胡盘新主编《普通物理学简明教程》-03刚体的定轴转动ppt课件.ppt

第三章刚体的定轴转动 本章知识结构 角动量 力矩作功 转动动能 刚体转动 角速度 角加速度 教学基本要求 一理解描写刚体定轴转动的物理量 并掌握角量与线量的关系 二理解力矩和转动惯量概念 掌握刚体绕定轴转动的转动定理 三理解角动量概念 掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题 四理解刚体定轴转动的转动动能概念 能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律 3 1转动动能转动惯量 刚体 在外力作用下 形状和大小都不发生变化的物体 任意两质点间距离保持不变的特殊质点组 刚体最简单的运动形式 平动 转动 一 刚体 工s03 平动3 swf 平动 若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同 或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 二 平动和转动 平动视频 工s03 平动2 swf 转动 刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 转动又分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动 工s03 转动 swf 三 刚体的定轴转动 定轴转动 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动 且在相同时间内转过相同的角度 角加速度 1 每一质点均作圆周运动 圆面为转动平面 2 任一质点运动均相同 但不同 3 运动描述仅需一个坐标 定轴转动的特点 刚体定轴转动 一维转动 的转动方向可以用角速度的正负来表示 角位移 角坐标 角速度矢量 方向 右手螺旋方向 四 刚体转动的角速度和角加速度 角量与线量的关系 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时 刚体做匀变速转动 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机 滑论半径为0 5m 如果升降机从静止开始以a 0 4m s2匀加速上升 求 1 滑轮的角加速度 2 开始上升后 5秒末滑轮的角速度 3 在这5秒内滑轮转过的圈数 4 开始上升后 1秒末滑轮边缘上一点的加速度 不打滑 解 1 轮缘上一点的切向加速度与物体的加速度相等 Example3 1 线度角度关系 2 3 4 合加速度的方向与轮缘切线方向夹角 质点运动的动能 刚体是由许多质点组成的 第小块质元的质量其动能 绕定轴转动刚体的总动能 五 刚体的转动动能 理论计算 单位 kgm2 表示刚体相对于确定转轴的特征的物理量 六 转动惯量 一质点对O点 J mr2 同样质量做成半径r的圆环 对中心轴 例 O 质量离散分布刚体的转动惯量 转动惯性的计算方法 解设棒的线密度为 取一距离转轴OO 为处的质量元 例题3 3一质量为 长为的均匀细长棒 求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 如转轴过端点垂直于棒 Example2 P97 3 3 解 设圆盘的质量面密度为 在圆盘上取一半径为r 宽度为dr的圆环 如图 环的面积为2 rdr 环的质量dm 2 rdr 可得 Example3 P98 3 4 转动惯量与质量分布有关 转动惯量与材料性质有关 平行轴定理 刚体对任一轴的转动惯量J 等于对过中心的平行轴的转动惯量与二轴间的垂直距离h的平方和刚体质量的乘积之和 转动惯量与转轴位置有关 转动惯量是描述刚体对轴转动惯性大小的物理量 决定转动惯量的大小的因素 通过任一转轴A的转动惯量 取C为坐标原点 竿子长些还是短些较安全 飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘 例3 4求质量m半径R的 1 均质圆环 2 均质圆盘对通过直径的转轴的转动惯量 解 1 圆环 Example 圆环 2 圆盘 可见 转动惯量与刚体的质量分布有关 例2 计算质量为m 半径为R的均匀薄圆环的转动惯量 轴与圆环平面垂直并通过圆心 解 如图各质元到轴的垂直距离相等 转动惯量可迭加 质量为m 半径为R的薄壁圆筒对其轴的转动惯量也是 例3 计算质量为m 半径为R 厚为l的均匀圆盘的转动惯量 轴与盘面垂直并通过盘心 Example 3 2力矩的功定轴转动定律 力臂 刚体绕Oz轴旋转 力作用在刚体上点P 且在转动平面内 为由点O到力的作用点P的径矢 对转轴Z的力矩 一力矩 2 合力矩等于各分力矩的矢量和 其中对转轴的力矩为零 故对转轴的力矩 二 力矩的功 力矩的功 当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时 就称力矩对刚体做功 力对P点作功 因 力矩作功 对于刚体定轴转动情形 因质点间无相对位移 