高考数学所有公式及结论总结大全

1 高考数学常用公式及结论高考数学常用公式及结论 200 条条 集合集合 元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 包含关系的等价条件 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 2 容斥原理 CardA 是集合 A 中元素的个数 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard AB card ABcard BCcard CAcard ABC 集合的子集个数共有 个 真子集有 1 个 非空子集有 1 个 非空的真子 12 n a aa 2n2n2n 集有 2 个 2n 集合 A 中有 M 个元素 集合 B 中有 N 个元素 则可以构造 M N 个从集合 A 到集合 B 的映射 3 二次函数 二次方程二次函数 二次方程 二次函数的解析式的三种形式 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 2 0 f xa xhk a 3 零点式 12 0 f xa xxxxa 解连不等式常有以下转化形式 Nf xM Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 0 f xN Mf x 11 f xNMN 方程在上有且只有一个实根 与不等价 前者是后者的一个必要而不0 xf 21 kk0 21 kfkf 是充分条件 特别地 方程有且只有一个实根在内 等价于 0 0 2 acbxax 21 kk0 21 kfkf 或且 0 1 kf 22 21 1 kk a b k 或且 0 2 kf 2 21 22 k a bkk 闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在最值只能在处及区间的两端点处取处及区间的两端点处取 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 得 具体如下表 得 具体如下表 二次函数在闭区间上的最大 最小值问题探讨 nm 4 设 则二次函数在闭区间上的最大 最小值有如下的分布情况 00 2 acbxaxxf nm a b nm 2 即 nm a b 2 n a b m 2 nm a b 2 图象最大 最小值 nfxf mfxf min max a b fxf mfnfxf 2 max min max mfxf nfxf min max 对于开口向下的情况 讨论类似 其实无论开口向上还是向下 都只有以下两种结论 1 若 nm a b 2 则 nf a b fmfxf 2 max max nf a b fmfxf 2 min min 2 若 则 nm a b 2 nfmfxf max max nfmfxf min min 另外 当二次函数开口向上时 自变量的取值离开轴越远 则对应的函数值越大 反过来 当二次函数开x 口向下时 自变量的取值离开轴越远 则对应的函数值越小 x 一元二次方程根的分布情况0 2 cbxax 分布情况 两个负根即两根都小于 0 12 0 0 xx 两个正根即两根都大于 0 12 0 0 xx 一正根一负根即一个根小于 0 一个大于 0 12 0 xx 5 表一 两根与表一 两根与 0 的大小比较即根的正负情况 注意 用韦达定理也可以 的大小比较即根的正负情况 注意 用韦达定理也可以 设方程的不等两根为且 相应的二次函数为 2 00axbxca 12 x x 12 xx 2 0f xaxbxc 方程的根即为二次函数图象与轴的交点 它们的分布情况见下面各表 每种情况对应的均是充要条件 x 大致图象 0 a得出的结论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 大致图象 0 a得出的结论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 综合结论 不讨论 a 0 0 2 00 b a a f 0 0 2 00 b a a f 00 fa 6 表二 两根与表二 两根与的大小比较 的大小比较 k 分布情况 两根都小于即 k kxkx 21 两根都大于即 k kxkx 21 一个根小于 一个大于即k k 21 xkx 大致图象 0 a得出的结论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0 kf 大致图象 0 a得出的结论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0 kf 综合结论 不讨论 a 0 2 0 b k a a f k 0 2 0 b k a a f k 0 kfa k k k 7 8 表三 根在区间上的分布 分布情况 两根都在内 nm 两根有且仅有一根在内 nm 图象有两种情况 只画了一种 一根在内 另一根在 nm 内 qp qpnm 大致图象 0 a得出的结论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0 nfmf 或 0 0 0 0 f m f n fp f q 0 0 f m f n fp f q 大致图象 0 a得出的结论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0 nfmf或 0 0 0 0 f m f n fp f q 0 0 f m f n fp f q 综合结论 不讨论 a 0 nfmf 0 0 qfpf nfmf 9 根在区间上的分布还有一种情况 两根分别在区间外 即在区间两侧 图形分别如下 nm 12 xm xn 需满足的条件是 1 时 0a 0 0 f m f n 2 时 0a 0 0 f m f n 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明 1 两根有且仅有一根在内有以下特殊情况 nm 若或 则此时不成立 但对于这种情况是知道了方程有一根为或1 0f m 0f n 0f mf n Am 可以求出另外一根 然后可以根据另一根在区间内 从而可以求出参数的值 如方程n nm 在区间上有一根 因为 所以 2 220mxmx 1 3 10f 2 2212mxmxxmx 另一根为 由得即为所求 2 m 2 13 m 2 2 3 m 方程有且只有一根 且这个根在区间内 即 此时由可以求出参数的值 然后再将参数2 nm 0 0 的值带入方程 求出相应的根 检验根是否在给定的区间内 如若不在 舍去相应的参数 如方程 有且一根在区间内 求的取值范围 分析 