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曲线拟合工具箱 曲线拟合定义 在实际工程应用和科学实践中 经常需要寻求两个 或多个 变量间的关系 而实际去只能通过观测得到一些离散的数据点 针对这些分散的数据点 运用某种你和方法生成一条连续的曲线 这个过程称为曲线拟合 曲线拟合可分为 1 参数拟合 最小二乘法 2 非参数拟合 插值法 一 数据预处理 在曲线拟合之前必须对数据进行与处理 去除界外值 不定值和重复值 以减少认为误差 提高拟合的精度 数据预处理包括 1 数据输入与查看 2 数据的预处理传输数据通过数据GUI来实现 查看数据点通过曲线拟合工具的散点图来实现 1 输入和查看数据集 1 打开曲线拟合工具界面通过cftool命令打开曲线拟合工具界面 5个命令按钮 Data按钮 可输出 查看和平滑数据 Fitting按钮 可拟合数据 比较拟合曲线和数据集 Exclude按钮 可以从拟合曲线中排除特殊的数据点 Ploting按钮 在选定区间后 单击按钮 可以显示拟合曲线和数据集 Analysis按钮 可以做内插法 外推法 微分或积分拟合 2 输入数据集 在输入数据之前 数据变量必须存在于matlab的工作区间 可以通过load命令输入变量 单击曲线拟合工具界面中的Data按钮 打开Data对话框 在对话框中进行设置 可以输入数据 Data对话框 包括两个选项卡 DataSets和Smooth DataSets选项卡 Importworkspacevectors把向量输入工作区 主要以变量必须具有相同的维数 无穷大的值和不定值被忽略 Xdata用于选择观测数据Ydata用于选择X的响应数据Weight用于选择权重 与响应数据相联系的向量 如果没选择 默认值为1 Preview对所选向量进行图形化预览 Datasetname设置数据集的名称 工具箱可以随即产生唯一的文件名 但用户可以重命名 Datasets选项以列表的形式显示所有拟合的数据集 当选择一个数据集时 可以对它做如下操作 View查看数据集 以图标形式和列表形式 可以选择方法排除异常值 Rename重命名 Delete删去数据组 例 输入数据 采用matlab自带的文件census census有两个变量 cdate和pop cdate是一个年向量 包括1790 1990年 间隔为10年 pop是对应年份的美国人口 whos filecensusNameSizeBytesClassAttributescdate21x1168doublepop21x1168double loadcensus cftool cdate pop 散点图 单击Data按钮 在Xdata和Ydata两个下拉式列表框中选择变量名 将在Data对话框中显示散点图的预览效果 当选择Datasets列表框中的数据集时 单击View按钮 打开ViewDataSet对话框 工作表方式 2 数据的预处理 在曲线拟合工具箱中 数据的预处理主要包括平滑法 排除法和区间排除法等 1 平滑数据打开拟合工具箱 单击Data按钮 打开Data对话框 选择Smooth选项卡 Smooth选项卡各选项的功能 Originaldataset用于挑选需要拟合的数据集 Smootheddataset平滑数据的名称 Method用于选择平滑数据的方法 每一个相应数据用通过特殊的曲线平滑方法所计算的结果来取代 平滑数据的方法包括 Movingaverage用移动平均值进行替换 Lowess局部加权散点图平滑数据 采用线性最小二乘法和一阶多项式拟合得到的数据进行替换 Loess局部加权散点图平滑数据 采用线性最小二乘法和二阶多项式拟合得到的数据进行交换 Savitzky Golay采用未加权的线性最小二乘法过滤数据 利用指定阶数的多项式得到的数据进行替换 Span用于进行平滑计算的数据点的数目 Degree用于Savitzky Golay方法拟合多项式的阶数 Smootheddatasets对于所有平滑数据集进行列表 可以增加平滑数据集 通过单击Createsmootheddataset按钮 可以创建经过平滑的数据集 View按钮打开查看数据集的GUI 以散点图方式和工作表方式查看数据 可以选择排除异常值的方法 Rename用于重命名 Delete可删去数据组 Savetoworkspace保存数据集 2 排除法和区间排除法 排除法是对数据中的异常值进行排除 区间排除法是采用一定的区间去排除那些用于系统误差导致偏离正常值的异常值 在曲线拟合工具中单击Exclude按钮 可以打开Exclude对话框 Exclusionrulename指定分离规则的名称Existingexclusionrules列表产生的文件名 当你选择一个文件名时 可以进行如下操作 Copy复制分离规则的文件 Rename重命名 delete删去一个文件 View以图形的形式展示分离规则的文件 Selectdataset挑选需要操作的数据集 Excludegraphically允许你以图形的形式去除异常值 排除个别的点用 标记 Checktoexcludepoint挑选个别的点进行排除 可以通过在数据表中打勾来选择要排除的数据 ExcludeSections选定区域排除数据 ExcludeX选择预测数据X要排除的数据范围 ExcludeY选择响应数据Y要排除的数据范围 3 其他数据预处理方法 