第16章连续时间美式期权定价模型ppt课件.pptVIP

第16章连续时间美式期权定价模型 16 1美式期权定价模型概述16 2股票价格行为模型16 3无套利机会股票价格模型16 4美式看涨期权定价模型16 5美式看跌期权定价模型 因为美式期权没有固定的执行时间 学者很难用解析模型为美式期权定价 本章主要介绍作者2008年提出的连续时间美式期权定价模型 内容包括股票价格行为模型 连续时间美式期权定价模型 16 1美式期权定价模型概述 1973年 FischerBlack MyronScholes和RobertMerton在欧式股票期权定价模型研究中 取得突破性进展 提出不派息 和派息 股票期权定价模型 又称为Black Scholes模型 该模型的提出为股票期权定价提供了理论依据 同时也促进了20世界80年代和90年代金融工程的发展 为了表彰他们对人类所做出的贡献 MyronScholes和RobertMerton于1997年获得诺贝尔经济学奖 遗憾的是FischerBlack于1995年逝世 Cox Ross和Rubinstein 1979 提出的二叉树模型 成为美式期权定价的主流模型 为了提高二叉树的收敛速度 Hull和White 1994 提出三叉树模型 Boyle 1977 提出蒙特卡罗模拟模型 Brennan和Schwartz 1978 提出有限差分模型 Duan 1995 提出GARCH 广义自回归条件异方差 模型 经过多年的研究 作者已经研制出不派息连续时间美式期权定价模型 2008 在此基础上又提出连续时间美式外汇期权定价模型 2009 这两个模型的复杂程度与BS模型相似 通过实证研究 这两个模型的计算结果与二叉树模型相比 看涨期权的最大相对误差仅为2 47 看跌期权的最大误差仅为 0 6545 16 2股票价格行为模型 假设股票的价格波动为零 而且不派息 如果投资者的期望收益率为 零时刻的股票价格为 则持股年股票价格的期望值应为 16 1 公式 16 1 与银行存款本金和利息的计算公式完全相同 为本金 为银行存款利率 为存款年限 为年后的本金和利息 为了数学处理上的方便 我们采用连续复利形式 则模型 16 1 变为 16 2 从公式 16 2 中我们可以看出 当股票的价格波动为零时 股票价格的期望值以年利率为的复利形式增长 与银行存款有相同的增长方式 由此可见 用公式 16 2 表示t时刻股票价格的期望值是合理的 把式 16 2 两边同除以 并取对数得到 16 3 其中是持股年的对数收益率 而不是年收益率 年收益率为 假设是单位时间内股票对数收益率的方差 则为年内收益率的方差 只有在公式 16 3 中加入随机项 才能真实全面地反映股票价格的变化 通过上面的分析 股票价格过程可以用下列形式的随机过程来描述 16 4 或 16 5 其中 为测度下的标准维纳 Wiener 过程 16 6 其中 为标准正态分布变量 公式 16 5 两边同除以 并取对数得到 16 7 对数收益率服从下列形式的正态分布 16 9 方程 16 5 是描述股票价格变化的合理模型 16 3无套利机会股票价格模型 一般情况下 国库券以政府为担保 价格受随机因素的影响较少 波动也较少 因此 买国库券属于无风险投资 而股票的价格受随机因素的影响较大 波动也较大 因此 买股票属于风险投资 单位国库券的价格和股票的价格分别用下列模型表示 16 10 16 11 其中 为时刻单位国债的价格 为时刻股票的价格 元 股 为零时刻股票的价格 元 股 为国债利率 又称为无风险利率 对股票价格贴现后得到时刻股票价格的现值 即 16 12 其中 随机变量零时刻的值等于随机变量零时刻的值 即 下面推导式 16 12 的微分形式 我们可以把式 16 12 写成下列形式 其中 令伊滕公式的一般形式为 因为 高级无穷小项和 另外 因此分别把上述公式代入伊滕公式 可以求出随机过程 16 12 的随机微分方程 16 13 公式 16 12 和 16 13 表示同一随机过程 前者是该过程的积分形式 表示时刻股票价格的现值 而后者为该过程的微分形式 表示时刻股票价格现值的变化 假设债券市场和股票市场允许买空卖空 当任意时刻股票价格现值变化的期望值等于零时 即 为鞅过程 这时 市场没有套利机会 当时 股票的利润比国债高 投资者纷纷抛售国债 投资股票 国债的价格越来越低 而股票的价格越来越高 直到套利机会消失为止 当时 股票的利润比国债低 投资者纷纷抛售股票 投资国债 国债的价格越来越高 而股票的价格越来越低 直到套利机会消失为止 由此可见 在套利者的作用下 市场中的套利机会很少 一旦出现 套利者就会蜂拥而至 套利机会立即就会消失 由此可见 套利者的作用并不是一无是处 对金融市场有纠偏的作用 在方程 16 13 中 包括两项 第一项为非随机项 期望值不等于零 第二项为随机项 期望值为零 如果漂移率 则 这时 市场存在套利机会 根据CMG测度变换定理 为了把股票价格现值过程变为鞅过程 令 16 14 则或 16 15 把公式 16 15 代入公式 16 13 得到鞅过程 16 16 其中 为测度下的布朗运动 为测度下的布朗运动 在方程 16 16 中 因为 则为测度下鞅过程 这时 市场没有套利机会 利用伊滕定理 可以猜出随机微分方程 16 16 的解 16 17 推导过程如下 令 令伊滕公式的一般形式为 因为 分别把上述公式代入伊滕公式 可以求出随机过程 16 17 的随机微分方程 16 16 用随机过程 16 17 表示股票价格的现值 