由即 2 4260 xmxm 3 0 m 300ff A 得出 由即得出或 当 141530mm 15 3 14 m 0 2 164 260mm 1m 3 2 m 时 根 即满足题意 当时 根 故不满足题意 1m 23 0 x 1m 3 2 m 33 0 x 3 2 m 综上分析 得出或 15 3 14 m 1m 10 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 1 在给定区间的子区间 形如 不同 上含参数的二次不等式 L 为参数 恒成立的充要条件是 0f x t t min 0 f x txL 2 在给定区间的子区间上含参数的二次不等式 为参数 恒成立的充要条件是 0f x t t 0 man f x txL 3 恒成立的充要条件是或 0 24 cbxaxxf 0 0 0 a b c 2 0 40 a bac 简易逻辑 真值表 非 或 且 真真假真真 真假假真假 假真真真假 假假真假假 常见结论的否定形式 11 原结论反设词原结论反设词 是不是至少有一个一个也没有 都是不都是至多有一个至少有两个 大于不大于至少有个n 至多有 1n 个 小于不小于至多有个n 至少有 1n 个 对所有 x 成立 存在某 x 不成立或pq且p q 对任何 x 不成立 存在某 x 成立且pq或p q 四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若 则 若 则 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非 则非 互逆 若非 则非 充要条件 1 充分条件 若 则是充分条件 pq pq 2 必要条件 若 则是必要条件 qp pq 3 充要条件 若 且 则是充要条件 pq qp pq 注 如果甲是乙的充分条件 则乙是甲的必要条件 反之亦然 函数 函数的单调性 1 设那么 2121 xxbaxx 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是减函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 12 2 设函数在某个区间内可导 如果 则为增函数 如果 则为 xfy 0 x f xf0 x f xf 减函数 如果函数和都是减函数 则在公共定义域内 和函数也是减函数 如果函数 xf xg xgxf 和在其对应的定义域上都是减函数 则复合函数是增函数 ufy xgu xgfy 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 在对称区间上 奇函数的单调性相同 欧函数相 反 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于 y 轴对称 那么 这个函数是偶函数 如果一个奇函数的定义域包括 0 则必有 f 0 0 若函数是偶函数 则 若函数是偶函数 则 xfy axfaxf axfy axfaxf 对于函数 恒成立 则函数的对称轴是函数 两 xfy Rx xbfaxf xf 2 ba x 个函数与 的图象关于直线对称 axfy xbfy 2 ba x 若 则函数的图象关于点对称 若 则函数 axfxf xfy 0 2 a axfxf 为周期为的周期函数 xfy a2 多项式函数的奇偶性 1 10 nn nn P xa xaxa 多项式函数是奇函数的偶次项 即奇数项 的系数全为零 P x P x 多项式函数是偶函数的奇次项 即偶数项 的系数全为零 P x P x 函数的图象的对称性 yf x 1 函数的图象关于直线对称 yf x xa f axf ax 2 faxf x 2 函数的图象关于直线对称 yf x 2 ab x f amxf bmx f abmxf mx 两个函数图象的对称性 1 函数与函数的图象关于直线 即轴 对称 yf x yfx 0 x y 2 函数与函数的图象关于直线对称 yf mxa yf bmx 2 ab x m 3 函数和的图象关于直线 y x 对称 xfy 1 xfy 若将函数的图象右移 上移个单位 得到函数的图象 若将曲线 xfy abbaxfy 的图象右移 上移个单位 得到曲线的图象 0 yxfab0 byaxf 互为反函数的两个函数的关系 abfbaf 1 若函数存在反函数 则其反函数为 并不是 而函数 bkxfy 1 1 bxf k y 1 bkxfy 是的反函数 1 bkxfy 1 bxf k y 几个常见的函数方程 1 正比例函数 f xcx 1 f xyf xf yfc 2 指数函数 x f xa 1 0f xyf x f yfa 3 对数函数 logaf xx 1 0 1 f xyf xf yf aaa 4 幂函数 f xx 1 f xyf x f yf 13 5 余弦函数 正弦函数 cosf xx sing xx f xyf x f yg x g y 0 0 1 lim1 x g x f x 几个函数方程的周期 约定 a 0 1 则的周期 T a axfxf xf 2 或 0 axfxf 0 1 xf xf axf 或 或 则的周期 T 2a 1 f xa f x 0 f x 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x xf 3 则的周期 T 3a 0 1 1 xf axf xf xf 4 且 则的周期 T 4a 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa xf 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 则的周期 T 5a 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa xf 6 则的周期 T 6a axfxfaxf xf 指数与对数 分数指数幂 1 且 2 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 1 m n m n a a 0 am nN 1n 根式的性质 1 2 当为奇数时 当为偶数时 n n aa n nn aa n 0 0 nn a a aa a a 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指数 幂都适用 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 对数的换底公式 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论 且 