其他的预处理方法不便通过曲线拟合工具箱来完成 主要包括两部分 响应数据的转换和去除无穷大 缺失值和异常值 响应数据的转换一般包括对数转换 指数转换 用这些转换可以使非线性的模型线性化 便于曲线拟合 变量的转换一般在命令行里实现 然后把转换后的数据输入曲线拟合工具箱 进行拟合 无穷大 不定值在曲线拟合中可以忽略 如果想把他们从数据集中删除 可以用isinf和isnan置换无穷大值和缺失值 二 曲线拟合 Matlab提供两种曲线拟合方法 1 以函数的形式 使用命令对数据进行拟合 这种方法比较繁琐 需要对拟合函数有比较好的了解 2 用图形窗口进行操作 具有简便 快速 可操作性强的优点 1 多项式拟合函数 1 Polyfit函数P polyfit x y n 用最小二乘法对数据进行拟合 返回n次多项式的系数 并用降序排列的向量表示 长度为n 1 p s polyfit x y n 返回多项式系数向量p和矩阵s s与polyval函数一起用时 可以得到预测值的误差估计 如数据y的误差服从方差为常数的独立正态分布 polyval函数将生成一个误差范围 其中包含至少50 的预测值 p s mu polyfit x y n 返回多项式的系数 mu是一个二维向量 u1 u2 u1 mean x u2 std x 对数据进行预处理x x u1 u2 2 Polyval函数 利用该函数进行多项式曲线拟合评价y polyval p x 返回n阶多项式在x处的值 x可以是一个矩阵或者是一个向量 向量p是n 1个以降序排列的多项式的系数 y polyval p x mu 用x x u1 u2代替x 其中mu是一个二维向量 u1 u2 u1 mean x u2 std x 通过这样处理数据 使数据合理化 y delta polyval p x s y delta polyval p x s mu 产生置信区间y delta 如果误差结果服从标准正态分布 则实测数据落在y delta区间内的概率至少为50 例 x 00 03850 09630 19250 28880 385 y 0 0420 1040 1860 3380 4790 612 p s mu polyfit x y 5 输出结果为 p Columns1through50 0193 0 0110 0 04300 00730 2449Column60 2961说明拟合的多项式为 s R 6x6double df 0normr 2 3684e 016mu 0 16690 1499 自由度为0标准偏差为2 3684e 016 例 根据表中数据进行4阶多项式拟合 x 1345678910 y 1054211234 p s polyfit x y 4 y1 polyval p x plot x y go x y1 b poly2str p t ans 0 0049945t 4 0 11461t 3 0 61143t 2 1 1005t 11 5499 例 电阻和温度的关系数据如下 求60度时的电阻 温度20 532 751 073 095 7电阻7658268739421032 T 20 532 7517395 7 R 7658268739421032 a polyfit T R 1 y poly2str a t y 3 3987t 702 0968 y polyval a T 计算多项式在某一点处的值y 1 0e 003 0 77180 81320 87540 95021 0274 plot T R k T y r holdon plot T y b polyval a 60 ans 906 0212 例 已知年龄和运动能力的一组数据 试确定二者的关系 根据图形指定次数 年龄17192123252729第一人20 4825 1326 1530 026 120 319 35第二人24 3528 1126 331 426 9225 721 3 x1 17 2 29 x x1x1 y 20 4825 1326 1530 026 120 319 3524 3528 1126 331 426 9225 721 3 plot x y r a polyfit x y 2 a 0 20038 9782 72 2150 poly2str a x ans 0 20031x 2 8 9782x 72 215 x1 17 0 1 29 y1 0 20031 x1 2 8 9782 x1 72 215 holdon plot x1 y1 b 数据拟合函数表 数据拟合函数表 2 曲线的参数拟合 第一步 在命令行键入Cftool打开curvefittingtool对话框 第二步 在curvefittingtool对话框中单击Data按钮打开data对话框指定要分析的 预先存在工作区间 数据 第三步 在curvefittingtool对话框中单击fitting按钮打开fitting对话框 进行设置 实现曲线拟合 Fitting对话框 包括两个面板 FitEditor 面板和 TabeofFits 面板 1 Fiteditor选择拟合的文件名 数据集 选择排除数据的文件 比较数据拟合的各种方法 包括库函数 自定义的拟合模型和拟合参数的选择 2 TableofFits同时列出所有的拟合结果 两个面板的详细描述 Newfit和Copyfit按钮 开始进行曲线拟合是 单击Newfit按钮 它采用默认的线性多项式拟合数据 