第章 均值方差分析与资本资产定价模型ppt课件.ppt

27 03 2020 1 第3章均值方差分析与资本资产定价模型 2 27 03 2020 3 1两种证券投资组合的均值 方差 3 1 1投资组合 设有两种风险资产证券 记为A和B 3 27 03 2020 3 1两种证券投资组合的均值 方差 注 权重为正数 意味着投资者买入该资产 如果是卖空 投资于资产的权重是负数 例如 假设你借100股某公司的股票 市场价格为10元 那么将股票卖出 可获得1000元现金 一段时间之后 该股票的价格5元 你在市场上购买100股 支付现金500 两者之间的差额为500元 你可以获利 4 27 03 2020 举例说明 1 如果你有资金1000元 投资于证券的金额为400元 投资于证券的金额为600元 则有 5 27 03 2020 举例说明 2 假设你有资金1000元 卖空证券获现金600元 共有1600元 投资于证券 于是 对于资产 则有 6 27 03 2020 投资组合的期望收益与方差 设证券A的收益率为RA 证券B的收益率RB是随机变量 假设我们已知RA和RB的概率分布 称 7 27 03 2020 投资组合的期望收益与方差 则期望收益 8 27 03 2020 投资组合的期望收益与方差 9 27 03 2020 3 1 2联合线 假设 由式 3 1 1 1 如果我们假设 和 的相关系数为零 由式 3 1 2 10 27 03 2020 3 1 2联合线 设自有资金1000元 卖空证券收入为500元 将这两种资金 共1500元 投资于证券 计算得 代入式 3 1 3 和式 3 1 4 得 11 27 03 2020 3 1 2联合线 表3 1不同投资组合的期望收益和收益方差 利用上述表格中的数据在 的坐标系之下画出一条曲线 称为证券A和证券B的联合线 12 27 03 2020 3 1 2联合线 图3 1证券A和B的联合线 卖空B投资于A 同时投资于A和B 卖空A投资于B 13 27 03 2020 3 1 2联合线 假设相关系数不为零 2 假设RA和RB完全正相关 在 RB RA 坐标系内 是一条斜率为正的一条直线 即 如果 14 27 03 2020 3 1 2联合线 图3 2证券A和证券B收益率完全正相关时的示意图 15 27 03 2020 3 1 2联合线 当RA和RB完全正相关时 相关系数 由式 3 1 2 16 27 03 2020 3 1 2联合线 表3 2不同wA值的期望收益率和收益率方差 17 27 03 2020 正相关时的联合线 18 27 03 2020 3 1 2联合线 3 假设RA和RB完全负相关 在 RB RA 坐标系内 是一条斜率为负的一条直线 即 得 解得 19 27 03 2020 3 1 2联合线 于是得此直线的方程为 图3 3证券A和证券B收益率完全负相关情况下的示意图 20 27 03 2020 3 1 2联合线 当RA和RB完全负相关时 相关系数为 1 此时 表3 3不同wA值的收益率期望和方差 21 27 03 2020 完全负相关的情况 22 27 03 2020 图3 43种不同情况下的联合线 23 27 03 2020 3 1 1两种投资组合均值 方差分析 设有两种证券A和B 证券A的期望收益记为 证券B的期望收益记为 设 设投资于证券A的资金权重为 投资于证券B的权重记为 满足 投资组合 的期望收益记为 则有 投资组合的收益率 的方差 24 27 03 2020 3 1 1两种投资组合均值 方差分析 由式 3 1 9 和式 3 1 10 解得 代入式 3 1 10 得 整理后 可得 25 27 03 2020 3 1 1两种投资组合均值 方差分析 若RA和RB不完全相关 则 于是式 3 1 12 的右端作为 的二次函数恒大于零 可以写成 的形式 代入式 3 1 12 得 易见方程 3 1 13 在 平面上的图形是双曲线 由于 它只有开口向右的一支 26 27 03 2020 3 1 1两种投资组合均值 方差分析 1 若RA和RB完全正相关 可见方程 3 1 14 的图形是从 出发的两条射线 其中的一条是 27 27 03 2020 3 1 1两种投资组合均值 方差分析 另一条是 2 