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 14 1 2 log loglog aaa MNMN logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 设函数 记 若的定义域为 则 且 0 log 2 acbxaxxf m acb4 2 xfR0 a 若的值域为 则 且 对于的情形 需要单独检验 0 xfR0 a0 0 a 对数换底不等式及其推广 若 则函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 1 当时 在和上为增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 当时 在和上为减函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 推论 设 且 则 1nm 0p 0a 1a 1 2 log log mpm npn 2 logloglog 2 aaa mn mn 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为 则对于时间的总产值 有 pxy 1 xyNp 39 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 数列 数列的前n项和与通项的公式 nn aaaS 21 2 1 1 1 nSS nS a nn n 等差数列的判断方法 等差数列的判断方法 定义法定义法 为等差数列 1 常数d a a n n an 中项法中项法 为等差数列 aaa nnn21 2 an 通项公式法通项公式法 a b 为常数 为等差数列 banan an 前前 n n 项和公式法项和公式法 A B 为常数 为等差数列 BnnA sn 2 an 等差中项 等差中项 若成等差数列 则 A 叫做与的等差中项 且 a A bab 2 ab A 15 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 等差数列的性质等差数列的性质 1 当公差时 等差数列的通项公式是关于的一次函数 且斜率为0d 11 1 n aanddnad n 公差 前和是关于的二次函数且常数项为 0 等差数列 a 中 dn 2 11 1 222 n n ndd Snadnan n n 是 n 的一次函数 且点 n 均在直线 y x a 上 n Sn n Sn 2 d 1 2 d 2 若公差 则为递增等差数列 若公差 则为递减等差数列 若公差 则为常数列 0d 0d 0d 3 对称性 若是有穷数列 则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和 当 an 时 则有 特别地 当时 则有 mnpq qpnm aaaa 2mnp 2 mnp aaa 4 项数成等差 则相应的项也成等差数列 即成等差 若 是等差数 2 Nmk aaa mkmkk n a n b 列 则 是非零常数 公差为 n ka nn kapb kp p nq ap qN 232 nnnnn SSSSS dn2 也成等差数列 而成等比数列 若是等比数列 且 则是等差数列 n a a n a0 n a lg n a 5 在等差数列中 当项数为偶数时 n a2n 1 aa nnn n s nd ss 奇偶 a a n n s s 1 奇 偶 项数为奇数时 21n an n n s 12 12 ass 1 奇偶 n n s s1 奇 偶 6 单调性 设 d 为等差数列的公差 则 an d 0是递增数列 d 0是递减数列 d 0是常数数列 an an an 7 若等差数列 的前和分别为 且 则 n a n bn n A n B n n A f n B 21 21 21 21 21 nnn nnn anaA fn bnbB 16 8 设 a a a 为等差数列中的三项 且 a 与 a a与 a 的项距差之比 1 lmnlmmn nm ml 则 a m 1 nl aa 9 在等差数列 a 中 S a S b n m 则 S a b nnmnm mn mn 已知已知成等差数列 求成等差数列 求的最值问题 的最值问题 ansn 若 d0 且满足 则最小 0 1 a 0 0 1a a n n sn 首正 的递减等差数列中 前项和的最大值是所有非负项之和 首负 的递增等差数列中 前项nn 和的最小值是所有非正项之和 法一 由不等式组确定出前多少项为非负 或非 0 0 0 0 11n n n n a a a a 或 正 法二 因等差数列前项是关于的二次函数 故可转化为求二次函数的最值 但要注意数列的特nn 殊性 上述两种方法是运用了哪种数学思想 函数思想 由此你能求一般数列中的最大或最小 nN 项吗 等比数列的判断方法 等比数列的判断方法 定义法 其中或 1 n n a q q a 为常数 0 0 n qa 1 1 nn nn aa aa 2 n 等比中项 等比中项 如果 a G b 三个数成等比数列 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 即 G 提醒提醒 不ab 是任何两数都有等比中项 只有同号两数才存在等比中项 且有两个 ab 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和公式为 或 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 等比数列的性质等比数列的性质 1 对称性 若是有穷数列 则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积 即当 an 时 则有 特别地 当时 则有 mnpq qpnm aaaa 2mnp 2 pnm aaa 2 若 a 是公比为 q 的等比数列 则 a a ka 也是等比数列 其公比分别为 nn 2 nn n a 1 17 q q q 若成等比数列 则 成等比数列 若是等比数列 且 2 q 1 nn ab nn a b n n a b n a 公比 则数列 也是等比数列 当 且为偶数时 数列1q 232 nnnnn SSSSS 1q n 是常数数列 0 它不是等比数列 若是等比数列 且各项均为正数 则 232 nnnnn SSSSS an 成等差数列 若项数为 3n 的等比数列 q 1 前 n 项和与前 n 项积分别为 S 与 T 次 n 项和与次 ana log 11 n 项积分别为 S 与 T 最后 n 项和与 n 项积分别为 S 与 T 则 S S S 成等比数列 T T T 亦成 2233123123 等比数列 