几种典型带电体的场强和电势公式

几种电荷分布所产生的场强和电势几种电荷分布所产生的场强和电势 1 均匀分布的球面电荷 球面半径为 R 带电量为 q 电场强度矢量 球面内 即 球面外 即 RrrE Rr r rq rE 0 4 1 3 0 电势分布为 球内 球外 4 1 4 1 0 0 R q rU r q rU 2 均匀分布的球体电荷 球体的半径为 R 带电量为 q 电场强度矢量 球体外 即 球体内 即 Rr r rq rE Rr R rq rE 4 1 4 1 3 0 3 0 电势分布为 即球内 即球外 3 8 1 4 1 3 22 0 0 Rr R rRq rU Rr r q rU 3 均匀分布的无限大平面电荷 电荷面密度为 电场强度矢量 离无关 平板两侧的场强与距 2 0 ixE 电势分布为 其中假设处为零电势参考点 若选取原点 即带 rrrU 0 0 2 0 r 电平面 为零电势参考点 即 那么其余处的电势表达式为 0 0 U 0 2 0 2 0 0 xxxU xxxU 4 均匀分布的无限长圆柱柱面电荷 圆柱面的半径为 R 单位长度的带电量 为 电场强度矢量 即在柱面内 即在柱面外 RrrE Rr r r rE 0 2 2 0 电势分布为 即柱体内 即柱体外 ln 2 ln 2 0 0 Rr R r rU Rr r r rU a a 其中假设处为零电势参考点 且处位于圆柱柱面外部 即 R 若 a r a r a r 选取带电圆柱柱面处为零电势参考点 即 那么 其余各处的电势 0 RU 表达式为 即在圆柱面外 即在圆柱面内 ln 2 0 0 0 Rr R r rU RrrU 5 均匀分布的无限长带电圆柱体 体电荷密度为 半径为 R 电场强度矢量 圆柱体外 圆柱体内 2 0 2 2 0 2 0 Rrr r R rE RrrrE 电势 其中假 圆柱体外 圆柱体内 ln 2 4 0 4 0 2 0 2 0 2 Rr r RRR rU Rr r rU 设圆柱体轴线处为零电势参考点 即 00 rU 6 均匀分布的带电圆环 带电量为 圆环的半径为 在其轴线上 x 处qR 的电场强度和电势 电场强度矢量 其中为轴线方向的单位 0 2 3 22 0 4 1 x Rx qx xE 0 x 矢量 讨论 a 当 此时带电圆 2 0 4 x iq xExRx p 时或 环可视为点电荷进行处理 b 当 即 0 0 0 p ExRx时或 带电圆环在其圆心处的电场强度为零 电势 其中电势的零参考点位于无穷远处 2 1 22 0 4 1 Rx q xU 带电圆环在其圆心处的电势为 R q xU x 0 0 4 7 均匀分布的带电直线 其中 线电荷密度 直线长为 l 1 在直线的延长线上 与直线的端点距离为 d 的 P 点处 电场强度矢量 i dld i dld l dEp 11 4 4 00 d dl dU p ln 4 0 2 在直线的中垂线上 与直线的距离为 d 的 Q 点处 电场强度矢量为 j dld l j d l d l dEQ 22 0 2 2 04 2 4 2 4 电势 22 22 0 2 2 2 2 04 4 ln 4 22 22 ln 4 dll dll d ll d ll dUQ 3 在直线外的空间中任意点处 电场强度矢量 jEiErE yx 其中 21 0 12 0 4 4 CosCosE SinSinE y x 或者改写为另一种表示式 即 kErEzrE zrp 0 其中 22220 222222220 2 1 2 1 4 2 2 2 1 2 2 2 1 4 l zr l zr E l zr l zr l z l zr l zr l z r E z r 电势 22 22 0 2 2 2 2 ln 4l zr l z l zr l z U p 4 若带电直线为无限长时 那么 与无限长带电直线的距离为 d 的 P 点处 电场强度矢量 r r rEd d dE pp 2 0 0 0 2 2 或 电势 其中假设 d0或 r r rU d d dU pp 0 0 0 0 ln 2 ln 2 或 r0 为电势的零参考点 5 半无限长带电直线在其端点处 端点与带电直线的垂直距离为 d 电场强度矢量 d EEjEiEE yxyx 0 4 其中 8 电偶极子的电场强度和电势P 1 在电偶极子的延长线上 x 处 其中 X l 电场强度矢量 3 0 3 0 2 4 1 2 4 1 r P rE x P xE 或 电势 2 0 2 0 4 1 r U 4 1 r P x P xU 或 2 在电偶极子的中垂线上 y 处 其中 Y l 电场强度矢量 3 0 4 1 y P yE 电势 0 4 1 0 r q r q yU 3 在空间中任意点 r 处 其中 r l 电场强度矢量 采用平面极坐标系 13 4 2 4 1 2 2 0 0 3 0 3 0 Cos r P E r PSin r r pCos rE其大小为 方向为 其中为与之间的夹角 tgtg E E tg E E arctg rr 2 1 11 E 0 r 电势 3 0 2 4 1 4 1 r rP r CosP rU o 电场强度矢量的另一种表达式为 上式电场强度矢量的表达式就是将电场强度矢量分解在电偶极矩和矢径E e P 的方向上 可以证明 该表达式与电场强度的平面极坐标表达式是相等的 r 若采用二维笛卡尔坐标系 平面直角坐标系 因为各物理量之间的关系为 r x Cos 22 222 yx x yxr 所以电势的表达式为 2 3 22 0 4 1 yx Px rU 而电场强度的表达式为 jEiEE yx 其中 3 4 1 2 4 1 2 5 22 0 2 5 22 22 0 yx Pxy y U E yx yxP x U E yx 其大小为 2 22 22 0 22 4 4 1 yx yxP EEE yx 若采用三维笛卡尔坐标系 即三维直角坐标系 则有如下关系式 222 2222 zyx z r z Coszyxr 那么 电势的表达式为 2 3 222 0 4 1 zyx zP rU 而电场强度的表达式为 kEjEiEE zyx 其中 rprp r E ee 3 4 1 3 0 方向的单位矢量 为矢径式中 rrr 0 zx 3 4 3 42 5 222 0 2 5 222 0 y zyP y U E zyx zxP x U E yx 2 42 5 222 222 0 zyx yxzP z U Ez 9 带电圆盘在其轴线上距离圆心为 x 点处 电场强度矢量 i Rx x xEp 22 0 1 2 对上式结果进行讨论 a 当 0 2 0 2 0 4 4 x r r q rEi x q xERx pp 或时或 此时带电圆盘可视为点电荷进行处理 b 当即此时带电圆盘可视为无 则 时或 2 0 0 ixExRx p 限大带电平板进行处理 电