高中数学新课程创新教学设计案例50篇__8_函数的单调性

8 函数的单调性函数的单调性 教材分析教材分析 函数的单调性是函数的重要特性之一 它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定 性地联系在一起 在初中学习函数时 借助图像的直观性研究了一些函数的增减性 这节 内容是初中有关内容的深化 延伸和提高 这节通过对具体函数图像的归纳和抽象 概括 出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义 明确指出函数的增减性是相对于某个 区间来说的 教材中判断函数的增减性 既有从图像上进行观察的直观方法 又有根据其 定义进行逻辑推理的严格方法 最后将两种方法统一起来 形成根据观察图像得出猜想结 论 进而用推理证明猜想的体系 这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数 的单调性的概念证明函数的单调性 难点是理解函数单调性的概念 教学目标教学目标 1 通过对增函数 减函数概念的归纳 抽象和概括 体验数学概念的产生和形成过程 培养学生从特殊到一般的抽象概括能力 2 掌握增函数 减函数等函数单调性的概念 理解函数增减性的几何意义 并能初步 运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性 培养学生对数学的理解能力和逻辑推理 能力 3 通过对函数单调性的学习 初步体会知识发生 发展 运用的过程 培养学生形成 科学的思维 任务分析任务分析 这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识 即主要根据观察图像得出结论 这节函 数增减性的定义 是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义 学生接受起来 可能比较困难 在引入定义时 要始终结合具体函数的图像来进行 以增强直观性 采用 由具体到抽象 再由抽象到具体的思维方法 便于学生理解 对于定义 要注意对区间上 所取两点 x1 x2的 任意性 的理解 多给学生操作与思考的时间和空间 教学设计教学设计 一 问题情境一 问题情境 1 如图为某市一天内的气温变化图 1 观察这个气温变化图 说出气温在这一天内的变化情况 2 怎样用数学语言刻画在这一天内 随着时间的增大 气温逐渐升高或下降 这一特 征 2 分别作出下列函数的图像 1 y 2x 2 y x 2 3 y x2 根据三个函数图像 分别指出当 x 时 图像的变化趋势 二 建立模型二 建立模型 1 首先引导学生对问题 2 进行探讨 观察分析 观察函数 y 2x y x 2 y x2图像 可以发现 y 2x 在 上 y x2在 上的图像由左向右都是上升的 y x 2 在 上 y x2在 上的图像由左向右都是下降的 函数图像的 上升 或 下降 反映了函 数的一个基本性质 单调性 那么 如何描述函数图像 上升 或 下降 这个图像特征 呢 以函数 y x2 x 为例 图像由左向右下降 意味着 随着 x 的增大 相 应的函数值 y f x 反而减小 如何量化呢 取自变量的两个不同的值 如 x1 5 x2 3 这时有 x1 x2 f x1 f x2 但是这种量化并不精确 因此 x1 x2应具有 任意性 所以 在区间 0 上 任取两个 x1 x2得到 f x1 f x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 这时 我们就说 f x x2在 区间 0 上是减函数 注意 在这里 要提示学生如何由直观图像的变化规律 转化为数学语言 即自变量 变化时对函数值 y 的影响 必要时 对 x y 可举出具体数值 进行引导 归纳和总 结 这里的 都有 是对应于 任意 的 2 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上 教师明晰 抽象概括 设函数 f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么我们就说函数 f x 在区间 上是增函数 如图 8 2 1 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么我们就说函数 f x 在区间 上是减函数 如图 8 2 2 如果函数 y f x 在区间 D 上是增函数或减函数 那么我们就说函数 y f x 在这 一区间具有 严格的 单调性 区间 D 叫作 y f x 的单调区间 3 提出问题 组织学生讨论 1 定义在 R 上的函数 f x 满足 f 2 f 1 能否判断函数 f x 在 R 是 增函数 2 定义在 R 上函数 f x 在区间 0 上是增函数 在区间 0 上也 是增函数 判断函数 f s 在 R 上是否为增函数 3 观察问题情境 1 中气温变化图像 根据图像说出函数的单调区间 以及在每一单 调区间上 它是增函数还是减函数 强调 定义中 x1 x2是区间 D 上的任意两个自变量 函数的单调性是相对于某一区间 而言的 三 解释应用三 解释应用 例 例 题 题 1 证明函数 f x 2x 1 在 是增函数 注 要规范解题格式 2 证明函数 f x 在区间 0 和 0 上都是减函数 思考 能否说 函数 f x 在定义域 0 0 上是减函数 3 设函数 y f x 在区间 D 上保号 恒正或恒负 且 f x 在区间 D 上为增函数 求证 f x 在区间 D 上为减函数 证明 设 x1 x2 且 x1 x2 f x 在区间 D 上保号 f x1 f x2 0 又 f x 在区间 D 上为增函数 f x1 f x2 0 从而 g x1 g x2 0 g x 在 D 上为减函数 练 练 习 习 1 证明 1 函数 f x 在 0 上是增函数 2 函数 f x x2 x 在 上是减函数 2 判断函数的单调性 并写出相应的单调区间 3 如果函数 y f x 是 R 上的增函数 判断 g x kf x k 0 在 R 上的单 调性 四 拓展延伸四 拓展延伸 1 根据图像 简要说明近 150 年来人类消耗能源的结构变化情况 并对未来 100 年能 源结构的变化趋势作出预测 2 判断二次函数 f x ax2 bx c a 0 的单调性 并用定义加以证明 3 如果自变量的改变量 x x2 x1 0 函数值的改变量 y f x2 f x1 0 那么函数 f x 在区间 D 上是增函数还是减函数 4 函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数 f x 在 x1 x2之 间的平均变化率 1 根据函数的平均变化率判断 y f x 在区间 D 上是增函数还是减函数 2 比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系 点点 评评 这篇案例设计完整 思路清晰 案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景 归 纳 抽象概括出了增函数 减函数的定义 充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的 教学 符合新课程标准的精神 例题与练习由浅入深 完整 全面 拓展延伸 的设计有 新意 有深度 为学生数学思维能力 创造能力的培养提供了平台 这篇案例的突出特点 体现在如下几个方面 1 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握 由于数学高度抽象的特点 注重体现基本概念的来龙去脉 在数学中要引导学生经历 从具体实例抽象出数学概念的过程 在初步运用中逐步理解概念的本质 2 注重联系 提高对数学整体的认识 数学的发展既有内在的动力 也有外在的动力 在高中数学的教学中 要注重数学的 不同分支和不同内容之间的联系 数学与日常生活的联系 数学与其他学科的联系 例如 通过研讨本节课 拓展延伸 中的第 1 个问题 可以大大提高了学生