3 单调性 单调性 若 或则为递增数列 若 或 1 0 1aq 1 0 01aq n a 1 0 1aq 1 0 01aq 则为递减数列 若 则为摆动数列 若 则为常数列 n a0q n a1q n a 4 当时 这里 但 这是等比数列前项1q baq q a q q a S nn n 11 11 0ab 0 0ab n 和公式的一个特征 据此很容易根据 判断数列是否为等比数列 如如若是等比数列 且 n S n a n a3n n Sr 则 答 1 r 5 如如设等比数列的公比为 前项和为 若成等 mn m nmnnm SSq SSq S n aqn n S 12 nnn SSS 差数列 则的值为 答 2 q 6 在等比数列中 当项数为偶数时 项数为奇数时 n a2nSqS 偶奇 21n 1 SaqS 奇偶 7 如果数列既成等差数列又成等比数列 那么数列是非零常数数列 故常数数列仅是此数列 n a n a n a 既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件 等比差数列 的通项公式为 n a 11 0 nn aqad ab q 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前 n 项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 分期付款 按揭贷款 每次还款元 贷款元 次还清 每期利率为 1 1 1 n n abb x b anb 18 19 三角函数 常见三角不等式 1 若 则 2 若 则 0 2 x sintanxxx 0 2 x 1sincos2xx 3 sin cos 1xx 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 正弦 余弦的诱导公式 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅助角所在象限由点的象限决定 sincosab 22 sin ab a btan b a 半角正余切公式 sinsin tan cot 21 cos1 cos 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 三角函数的周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 且 A 0 0 的周期sin yx cos yx 函数 A 为常数 且 A 0 0 的周期 2 T tan yx 2 xkkZ T n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 20 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 面积定理 1 分别表示 a b c 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 在三角形中有下列恒等式 sin sinABC tantantantan tan tanABCABC 简单的三角方程的通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZa s2arccos 1 co xaxka kZa tanarctan xaxka kZ aR 特别地 有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 最简单的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 角的变形 2 2 向量 实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么 21 1 结合律 a a a a 2 第一分配律 a a a a a a 3 第二分配律 a a b b a a b b 向量的数量积的运算律 1 a a b b b b a a 交换律 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 a a b b c c a a c c b b c c 平面向量基本定理 如果 e e1 1 e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 1 2 使得 a a 1e e1 2e e2 不共线的向量 e e1 e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 向量平行的坐标表示 设 a a b b 且 b b0 0 则 a a b bb b0 0 11 x y 22 xy A 1221 0 x yx y a a与 b b 的数量积 或内积 a a b b a a b b cos a b 的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 平面向量的坐标运算 1 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 2 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设 a a 则a a x yR xy 5 设 a a b b 则 a a b b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 两向量的夹角公式公式 a a b b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB A B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 向量的平行与垂直 设 a a b b 且 b b0 0 则 11 x y 22 xy A A b bb b a a 1221 0 x yx y a ab ab a0 0 a a b b 0 1212 0 x xy y 线段的定比分公式 设 是线段的分点 是实数 且 则 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 则 ABC 的重心的坐标是 11 A x y 22 B x y 33 C x y 123123 33 xxxyyy G 点的平移公式 22 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注 图形 F 上的任意一点 P x y 在平移后图形上的对应点为 且的坐标为 F P x y PP h k 按向量平移 的几个结论 1 