任何一对内力作功为零 1 转动动能 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 三 刚体绕定轴转动的动能定理 2 定轴转动的动能定理 表明 一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样 即 质心高度为 对于一个不太大的质量为的物体 它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和 四 刚体的重力势能 例题3 5如图 冲床上配置一质量为5000kg的飞轮 r1 0 3m r2 0 2m 今用转速为900r min的电动机借皮带传动来驱动飞轮 已知电动机的传动轴直径为d 10cm 1 求飞轮的转动动能 2 若冲床冲断0 5mm厚的薄钢片需用冲力9 80 104N 所消耗的能量全部由飞轮提供 问冲断钢片后飞轮的转速变为多大 Example4 P100 3 5 解 1 为了求飞轮的转动动能 需先求出它的转动惯量和转速 因飞轮质量大部分分别布在轮缘上 由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式 得 皮带传动机构中 电动机的传动轴是主动轮 飞轮是从动轮 两轮的转速与轮的直径成反比 即飞轮的转速为 由此得飞轮的角速度 这样飞轮的转动动能是 2 在冲断钢片过程中 冲力F所作的功为 这就是飞轮消耗的能量 此后飞轮的能量变为 由 求得此时间的角速度 为 而飞轮的转速变为 解 先对细棒OA所受的力作一分析 重力作用在棒的中心点C 方向竖直向下 轴和棒之间没有摩擦力 轴对棒作用的支承力垂直于棒和轴的接触面且通过O点 在棒的下摆过程中 此力的方向和大小是随时改变的 例题3 6一根质量为m 长为l的均匀细棒OA 如图 可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动 今使棒从水平位置开始自由下摆 求细棒摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度 Example 细杆 在棒的下摆过程中 对转轴O而言 支撑力N通过O点 所以支撑力N的力矩等于零 重力G的力矩则是变力矩 大小等于mg l 2 cos 棒转过一极小的角位移d 时 重力矩所作的元功是 在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中 重力矩所作的功是 应该指出 重力矩作的功就是重力作的功 也可用重力势能的差值来表示 棒在水平位置时的角速度 0 0 下摆到竖直位置时的角速度为 按力矩的功和转动动能增量的关系式得 由此得 所以细棒在竖直位置时 端点A和中心点C的速度分别为 应用牛顿第二定律 可得 对刚体中任一质量元 外力 内力 采用自然坐标系 上式切向分量式为 五 刚体定轴转动定律 用ri乘以上式左右两端 设刚体由N个点构成 对每个质点可写出上述类似方程 将N个方程左右相加 得 根据内力性质 每一对内力等值 反向 共线 对同一轴力矩之代数和为零 得 得到 上式左端为刚体所受外力的合外力矩 以M表示 右端求和符号内的量与转动状态无关 称为刚体转动惯量 以J表示 于是得到 刚体定轴转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比 例题3 6一轻绳跨过一定滑轮 滑轮视为圆盘 绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2 m1 m2如图所示 设滑轮的质量为m 半径为r 所受的摩擦阻力矩为m 绳与滑轮之间无相对滑动 试求物体的加速度和绳的张力 解 滑轮具有一定的转动惯量 在转动中受到阻力矩的作用 两边的张力不再相等 设物体1这边绳的张力为T1 T1 T1 T1 物体2这边的张力为 T2 T2 T2 T2 Example3 2 P103 3 6 因m2 m1 物体1向上运动 物体2向下运动 滑轮以顺时针方向旋转 Mr的指向如图所示 可列出下列方程 式中 是滑轮的角加速度 a是物体的加速度 滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等 即 从以上各式即可解得 而 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m 0 M 0时 有 上题中的装置叫阿特伍德机 是一种可用来测量重力加速度g的简单装置 因为在已知m1 m2 r和J的情况下 能通过实验测出物体1和2的加速度a 再通过加速度把g算出来 在实验中可使两物体的m1和m2相近 从而使它们的加速度a和速度v都较小 这样就能角精确地测出a来 例题3 7一半径为R 质量为m匀质圆盘 平放在粗糙的水平桌面上 设盘与桌面间摩擦系数为 令圆盘最初以角速度 0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转 问它经过多少时间才停止转动 解 由于摩擦力不是集中作用于一点 