如果RA和RB完全负相关 此时 也是两条射线 这两条射线从 出发指向右方 28 27 03 2020 3 1 1两种投资组合均值 方差分析 其中一条通过点 其方程为 另一条通过点 其方程为 29 27 03 2020 3 1 1两种投资组合均值 方差分析 3 如果RA和RB无关 此时 方程 3 1 12 变为 方程 3 1 20 是一条经过 和 的双曲线 其顶点为 对应于此顶点的投资组合 方差最小 其方差 而其期望收益介于 A和 B之间 30 27 03 2020 图3 5不同情况下投资组合均值与方差的关系 27 03 2020 31 3 2均值 方差分析及两基金分离定理 32 27 03 2020 3 2 1投资组合的期望收益和方差 设市场只有n种风险资产 仅有两个时刻 时刻0代表今天 时刻1代表明天 其单期收益为 记 为收益率向量 设 称w为投资组合 其中wi是第i种资产Xi上的投资比例 满足 这里没有 的限制 说明市场有做空机制 33 27 03 2020 3 2 1投资组合的期望收益和方差 以 表示第i种资产收益的期望值 为期望收益向量 若w为投资组合 满足 投资组合的收益率 也是随机变量 其期望值 称为投资组合的期望收益 34 27 03 2020 3 2 1投资组合的期望收益和方差 设 是n维向量 记 称n阶矩阵 为方差 协方差阵 如果 为可逆矩阵 为正定矩阵 投资组合 的收益率 的方差为 用矩阵表示 35 27 03 2020 3 2 1投资组合的期望收益和方差 有效投资组合的假设条件 1 仅存在无风险利率Rf 可以无限制借贷 2 假设市场上的投资者的效用函数都是均值方差效用函数 3 假定市场无摩擦 即无任何交易成本 无税收 资产数量单位无限可分 4 假定市场的参与者都有相同的预期 36 27 03 2020 3 2 2有效投资组合 定义3 1 如果一个投资组合对确定的方差具有最大的期望收益 或者对于确定的期望收益 有最小的方差 这样的投资组合称为 均值 方差 有效的投资组合 定义3 2 如果一个投资组合对确定的期望收益有最小的方差 那么称该投资组合为最小方差投资组合 37 27 03 2020 可行资产组合 均方有效前沿 最小方差资产组合 注 阴影部分代表资产组合的可行区域 AB弧表示的边界为有效资产组合集 它也称为资产组合的 有效前沿 而可行区域的整个边界 AB弧和AC弧 即为最小方差资产组合集 结论 均方有效的资产组合也是最小方差资产组合 但其逆不对 38 27 03 2020 3 2 3求最小方差投资组合的数学模型及其求解 求最小方差投资组合可归结为如下最优模型 的求解问题 39 27 03 2020 3 2 3求最小方差投资组合的数学模型及其求解 模型 3 2 4 是具有等式约束的二次规划问题 可以用Lagrange乘数法求解 令 最优解的一阶条件为 40 27 03 2020 3 2 3求最小方差投资组合的数学模型及其求解 假设 可逆 由方程 3 2 5a 得到最优解 将式 3 2 6 代入式 3 2 5c 得 将式 3 2 6 代入式 3 2 5c 得 41 27 03 2020 其中 3 2 8a 因为 可逆 又 所以 由 3 2 7a 及 3 2 7b 得 3 2 8b 代入 3 2 6 式 得 3 2 9a 42 27 03 2020 3 2 4均值 方差分析 对一般n种资产的情形 收益水平 的最小方差投资组合的方差为 再将 和 代入得 43 27 03 2020 3 2 4均值 方差分析 0 在最小方差组合的方差 均值空间是抛物线 其顶点是 图3 6最小方差组合的收益均值与方差的关系 44 27 03 2020 3 2 4均值 方差分析 讨论最小方差投资组合的期望收益和其标准差之间的关系 将方程 3 2 9b 改写为 由 3 2 10 可见 在标准差 均值空间种的图形是双曲线 45 27 03 2020 3 2 4均值 方差分析 0 图3 7最小方差组合的期望收益与标准差的关系 全局最小方差资产组合 46 27 03 2020 3 2 5两基金分离定理 讨论全体最小方差组合构成的集合的性质 任何一个最小方差投资组合都可以用两个特殊的最小方差投资组合的凸组合表示 这条性质称为两基金分离定理 由式 3 2 6 得 47 