点按向量 a a 平移后得到点 P x y h k P xh yk 2 函数的图象按向量 a a 平移后得到图象 则的函数解析式为 yf x C h k C C yf xhk 3 图象按向量 a a 平移后得到图象 若的解析式 则的函数解析式为 C h kCC yf x C yf xhk 4 曲线 按向量 a a 平移后得到图象 则的方程为 C 0f x y h k C C 0f xh yk 5 向量 m m 按向量 a a 平移后得到的向量仍然为 m m x y h k x y 三角形五 心 向量形式的充要条件 设为所在平面上一点 角所对边长分别为 则OABC A B C a b c 1 为的外心 OABC 222 OAOBOC 2 为的重心 OABC 0OAOBOC 3 为的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 为的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 为的的旁心 OABC A aOAbOBcOC 不等式 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 2 当且仅当 a b 时取 号 a bR 2 ab ab 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 bababa 极值定理 已知都是正数 则有yx 1 若积是定值 则当时和有最小值 xypyx yx p2 2 若和是定值 则当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 推广 已知 则有Ryx xyyxyx2 22 1 若积是定值 则当最大时 最大 xy yx yx 当最小时 最小 yx yx 2 若和是定值 则当最大时 最小 yx yx xy 当最小时 最大 yx xy 一元二次不等式 如果与同号 则其 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 2 axbxc 解集在两根之外 如果与异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号两a 2 axbxc 根之间 121212 0 xxxxxxxxx 23 121212 0 xxxxxxxxxx 或 含有绝对值的不等式 当 a 0 时 有 2 2 xaxaaxa 或 22 xaxaxa xa 75 无理不等式 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 指数不等式与对数不等式 1 当时 1a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 直线方程 斜率公式 k tan 为直线倾斜角 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 直线的五种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 0ab 24 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若 且 A1 A2 B1 B2都不为零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC 两直线垂直的充要条件是 即 1212 0A AB B 12 ll 1212 0A AB B 夹角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线 l1与 l2的夹角是 12 ll 2 到的角公式 1 l 2 l 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线 l1到 l2的角是 12 ll 2 四种常用直线系方程 1 定点直线系方程 经过定点的直线系方程为 除直线 其中是待 000 P xy 00 yyk xx 0 xx k 定的系数 经过定点的直线系方程为 其中是待定的系数 000 P xy 00 0A xxB yy A B 2 共点直线系方程 经过两直线 的交点的直线系方程为 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 除 其中 是待定的系数 111222 0AxB yCA xB yC 2 l 3 平行直线系方程 直线中当斜率 k 一定而 b 变动时 表示平行直线系方程 与直线ykxb 平行的直线系方程是 是参变量 0AxByC 0AxBy 0 4 垂直直线系方程 与直线 A 0 B 0 垂直的直线系方程是 0AxByC 0BxAy 是参变量 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 或所表示的平面区域0AxByC 0 设直线 若 A 0 则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 0l AxByC 0AxByC 若 A 0 则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 可0AxByC 0AxByC 0AxByC 记为 x 为正开口对 X 为负背靠背 正负指 X 的系数 A 开口对指 背靠背指 0 的焦点 F 的直线与抛物线相交于pxy2 2 22 11221212 4 1 4 A x y B xyy ypx xp O O AO B 则有 即k K 为原点 22 11221212 1 4 4 A x y B xyy ypx xpO O AO B 则有即k K 为原点 圆锥曲线共性问题 两个常见的曲线系方程 1 过曲线 的交点的曲线系方程是 1 0f x y 2 0fx y 为参数 12 0f x yfx y 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程 其中 当时 表示椭 22 22 1 xy akbk 22 max ka b 22 min ka b 圆 当时 表示双曲线 2222 min max a bka b 31 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 22 1212 ABxxyy 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 弦端点 A 2211 yxByx 由方程 消去 y 得到 为直线的倾斜角 为直线的斜率 0 y x F bkxy 0 2 cbxax0 ABk 