而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上 力矩的计算要用积分法 在图中 把圆盘分成许多环形质元 每个质元的质量dm rd dre 所受到的阻力矩是r dmg Example P103 3 7 此处e是盘的厚度 圆盘所受阻力矩就是 因m e R2 代入得 根据定轴转动定律 阻力矩使圆盘减速 即获得负的角加速度 设圆盘经过时间t停止转动 则有 由此求得 例 物体m1 m2 滑轮 R m 阻力矩Mf和绳子质量忽略 不伸长 不打滑 求重物的加速度及绳中张力 解 Mf a Example 不计轴上摩擦 不计滑轮质量 Mf 0 m 0 图示 已知MRm 求 解 Example 圆锥摆 和 分别为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度 一质量为 半径为R的圆盘 可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 圆盘上绕有轻绳 一端挂质量为m的物体 问物体在静止下落高度h时 其速度的大小为多少 设绳的质量忽略不计 解拉力对圆盘做功 由刚体绕定轴转动的动能定理可得 拉力的力矩所作的功为 Example 物体由静止开始下落 解得 并考虑到圆盘的转动惯量 由质点动能定理 例5一长为质量为匀质细杆竖直放置 其下端与一固定铰链O相接 并可绕其转动 由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态 当其受到微小扰动时 细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动 试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度 解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用 由转动定律得 Example 式中 得 由角加速度的定义 代入初始条件积分得 3 3定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1质点的角动量 质量为的质点以速度在空间运动 某时刻相对原点O的位矢为 质点相对于原点的角动量 大小 的方向符合右手法则 一 刚体的角动量 2刚体定轴转动的角动量 大小 方向 定义转动惯量 二 刚体定轴转动的角动量定理 刚体定轴转动定理 则该系统对该轴的角动量为 由几个物体组成的系统 如果它们对同一给定轴的角动量分别为 对于该系统还有 为时间内力矩M对给定轴的冲量矩之和 角动量定理的积分形式 则由 得 动量矩守恒定律 若一个系统一段时间内所受合外力矩M恒为零 则此系统的总矩动量L为一恒量 恒量 讨论 a 对于绕固定转轴转动的刚体 因J保持不变 当合外力矩为零时 其角速度恒定 恒量 恒量 三 定轴转动刚体的角动量守恒定律 b 若系统由若干个刚体构成 当合外力矩为零时 系统的角动量依然守恒 J大 小 J小 大 c 若系统内既有平动也有转动现象发生 若对某一定轴的合外力矩为零 则系统对该轴的角动量守恒 理工v03 茹科夫斯基转椅 30s WMV L A B A B C C 常平架上的回转仪 应用事例 精确制导 角动量守恒视频 理工v03 角动量直升机 45s WMV 例题3 8工程上 常用摩擦啮合器使两飞轮以相同的转速一起转动 如图所示 A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上 A轮的转动惯量为JA 10kg m2 B的转动惯量为JB 20kg m2 开始时A轮的转速为600r min B轮静止 C为摩擦啮合器 求两轮啮合后的转速 在啮合过程中 两轮的机械能有何变化 Example3 3 P108 3 8 解 以飞轮A B和啮合器C作为一系统来考虑 在啮合过程中 系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力 前者对转轴的力矩为零 后者对转轴有力矩 但为系统的内力矩 系统没有受到其他外力矩 所以系统的角动量守恒 按角动量守恒定律可得 为两轮啮合后共同转动的角速度 于是 以各量的数值代入得 或共同转速为 在啮合过程中 摩擦力矩作功 所以机械能不守恒 部分机械能将转化为热量 损失的机械能为 例题3 7一匀质细棒长为l 质量为m 可绕通过其端点O的水平轴转动 如图所示 当棒从水平位置自由释放后 它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞 该物体的质量也为m 它与地面的摩擦系数为 相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止 求相撞后棒的质心C离地面的最大高度h 并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件 解 这个问题可分为三个阶段进行分析 第一阶段是棒自由摆落的过程 这时除重力外 其余内力与外力都不作功 