没有套利机会 根据模型 16 17 可以反推出股票t时刻的价格过程 即 16 18 用随机过程 16 18 表示t时刻股票的价格没有套利机会 而方程 16 5 则有套利机会 因此 方程 16 18 将作为建立美式股票期权定价模型的基础 16 4美式看涨期权定价模型 欧式看涨期权只有在到期日才能执行 期权的执行价格在签署期权和约时就已经确定 因此 股票的到期价格决定期权到期时的价值 另外 看涨期权的买方支付期权费后 就获得了一项权利 买方有权执行期权 也有权不执行期权 因此 期权的价值总是大于零 每股看涨期权在执行日的价值可以表示为 16 19 其中 为期权的到期时间 年 为股票的到期价格 元 股 为期权的执行价格 元 股 求测度下的期望值运算符 式 16 19 是期权在执行时的价值 而看涨期权的买方在签署和约时支付期权费 因此必须对式 16 19 贴现后才能得到每股欧式看涨期权的当前价值 16 20 其中 为期限为的无风险零利率 为折现因子 对于美式期权 投资者可以在到期日之前任何时刻执行 假设美式期权的投资者 买入美式期权后立即执行 投资者可以把投资收益购买国债获得无风险收益 因此 美式期权应该是欧式期权的倍 16 21 如果投资者购买股票看涨期权后 股票价格波动很大 立即执行看涨期权对投资者有利 投资者就可能立即执行看涨期权 这时美式看涨期权的执行时间为零 美式看涨期权的当前价值为 16 22 根据公式 16 18 我们知道 在到期日股票的价格为 16 23 把式 16 23 代入式 16 22 则得到美式期权的当前价值 16 24 因为维纳过程的数学表达式为 其中 为标准正态分布变量 因为期权的价值又必须大于零 因此从中得到随机变量的取值范围 对公式 16 24 求数学期望 就得到期权的当前价值 16 25 或者 16 26 因为式 16 26 可以写成 16 27 令 16 28 交换积分上下限 并改变积分上下限的符号 16 29 可以把式 16 29 简写成式 16 30 16 30 令 则 16 30 式变成式 16 31 16 31 其中同理 我们可以得到欧式看涨期权定价模型 16 32 例题16 1美式看涨期权定价假设股票的当前价格为20元 期权的执行价格为20元 期权的期限为6个月 无风险年利率为5 股票的年波动率为20 求美式看涨期权的价值 解 因为 美式看涨期权的当前价值为 该股票美式看涨期权当前的价值为1 46元 股 欧式看涨期权的当前价值为 该股票欧式看涨期权当前的价值为1 43元 股 因为美式期权又灵活的执行时间 因此 美式期权的价值大于欧式期权的价值 16 5美式看跌期权定价模型 如果投资者预测股票的价格将会下跌 为了保值或投机 买入看跌期权 欧式看跌期权在到期日执行 期权的执行价格在签署期权和约时就已经确定 因此 股票的到期价格决定看跌期权到期时的价值 另外 看跌期权的买方支付期权费后 就获得了一项权利 当看跌期权的价值大于零时就执行期权 否则就不执行期权 因此 期权的价值总是大于零 在到期日每股看跌期权的价值为 16 33 看跌期权的买方在签署和约时支付期权费 因此必须对公式 16 33 贴现后才能得到每股欧式看跌期权的当前价值为 16 34 投资者购买美式股票看跌期权后 如果股票价格急剧下跌 投资者可以立即执行期权 获得的收益可以购买国债 获得无风险 这时 美式看跌期权的当前价值为 16 35 把式 16 23 代入式 16 35 则得到看跌期权的当前价值 16 36 把维纳过程 代入 16 36 而且期权的价值又必须大于零 因此 从中得到随机变量的取值范围 对公式 16 36 求数学期望 就得到美式看跌期权的当前价值为 16 37 为了方便积分 我们把式 16 37 分成两项 16 38 在式 16 38 中 第一项就是标准正态密度函数积分 为了方便积分 我们可以变换第二项的指数形式 16 39 16 40 在 16 40 中 令 得 16 41 在式 16 41 中 第二项又变成标准正态密度函数的积分 我们可以把它写成如下形式 16 42 在式 16 42 中 令 则美式看跌期权的当前价值可以表示为 16 43 其中 16 43 同理 我们可以得到欧式看跌期权定价模型 16 44 下面举例说明美式看跌期权定价模型的用法 例题16 2美式看跌期权定价考虑不分红5个月美式股票期权 股票的当前价格为50元 执行价格为50元 无风险利率为10 股票对数收益率的年波动率为40 求美式看涨期权和美式看跌期权的价值 解 因为 美式看涨期权的当前价值为6 41元 股 美式看跌期权的当前价值为4 286元 股 如果用二叉树模型计算美式看跌式期权的价值 当把期权的持续时间划分成5 30 50和100个时间段时 看跌期权的当前价值分别为4 49 4 263 4 272和4 278 当时间段趋于无穷时 与连续模型的计算结果相同 从前面的两个例子中 我们可以看出 在条件相同的情况下 看涨期权的价值大于看跌期权的价值 因为股票的价格以无风险利率增长 股票在T时刻的期望值始终大于当前价值 美式期权的价值大于欧式期权的价值 因为美式期权有灵活的执行时间 美式期权在执行时间上的灵活性可以用资金的时间价值来衡量 本章小结与欧式期权相比 美式期权有更多的选择机会 投资者购买美式期权的目的就是想获得这个选择机会 美式期权为投资者提供的选择机会 也可以用资金的时间价值来衡量 因此 美式期权的价值是欧式期权价值的erT倍 与二叉树模型相比 用连续时间模型和为美式期权定价 不仅形式简单