期末复习专题(导数).ppt

青云学府高二数学组谢大强 导数 期末复习专题 1 导数的概念如果函数y f x 在区间 a b 内的每一点处都有导数 此时对于每一个x a b 都对应着一个确定的导数f x 从而构成了一个新的函数f x 称这个函数f x 为函数y f x 在开区间内的导数 简称导数 也记作y 即f x y lim x 0 2 导数的几何意义函数y f x 在x x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 即k 相应地 切线方程为 3 常用函数的导数公式C 0 C为常数 xn n Q sinx cosx cosx ex ex ax lnx logax f x0 y f x0 f x0 x x0 nxn 1 sinx axlna 4 导数的运算法则 1 f x g x f x g x 2 f x g x 3 f x g x g x 0 f x g x f x g x 5 函数的单调性与其导数的关系 1 对于定义在区间 a b 内连续不间断的函数y f x 由f x 0 y f x 在 a b 内单调递增 f x 0在 a b 内恒成立 其中 a b 为f x 的单调递增区间 2 对于定义在区间 a b 内连续不间断的函数y f x 由f x 0 f x 0在 a b 内恒成立 其中区间 a b 为f x 的单调递减区间 y f x 在 a b 内单调递减 6 函数的极值与其导数的关系 1 极值与极值点 设函数f x 在点x0及其附近有定义 如果对x0附近的异于x0的所有点x 都有 则称f x0 为f x 的极大值 记作y极大值 f x0 x0为极大值点 反之 若 则称f x0 为f x 的极小值 记作y极小值 f x0 x0为极小值点 极大值和极小值统称为极值 极大值点和极小值点统称为极值点 2 若x0为可导函数f x 的极值点 则有 不一定成立 f x f x0 f x f x0 f x0 0 7 函数的最值与其导数的关系 1 函数的最值 如果在函数y f x 的定义域I内存在x0 使得对任意的x I 都有 则称f x0 为函数的最大值 记作ymax f x0 反之 若有 则称f x0 为函数的最小值 记作ymin f x0 最大值和最小值统称为最值 2 如果函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是的曲线 则该函数在闭区间 a b 上一定能够取得最大值与最小值 f x f x0 f x f x0 一条连续不间断 8 极值与最值的区别与联系极值是反映函数的局部性质 最值是反映函数的整体性质 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 极大值不一定比极小值大 但如果函数的图象是一条不间断的曲线 在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 9 利用导数解决生活中的优化问题可归结为求函数的最值问题其解题的程序 读题 文字语言 建模 数学语言 求解 数学应用 反馈 检验作答 注意事项 1 函数建模 要设出两个变量 根据题意分析它们的关系 把变量间的关系转化成函数关系式 并确定自变量的取值范围 2 问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合问题的实际意义 3 在函数定义域内只有一个极值 则该极值就是所求的最大 小 值 10 近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类 1 求参数的取值范围 多数给出单调性 利用导数研究函数单调性的逆向思维问题 灵活运用等价转化 分类讨论 数形结合等思想方法 建立关于字母参数的不等关系 2 用导数方法证明不等式 其步骤一般是 构造可导函数 研究单调性或最值 得出不等关系 整理得出结论 3 与几何图形相关的最值问题 根据几何知识建立函数关系 然后用导数方法求最值 1 函数f x 在x x0处的导数可表示为f x0 或y x x0 即 D A f x0 f x0 x f x0 B f x0 lim f x0 x f x0 C f x0 D f x0 lim x 0 x 0 由导数的定义知D正确 2 下列求导运算正确的是 C A xn nxnB C D sinx cosx cosx sinx 因为 xn nxn 1 所以A不正确 因为 x 1 x 2 所以B不正确 因为 x 所以C正确 因为 sinx cosx cosx sinx 所以D不正确 故选C 3 以初速度v0 v0 0 垂直上抛的物体 t秒时的高度为s t v0t gt2 则物体在t0时刻的瞬时速度是 先求出 s 再用定义求当 t 0时 的极限值 v0 gt0 s v0 t0 t g t0 t 2 v0t0 12gt02 v0 gt0 t g t 2 所以 v0 gt0 g t 所以 t 0时 v0 gt0 故物体在时刻t0的瞬时速度为v0 gt0 瞬时速度即是平均速度在 t 0时的极限值 为此 要求瞬时速度 应先求出平均速度 4 函数y x2 x 1 e2x lgx tanx的导函数是y 直接运用求导公式和运算法则求即可 5 曲线y 2x2 1在 0 1 处的切线方程是 y 1 因为y 4x 所以k y x 0 0 所以y 1 0 x 0 0 所以y 1 1 导数的核心是变化率 在给定的关系式中 会两边同时对某一变量求导 得出相应的变化率 2 导数的运算 1 先化简 确定类型 再依次选用求导公式 运算法则进行求导 2 求复合函数的导数 关键是选择好中间变量 如例2中的 4 y 若令y u v4 v 1 3x 计算就麻烦了 然后逐层求导 每一步对谁求导不能混淆 最后应把中间变量转换成自变量 3 要弄清函数的导数与导数值的区别与联系 欲求导数值 先求其导数 再将值x0代入 求出导数值f x0 导数是原来函数的导函数 而导数值是导数函数在某一点的函数值 导函数值是常数 3 切线 1 注意是求在点P处的切线 还是求过点P的切线 在点P处的切线以点P为切点 过点P的切线 点P不一定是切点 需要设出切点 2 斜率k f x 不存在时 曲线在该点处并不一定没有切线 要检验直线x x0是否为该曲线的切线 3 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征 直线与曲线只有一个公共点 不能说明直线就是曲线的切线 反之 直线是曲线的切线 