本科经济计量学第3章(自学)(第3版).ppt

第3章概率分布的特征 3 1期望值 集中趋势的度量 3 2方差 离散程度的度量 3 3协方差 3 4相关系数 3 5条件期望值 3 6偏度和峰度 3 7从总体到样本 3 8总结 3 1期望值 集中趋势的度量 期望值 expectedvalue 集中趋势的度量 离散型随机变量的期望值用符号E X 表示 定义为 例3 1掷一个骰子若干次 随机变量X表示正面朝上的数字 求X的期望值 下表 表3 1随机变量 正面朝上数字 的期望值 正面朝上的数字概率数字 概率Xf x xf x 11 61 621 62 631 63 641 64 651 65 661 66 6E X 21 6 3 5 概率密度 1 6 图3 1离散型随机变量 例3 1 的期望值 E X f x X 在上例中 打印机销售量的期望值是多少 我们仍可从表2 4中得到 例3 2在例2 17中 电脑销售量的期望值是多少 我们可从中得到 把变量X的各可能值与其相对应的概率之积累加即得电脑销售量的期望值 0 0 08 1 0 12 2 0 24 3 0 24 4 0 32 2 6因此 电脑每天的平均销售量为2 6台 表2 4 0 0 11 1 0 16 2 0 23 3 0 27 4 0 23 2 35即每天打印机的平均销售量为2 35台 00 0800 1110 1210 1620 2420 2330 2430 2740 3240 23总计1 00总计1 00 Xf X Yf Y 表2 4个人电脑售出数量X和打印机售出数量Y的边缘分布 1 若b为常数 则有 E b b 2 给定随机变量X和Y 有E X Y E X E Y 3 4 5 若a为常数 则有 6 若a b为常数 那么 3 1 1期望的性质 除非两R V相互独立 3 2方差 variance 离散程度的度量 方差定义为 表明了随机变量X的各取值与其期望值的偏离程度 如图3 2 若X为离散型随机变量 通常用下列公式计算方差 标准差 standarddeviation s d 方差的正的方根 3 2 例3 4 接例3 1 求随机变量X 表示正面朝上的数字 的方差 正面朝上的数字概率Xf x x EX 2 f x 11 6 1 3 5 2 1 6 21 6 2 3 5 2 1 6 31 6 3 3 5 2 1 6 41 6 4 3 5 2 1 6 51 6 5 3 5 2 1 6 61 6 6 3 5 2 1 6 总计 2 9167VAR X 2 9167 1 常数的方差为零 2 若X与Y是两个相互独立的随机变量 那么 var X Y var X var Y var X Y var X var Y 3 若b是常数 则var X b var X 4 如果a是常数 则 5 如果a b是常数 则 6 如果X与Y相互独立 a b是常数 则 3 2 1方差的性质 3 2 2切比雪夫不等式 如果随机变量X的均值和方差分别为 那么对任意给的正数c 有 例3 5 一个油炸圈饼店每天上午8点到9点平均卖出油炸圈饼100个 方差为25 那么 某天在8到9点间卖出90 110个油炸圈饼的概率至少是多少 3 2 3变异系数 变异系数 coefficientofvariation V 度量相对变动 定义为 例3 6 某讲师讲授两个班的初级经济计量学课程 每班各15名学生 在期中考试中 A班平均83分 标准差为10 B班平均88分 标准差为16 哪个班的成绩更好 由于A班的相对变动小 所以说A班成绩的总体情况好于B班 3 3协方差 covariance 令随机变量X和Y的期望分别为其协方差为 假定X和Y是离散型随机变量 协方差用下式计算 对于连续型随机变量可用积分符号代替求和符号 1 若随机变量X Y独立 协方差为零 2 其中 a b c d为常数 3 cov X X var X 协方差的性质 例3 7 再次回到个人电脑 打印机销售一例 现利用协方差的计算公式计算电脑销售量X和打印机销售量Y的协方差 已知 相关系数定义如下 3 4 1相关系数的性质 3 4相关系数 correlation 1 相关系数与协方差同号2 相关系数度量了两变量间的线性关系3 相关系数是一个纯数值 且满足 4 如果两变量独立 则协方差 相关系数都为0 但如果两变量的相关系数为0 并不意味着这两个变量相互独立 5 相关并不一定意味着存在因果关系 3 3 例3 8继续个人电脑 打印机一例 现计算两变量的相关系数 已知两个变量的协方差为0 95 根据表2 4中的数据可以得到 即两变量存在一定的正相关关系 这也是很容易理解的 3 4 2相关变量的方差 特别地 3 5条件期望值 conditionalexpectation 例3 9 在个人电脑 打印机一例中 计算E Y X 2 即在每天售出2台个人电脑的条件下销售打印机的条件期望 3 6偏度 skewness 与峰度 kurtosis 偏度与峰度是用于描述概率密度函数形状的数字特征 偏度S是对称性的度量 峰度K是一个概率密度函数高低或胖瘦的度量 偏度大于0 称其为正偏或右偏 偏度小于0为负偏或左偏 可以计算得到正态分布的S 0 K 3 3 7从总体到样本 如果我们想考察我国20岁女性的身高情况 我们知道 若设其为X 这是一个随机变量 描述该随机变量 可以用概率密度函数或用期望 方差等数字特征 但这些都是未知的 现在 我们可以把我国所有20岁女性身高值构成的集合看成是一个总体 我们来考察这一总体的情况 考察方法之一是从总体中抽取一个样本 通过样本的特征来反映总体的情况 所以我们必须知道样本矩 samplemoments 的计算方法 1 样本均值 2 样本方差 3 样本协方差 4 样本相关系数 从总体中抽取的样本设为 5 样本偏度与样本峰度对照下公式总体偏度S总体峰度K样本三阶矩与样本四阶矩为 例3 11 设有两变量X 股票价格 和Y 消费者