2013高考数学一轮复习--立体几何

高二数学必修 2 第二章 点 直线 平面的位置关系 1 空间点 直线 平面的位置关系 例题 解析 1 由公理 2 推论知经过两平行直线有且只有 1 个平面 即二者共面 另一直线与二者各有一交点 及此直线在 其共平面内有两个点 根据公理 1 则此直线在共平面内 2 3 4 2 空间直线与直线的位置关系 例题 解析 1 2 3 4 3 空间中直线与平面 平面与平面的位置关系 例题 课后习题解析 4 直线与平面平行的判定 例题 注意 要证直线与平面平行只需在平面中找到一条与已知直线平行的线即可 注意 已知中点 注意找中位线 即可得到线线平行 进而转化为线面平行 求空间异面直线夹角 一条线不动 平移另一条线与之相交连接得三角形 及相交线线角 解三角形求 得此角 即为所求 课后练习解析 5 平面与平面平行的判定 例题 课后练习解析 6 直线与平面平行的性质 例题 7 平面与平面平行的性质 例题 课后练习解析 课后练习解析 8 直线与平面垂直判定 例题 9 平面与平面垂直的判定 例题 10 线线 面面垂直的性质 例题 课后习题解析 11 空间直角坐标系 例题 注意 建系原则为使建系后坐标尽量简单 便于计算 课后练习解析 12 空间两点间距离公式 课后练习解析 课后习题解析 13 空间向量及计算 例题 例 1 已知空间四边形 OABC 中 AOB BOC AOC 且 OA OB OC M N 分别是 OA BC 的中点 G 是 MN 的中点 求证 OG BC 解析 要证 OG BC 只须证明0 BCOG即可 而要证0 BCOG 必须把OG BC用一组已知的空间基向量来 表示 又已知条件为 AOB BOC AOC 且 OA OB OC 因此可选OCOBOA 为已知的基向量 解 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 OCOBOAOCOBOAONOMOG 又OBOCBC 所以 OGOBOCOBOBOAOCOCOBOCOAOBOCOCOBOAOB 22 4 1 4 1 4 1 OA 22 OBOCOBOAOC 因为AOCOCOAOCOA cos AOBOBOAOBOA cos 且OAOBOC AOB AOC 所以BCOG 0 即 OG BC 例 2 在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 求 异面直线 BA1与 AC 所成的角 解析 利用 ACBAACBAACBA cos 111 求出向量 1 BA与AC的夹角 1 BA AC 再根据异面直线 BA1 AC 所成角的范围确定异面直线所成角 解 因为BCABACBBBABA 11 所以 11 BCABBBBAACBA BCBBABBBBCBAABBA 11 因为 AB BC BB1 AB BB1 BC 所以ABBBBCBA 1 0 0 ABBABCBB 0 1 a2 所以ACBA 1 a2 又 cos 111 ACBAACBAACBA 2 1 22 cos 2 1 aa a ACBA 所以 ACBA 1 120 所以异面直线 BA1与 AC 所成的角为 60 例 3 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是 BB1 DC 的中点 1 求 AE 与 D1F 所成的角 2 证明 AE 平面 A1D1F 解 设已知正方体的棱长为 1 且DA e1 DC e2 1 DD e3 以 e1 e2 e3为坐标向量 建立空间直角坐标系 D xyz 则 1 A 1 0 0 E 1 1 2 1 F 0 2 1 0 D1 0 0 1 所以 AE 0 1 2 1 FD1 0 2 1 1 所以AE FD1 0 1 2 1 0 2 1 1 0 所以AE FD1 即 AE 与 D1F 所 成的角为 90 2 又DA 1 0 0 11A D 且 11A D AE 1 0 0 0 1 2 1 0 所以 AE D1A1 由 1 知 AE D1F 且 D1A1 D1F D1 所以 AE 平面 A1D1F 图 2 8 a m a 图 2 9 m a a 图 2 10 m n 图 2 11 m n 例 4 证明 四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分 此点称为四面体的重心 解 E G 分别为 AB AC 的中点 EGBC 2 1 同理 HFBC 2 1 EG HF 从而四边形 EGFH 为平行四边形 故其对角线 EF GH 相交于一点 O 且 O 为它们的中点 连接 OP OQ 只要能证明向量OP OQ就可以说明 P O Q 三点共线且 O 为 PQ 的中点 事实上 HQOHOQGPOGOP 而 O 为 GH 的中点 GPOHOG 0 2 1 CD QH 2 1 CD 2 1 2 1 CDQHCDGP CDCDHQGPOHOGOQOP 2 1 2 1 0 0 OQOP PQ 经过 O 点 且 O 为 PQ 的中点 14 空间向量证明垂直 平行及求解空间角的方法 法向量的求法 在给定的空间直角坐标系中 设平面 的法向量 1 nx y 或 1 nxz 或 1 ny z 在平面 内任 找两个不共线的向量 a b 由n 得0n a 且0n b 由此得到关于 x y的方程组 解此方程组即可 得到n 1 证明线线垂直 2 证明线线平行 3 证明线面垂直 如图 2 8 m向是平面 的法向量 a是直线 a 的方向向量 证明平面的法向量与直线所在向量共线 am 4 证明线面平行 在图 2 9 中 m向是平面 的法向量 a是直线 a 的方向向量 证明平面的法向量与直线所在向量垂直 0 am 5 证明面面垂直 在图 2 10 中 m是平面 的法向量 n是平面 的法向量 证明两平面的法向量垂直 0 nm 6 证明面面平行 在图 2 11 中 m向是平面 的法向量 n是平面 的法向量 证明两平面的法向量共线 nm 图 2 1 1 B n A C A B 图 2 1 2 C n m 图 2 2 n m 图 2 3 n 图 2 4 n A M B N O 7 求异面直线夹角 8 求直线平面夹角 如图 2 1 设 n是平面 的法向量 AB 是平面 的一条斜线 A 则 AB 与平面 所成的角为 图 2 1 1 arccos 2 2 ABn ABn ABn 图 2 1 2 2 arccos 2 ABn ABn ABn 9 求二面角 设向量 m n分别是平面 的法向量 则二面角 l的平面角为 arccos nm nm nm 图 2 2 arccos nm nm nm 图 2 3 10 点到平面