也不能说明直线与曲线只有一个公共点 4 曲线未必在其切线的 同侧 例如直线y 0是曲线y x2在点 0 0 处的切线 6 已知函数f x 在点x0处连续 下列命题中 正确的是 C A 导数为零的点一定是极值点B 如果在点x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 由极值的定义知C正确 7 函数y 的单调递增区间为 B A 1 B 1 1 C 1 D 2 因为y 所以由y 0得1 x2 0 所以x2 1 所以 1 x 1 故选B 8 已知函数f x x3 ax2 3x 9在x 3时取得极值 则a等于 D A 2B 3C 4D 5 因为f x 3x2 2ax 3 又f x 在x 3时取得极值 所以f 3 30 6a 0 解得a 5 9 函数f x x3 3x 1在闭区间 3 0 上的最大值是 最小值是 3 17 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 而f 3 17 f 1 3 f 0 1 故f x 在 3 0 的最大值是3 最小值是 17 10 若函数y x3 ax2 4在 0 2 内单调递减 则实数a的取值范围为 3 因为函数y x3 ax2 4在 0 2 内单调递减 所以y 3x2 2ax 0在 0 2 内恒成立 y x 0 0 0y x 2 12 4a 0 所以a 3 所以 1 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数f x 的定义域 2 令f x 0 求出此方程在f x 的定义域内的一切实根 3 把函数f x 无定义的点的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来 这些点把定义域分成若干个小区间 4 确定f x 在各小开区间内的符号 根据f x 的符号判断函数f x 在每个相应的小开区间的增减性 2 求可导函数y f x 的极值的方法 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检验f x 在每个根左 右的符号 如果根的左侧附近为正 右侧附近为负 则f x 在这个根处取得极大值 如果根的左侧附近为负 右侧附近为正 则f x 在这根处取得极小值 3 求可导函数f x 在闭区间 a b 上的最值的方法 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将求得的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 4 注意 1 利用导数求单调区间时 必须先求定义域 2 使导函数f x 0的点称为函数的驻点 则可导函数的极值点必是驻点 但驻点不一定是极值点 求一个可导函数的极值时 常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格 注意这里的 可导 两字必不可少 11 对任意实数x 若f x f x g x g x 且x 0时 f x 0 g x 0 则x 0时 有 B A f x 0 g x 0B f x 0 g x 0D f x 0 g x 0 由已知 f x 是奇函数 g x 是偶函数 又x 0 f x 0 所以f x 在 0 上单调递增 所以f x 在 0 上也是单调递增 即x0 同理 g x 在 0 上单调递减 所以x 0时 g x 0 故选B 12 已知函数y f x 的图象如右图所示 其中f x 是函数f x 的导函数 下面四个图象中 y f x 的大致图象是 A y f x 由题图知 当x0 所以f x 递增 当0 x 1时 y 0 所以f x 0 所以f x 递减 当x 1时 y 0 所以f x 0 所以f x 递增 故选A 13 内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长分别是 R和R 如图 设矩形的一边长为2x 则另一边长为 0 x R 所以矩形的周长y 2 2x 所以y 2 2 0 x R 令y 0 得x R 此时 R 易得x R是y 2 2x 的极大值点 即同时也是定义域上的最大值点 14 设点P是曲线y x3 3x 上任意一点 P点处切线的倾斜角为 则角 的取值范围是 0 因为y 3x2 3 3 所以tan 3 所以 0 1 应用导数证明不等式 关键在于构造适当的函数 2 利用导数解决优化问题 关键在于建立目标函数 并且还要根据实际问题 写出函数的定义域 3 在求实际问题的最值时 如果只有一个极值点 则此点就是最值点 2008 全国卷 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数 其图象可能是 A 根据汽车加速行驶s at2 匀速行驶s vt 减速行驶s v0t at2 结合函数图象可知 故选A 2009 湖北卷 设球的半径为时间t的函数R t 若球的体积以均匀速度c增长 则球的表面积的增长速度与球的半径 D A 成正比 比例系数为cB 成正比 比例系数为2cC 成反比 比例系数为cD 成反比 比例系数为2c 因为V t R3 t 所以V t 4 R2 t R t c 所以R t 因为S t 4 R2 t 所以S t 8 R t R t 8 R t 故选D 2009 辽宁卷 已知函数f x x2 ax a 1 lnx a 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 证明 若a 1 1 f x 的定义域为 0 f x x a 若a 1 1 即a 2 则f x 故f x 在 0 单调增加 若a 11 故10 故f x 在 a 1 1 单调减少 在 0 a 1 1 单调增加 若a 1 1 即a 2 同理可得f x 在 1 a 1 单调减少 在 0 1 a 1 单调增加 2 证明 考虑函数g x f x x x2 ax a 1 lnx x 则g x x a 1 a 1 1 1 2 由于10 即g x 在 0 单调增加 从而当x1 x2 0时有g x1 g x2 0 即f x1 f x2 x1 x2 0 故 1 当0 1 2009 湖南卷 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经测算 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面