所以机械能守恒 我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能 Example3 4 摆动 零点 用 表示棒这时的角速度 则 1 第二阶段是碰撞过程 因碰撞时间极短 自由的冲力极大 物体虽然受到地面的摩擦力 但可以忽略 这样 棒与物体相撞时 它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零 所以 这个系统的对O轴的角动量守恒 我们用v表示物体碰撞后的速度 则 2 式中 为棒在碰撞后的角速度 它可正可负 取正值 表示碰后棒向左摆 反之 表示向右摆 第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程 物体作匀减速直线运动 加速度由牛顿第二定律求得为 3 由匀减速直线运动的公式得 由式 1 2 与 4 联合求解 即得 5 亦即l 6 s 当 取负值 则棒向右摆 其条件为 亦即l 6 s 棒的质心C上升的最大高度 与第一阶段情况相似 也可由机械能守恒定律求得 把式 5 代入上式 所求结果为 当 取正值 则棒向左摆 其条件为 6 例题3 9恒星晚期在一定条件下 会发生超新星爆发 这时星体中有大量物质喷入星际空间 同时星的内核却向内坍缩 成为体积很小的中子星 中子星是一种异常致密的星体 一汤匙中子星物体就有几亿吨质量 设某恒星绕自转轴每45天转一周 它的内核半径R0约为2 107m 坍缩成半径R仅为6 103m的中子星 试求中子星的角速度 坍缩前后的星体内核均看作是匀质圆球 解 在星际空间中 恒星不会受到显著的外力矩 因此恒星的角动量应该守恒 则它的内核在坍缩前后的角动量J0 0和J 应相等 因 Example P109 3 9 代入J0 0 J 中 整理后得 由于中子星的致密性和极快的自转角速度 在星体周围形成极强的磁场 并沿着磁轴的方向发出很强的无线电波 光或X射线 当这个辐射束扫过地球时 就能检测到脉冲信号 由此 中子星又叫脉冲星 目前已探测到的脉冲星超过300个 例题3 10图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J 2 103kg m2 它以 0 2rad s的角速度绕中心轴旋转 宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转 每个喷管的位置与轴线距离都是r 1 5m 两喷管的喷气流量恒定 共是 2kg s 废气的喷射速率 相对于飞船周边 u 50m s 并且恒定 问喷管应喷射多长时间才能使飞船停止旋转 解 把飞船和排出的废气看作一个系统 废气质量为m 可以认为废气质量远小于飞船的质量 Example P109 3 10 所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量 即 在喷气过程中 以dm表示dt时间内喷出的气体 这些气体对中心轴的角动量为dm r u v 方向与飞船的角动量相同 因u 50m s远大于飞船的速率v r 所以此角动量近似地等于dm ru 在整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为 当宇宙飞船停止旋转时 其角动量为零 系统这时的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量 即为 在整个喷射过程中 系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零 所以系统对于此轴的角动量守恒 即L0 L1 由此得 即 于是所需的时间为 宇宙飞船中有三个宇航员绕着船舱内壁按同一方向跑动以产生人造重力 1 如果想使人造重力等于他们在地面上时受的自然重力 那么他们跑动的速率应多大 设他们的质心运动的半径为2 5m 人体当质心处理 2 如果飞船最初未动 当宇航员按上面速率跑动时 飞船将以多大角速度旋转 设每个宇航员的质量均为70kg 飞船船体对于其纵轴的转动惯量为3 105kg m2 3 要使飞船转过30 宇航员需要跑几圈 解 1 应用牛顿第二运动定律 例 角动量守恒定律 2 应用角动量守恒定律 3 应用角动量守恒定律 例一长为l 质量为m的匀质细杆 可绕光滑轴O在铅直面内摆动 当杆静止时 一颗质量为m0的子弹水平射入与轴相距为a处的杆内 并留在杆中 使杆能偏转到q 300 求子弹的初速v0 解 分两个阶段进行考虑 其中 1 子弹射入细杆 使细杆获得初速度 因这一过程进行得很快 细杆发生偏转极小 可认为杆仍处于竖直状态 子弹和细杆组成待分析的系统 无外力矩 满足角动量守恒条件 子弹射入细杆前 后的一瞬间 系统角动量分别为 例题 角动量能量综合 2 子弹随杆一起绕轴O转动 以子弹 细杆及地球构成一系统 只有保守内力作功 机械能守恒 选取细杆处于竖直位置时子弹的位置为重力势能零点 系统在始末状态的机械能为 由角动量守恒 得 1 由机械能守恒 E E0 代入q 300 得 将上式与联立 并代入J值 得 进动 preccesion 物体