27 03 2020 3 2 5两基金分离定理 其中 假设 显然 而且由式 3 2 8b 得 48 27 03 2020 3 2 5两基金分离定理 令 则 所以 具有如下性质 因为 所以对于权系数 相应的资产组合的收益率 49 27 03 2020 3 2 5两基金分离定理 由 3 2 9a 知 是全局最小方差投资组合 称wd为分散化资产组合 对应的期望收益率为 将 代入式 3 2 9a 得 由图3 6可见 相应于期望收益率 的最小方差投资组合是所有有效投资组合 中方差最小的一个 称它为全局最小方差投资组合 50 27 03 2020 3 2 5两基金分离定理 同样 将 代入式 3 2 9a 可得 因此 是相应于期望收益率 的最小方差投资组合 定理3 1 两基金分离定理 任意最小方差投资组合都可以唯一的表示为全局最小方差投资组合 和可分散化资产组合 的组合 即 51 27 03 2020 3 2 5两基金分离定理 这里 从定理3 1可见 对于任意的 相应的最小方差资产组合可以表示成相应于 和 的最小方差投资组合 和 的组合 称 和 为共同基金 52 27 03 2020 3 2 5两基金分离定理 两资产组合 和 期望收益之差 因为 所以 与 之差的符号取决于A的符号 1 如果全局最小方差的资产组合的收益率为正 则 在相应的双曲线的上半叶上 2 如果 则相反 在允许卖空的情况下 这种情况也可能出现 53 27 03 2020 3 2 5两基金分离定理 注1 对于任意两个不同期望收益水平的最小方差资产组合 和 他们与 和 有相同的分离作用 即 可表示为 和 的组合 54 27 03 2020 注1证明 由两基金分离定理 和 可由 和 表示如下 由式 3 2 18a 和式 3 2 18b 将 和 解出 得 55 27 03 2020 注1证明 由 将 3 2 19 和 3 2 10 代入 得 显然 这说明 可用 和 的组合来表示 56 27 03 2020 3 2 5两基金分离定理 注2 对任意的投资组合w 有 设 和 是两个最小方差组合 则 57 27 03 2020 注2证明 这证明了第一个结论 将式 3 2 16 代入式 3 2 9b 得 由前段证明可知 58 27 03 2020 注2证明 59 27 03 2020 3 2 5两基金分离定理 若 是一个最小方差资产组合 其方差不是全局最小值 则存在最小方差资产组合 使 称 和 为零 相关 即协方差为零 的有效投资组合 27 03 2020 60 3 3具有无风险资产的均值 方差分析 61 27 03 2020 3 3 1具有无风险资产的有效投资组合 假定市场存在n种风险资产 及无风险资产 无风险资产的收益率是一常数 设为 以w表示风险资产组合的权系数 是投资于无风险资产的权系数 表示投资于n 1种资产的投资组合的期望收益 则 即 62 27 03 2020 3 3 1具有无风险资产的有效投资组合 当投资者在市场上可以获得无风险资产时 资产组合问题在两方面发生了变化 1 与只有风险资产的预算约束不同的是 若投资者在无风险资产的投资权重为正时 表示储蓄 若权重为负 则表示为购买风险资产而筹集资金 即借贷 2 与只有风险资产的预算约束不同的是 平均收益率的限制必须表达成超额收益率形式 63 27 03 2020 3 3 1具有无风险资产的有效投资组合 最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题 利用拉格朗日乘数法 求解此二次规划问题 令 64 27 03 2020 3 3 1具有无风险资产的有效投资组合 最优解的一阶条件为 解得最优解 65 27 03 2020 3 3 1具有无风险资产的有效投资组合 为此将 3 3 4 代入 3 3 1b 得 因为 所以 令 则 66 27 03 2020 3 3 2具有无风险资产的均值 方差分析 67 27 03 2020 3 3 2具有无风险资产的均值 方差分析 1 在均值方差坐标系下 最小方差资产组合的图形是抛物线 2 在均值和标准差坐标系下 图形是从点出发的两条射线 斜率分别为 68 27 03 2020 3 3 3无风险资产情况下的两基金分离定理 所有最小方差资产组合可表示成两个不