BD 7 则 BE 的长是 A 1 B 2 C 4 D 6 例例 3 3 如图 11 1 12 ABD EBC AB 3cm BC 4 5cm 1 求 DE 的长 2 判断 AC 与 BD 的位置关系 并说明理由 1 1 边边边边边边 SSSSSS 三边对应相等的两个三角形全等 三边对应相等的两个三角形全等 2 2 边角边边角边 SASSAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3 3 角边角角边角 ASAASA 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 4 4 角角边角角边 AASAAS 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 5 5 斜边 直角边斜边 直角边 HLHL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 注意 注意 三角形全等证明时要注意应用 公共边公共边 公共角公共角 对顶角对顶角 等 证明线段或角相等 通常转换证明线段或角所在的三角形全等 在判定两个三角形全等时 至少有一边对应相等 有两边 和一角对应相等 角必须是这两边的夹角 HL HL 只适合于 Rt 利用全等三角形可以测出不能 或利用全等三角形可以测出不能 或 不易 直接测量长度的线段长 例如 河宽 或利用全等测量小口瓶的内径等 不易 直接测量长度的线段长 例如 河宽 或利用全等测量小口瓶的内径等 例例 4 SSS 1 4 SSS 1 如图 点A C F D在同一直线上 AF DC AB DE BC EF求证 DEAB 2 在 ABC 中 90C D E 分别为 AC AB 上的点 且 AD BD AE BC DE DC 求证 ABDE 例例 5 SAS 5 SAS 1 已知 如图 AB AC AD AE 1 2 试说明 ABD ACE A B E F A C B D E E D A B C 2 2 已知 如图 ABC 中 AD BC 于 D AD BD DC DE C 50 求 EBD 的度数 例例 6 ASA 6 ASA 1 已知 如图 FB CE AB ED AC FD F C 在直线 BE 上 求证 AB DE AC DF 例例 7 AAS 7 AAS 已知 如图 AC CD 于 C BD CD 于 D M 是 AB 的中点 连结 CM 并延长交 BD 于点 F 求证 AC BF 例例 8 HL 8 HL 1 如图 ABC 中 C 90 AB 2AC M 是 AB 的中点 点 N 在 BC 上 MN AB 求证 AN 平分 BAC 2 公路上 A B 两站 视为直线上的两点 相距 26km C D 为两村庄 视为两个点 DA AB 于点 A CB AB 于点 B 已知 DA 16km BC 10km 现要在公路 AB 上建一个土特产收购站 E 使 CD 两村庄到 E 站 的距离相等 那么 E 站应建在距 A 站多远才合理 知识点知识点 4 4 角平分线的作法 性质 判定和辅助线 角平分线的作法 性质 判定和辅助线 1 1 尺规作图画角平分线尺规作图画角平分线 以 O 为圆心 适当长为半径画弧 交 OA 于 M 交 OB 于 N 分别以 M N 为圆心 大于的长为半径画弧 两弧在 AOB 的内部交于点 C MN 2 1 画射线 OC 射线 OC 即为所求 如图 1 2 2 角平分线性质定理 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 角平分线性质定理 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B A 2 1 N M C A E B C D 3 E F CB A D 图形表示 若 CD 平分 ADB 点 P 是 CD 上一点 PE AD 于点 E PF BD 于点 F 则 PE PF 如图 2 3 3 角平分线的判定定理 角平分线的判定定理 到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 图形表示 若 PE AD 于点 E PF BD 于点 F PE PF 则 PD 平分 ADB 如图 3 4 4 角平分线常作的辅助线 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线得到相等角平分线常作的辅助线 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线得到相等 图 1 图 2 图 3 例例 9 9 角平分线性质 1 如图 在 ABC 中 AD 为 BAC 的平分线 DE AB 于 E DF AC 于 F ABC 面积是 28 cm2 AB 20cm AC 8cm 则 DE 的长为 cm 2 已知 如图 AM是 BAC的平分线 O是AM上一点 过点O分别作AB AC的垂线 垂足为F