在原有的拟合形式上 选择不同的曲线拟合方法 可以用Copyfit按钮 Fitname选项为当前拟合曲线的名字 单击Newfit按钮时系统会产生默认的文件名 Dataset选项为当前的数据集 Exclusionrule排除异常值的文件名 在数据与处理前建立的文件名 CenterandscaleXdata可对观测数据进行中心化和离散化处理 Typeoffit拟合的类型 包括参数拟合和非参数拟合两种 具体包括 1 CustomEquations自定义拟合的线性或非线性方程 2 Newequation使用CustomEquations按钮钱 必须单击Newequation按钮选择合适的方程 3 Exponential指数拟合包括两种形式 y a exp b x y a exp b x c exp d x 4 Fourier傅立叶拟合 正弦和余弦之和 共8个多项式 5 Gaussian高斯法 包括8个公式 6 Interpolant内插法 包括线性内插 最近邻内插 三次样条内插和shape preserving内插 7 Polynomial多项式 从一次到九次 8 Rational有理拟合 两个多项式之比 分子与分母都是多项式 9 Power指数拟合 包括两种形式 y a x by a x b c 10 Smoothingspline平滑样条拟合 默认的平滑参数由拟合的数据集来决定 参数是0产生一个分段的线性多项式拟合 参数是1产生一个分段三次多项式拟合 11 SumofSinFunctions正弦函数的和 采用以下8个公式 a1 sin b1 x c1 a1 sin b1 x c1 a8 sin b8 x c8 12 Weibull两个参数的Weibull分布 表达式如下 Y a b x b 1 exp a x b 3 DegreeofFreedomAdjustedR Square调整自由度以后的残差的平方 数值越接近1 曲线的拟合效果越好 4 RootMeanSquareError根的均方误差Tableoffits拟合曲线的列表 可以对每个列表做如下操作 Deletefit删除所选的拟合曲线 Savetoworkspace储存所有的拟合信息 Tableoptions选择与拟合相联系的信息 Fitoptions包括一些拟合方法 如线性拟合 非线性拟合 以及其他选项 单击Apply按钮 采用上述所选各种方法进行拟合 单击Immediateapply按钮 在选择一个拟合形式后立即输出结果并存储 Results罗列进行拟合的各种参数 1 SSE sumofsquaresduetoerror误差平方和 越接近0曲线的拟合效果越好 2 R square越接近1 曲线的拟合效果越好 例 用三次和五次多项式拟合下列数据 rand state 0 x 1 0 1 39 0 1 10 c 2 5 0 51 3 0 1 y c 1 c 2 x c 3 x 2 c 4 x 3 rand size x 0 5 cftool x y 建立一个M文件 并运行上述文件 打开曲线拟合工具 点击fitting按钮 newfit cubicpolynomial apply results LinearmodelPoly3 f x p1 x 3 p2 x 2 p3 x p4Coefficients with95 confidencebounds p1 0 09837 0 1095 0 08729 p2 1 275 1 113 1 437 p3 0 4351 1 092 0 2222 p4 2 56 1 787 3 332 Goodnessoffit SSE 2 587R square 0 9993AdjustedR square 0 9993RMSE 0 3039 Results LinearmodelPoly5 f x p1 x 5 p2 x 4 p3 x 3 p4 x 2 p5 x p6Coefficients with95 confidencebounds p1 0 001389 0 003589 0 006367 p2 0 03441 0 1601 0 09125 p3 0 1934 0 9131 1 3 p4 0 2733 3 856 4 402 p5 1 013 5 785 7 811 p6 1 835 2 167 5 837 Goodnessoffit SSE 2 552R square 0 9993AdjustedR square 0 9992RMSE 0 3133 拟合图形 例 用有理拟合方法拟合数据hahn1 m hahn1 m是matlab自带 描述铜的热膨胀与热力学温度的相关性 包括两个向量temp与thermex loadhahn1 cftool temp thermex 分子分母均为2次 分子分母均为3次 分子三次 分母二次 分子三次 分母二次的有理多项式拟合鲜果很好 拟合曲线充分体现了整个数据 残差随机分布在0附近 3 非参数拟合 有时我们对拟合参数的提取或解释不感兴趣 只想得到一个平滑的通过各数据点的曲线 这种拟合曲线的形式称之为非参数拟合 非参数拟合的方法包括 1 插值法Interpoants 2 平滑样条内插法Smoothingspline 内插法 在已知数据点之间估计数值的过程 包括Linear线性内差 在每一队数据之间用不同的线性多项式拟合 Nearestneighbor最近邻内插 内差点在最相邻的数据点之