涉及到曲线上的 点 A B 及线段 AB 的中点 M 的关系时 可以利用 点差法 比如在椭圆中 1122 22 11 22 22 22 22 22 01212 22 12120 M 0 0 1 1 1 2 1 2 A xyB xyxy xy ab xy ab xyyxxbb xxyyaya 中点则有 圆锥曲线的两类对称问题 1 曲线关于点成中心对称的曲线是 0F x y 00 P xy 00 2 2 0Fx xyy 2 曲线关于直线成轴对称的曲线是 0F x y 0AxByC 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 四线 一方程 对于一般的二次曲线 用代 用代 用代 22 0AxBxyCyDxEyF 0 x x 2 x 0 y y 2 y 00 2 x yxy xy 用代 用代即得方程 0 2 xx x 0 2 yy y 曲线的切线 切点弦 中点弦 弦中点方程均是 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 此方程得到 立体几何 109 证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点 2 转化为二直线同与第三条直线平行 3 转化为线面平行 4 转化为线面垂直 5 转化为面面平行 110 证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行 3 转化为面面平行 32 111 证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点 2 转化为线面平行 3 转化为线面垂直 112 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 113 证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 114 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直 115 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 加法交换律 a a b b b b a a 2 加法结合律 a a b b c c a a b b c c 3 数乘分配律 a a b b a a b b 116 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点 的对角线所表示的向量 117 共线向量定理 对空间任意两个向量 a b b 0 a b存在实数 使 a b 三点共线 PAB APAB APtAB 1 OPt OAtOB 共线且不共线且不共线 AB CD AB CD ABCD ABtCD ABCD 118 共面向量定理 向量 p p 与两个不共线的向量 a a b b 共面的存在实数对 使 x ypaxby 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对 使 x yMPxMAyMB 或对空间任一定点 O 有序实数对 使 x yOPOMxMAyMB 119 对空间任一点和不共线的三点 A B C 满足 则当OOPxOAyOBzOC xyzk 时 对于空间任一点 总有 P A B C 四点共面 当时 若平面 ABC 则 P A B C 四点1k O1k O 共面 若平面 ABC 则 P A B C 四点不共面 O 四点共面与 共面 C AB D AD AB AC ADxAByAC 平面 ABC 1 ODxy OAxOByOC O 120 空间向量基本定理 如果三个向量 a a b b c c 不共面 那么对空间任一向量 p p 存在一个唯一的有序实数组 x y z 使 p p xa a yb b zc c 推论 设 O A B C 是不共面的四点 则对空间任一点 P 都存在唯一的三个有序实数 x y z 使 OPxOAyOBzOC 121 射影公式 已知向量 a a和轴 e e 是 上与 同方向的单位向量 作 A 点在 上的射影 作 B 点在 上的射影 AB llll Al B 则 a a e e a a e e cosABAB 122 向量的直角坐标运算 33 设a a b b 则 123 a a a 123 b b b 1 a a b b 112233 ab ab ab 2 a a b b 112233 ab ab ab 3 a a R 123 aaa 4 a a b b 1 1223 3 aba ba b 123 设 A B 则 111 x y z 222 xyz ABOBOA 212121 xx yy zz 124 空间的线线平行或垂直 设 则 111 ax y z r 222 bxyz r a b rr P 0 ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ab rr 0a b r r 12121 2 0 x xy yz z 125 夹角公式 设a a b b 则 123 a a a 123 b b b cos a a b b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb 推论 此即三维柯西不等式 2222222 1 1223 3123123 aba ba baaabbb 126 四面体的对棱所成的角 四面体中 与所成的角为 则ABCDACBD 2222 cos 2 ABCDBCDA AC BD 127 异面直线所成角 cos cos a b r r 12121 2 222222 111222 x xy yz za b abxyzxyz r r rr 其中 为异面直线所成角 分别表示异面直线的方向向量 090 oo a b a b r r a b 128 直线与平面所成角AB 为平面的法向量 sin AB m arc AB m m 129 若所在平面若与过若的平面成的角 另两边 与平面成的角分别是 ABC AB ACBC 1 为的两个内角 则 2 AB ABC 22222 12 sinsin sinsin sinAB 特别地 当时 有90ACB 222 12 sinsinsin 130 若所在平面若与过若的平面成的角 另两边 与平面成的角分别是 ABC AB ACBC 1 为的两个内角 则 2 AB ABO 222 2 2 12 tantan sinsin tanAB 特别地 当时 有90AOB 34 222 12 sinsinsin 131 二面角的平面角l 或 为平面 的法向量 cos m n arc m n cos m n arc m n m n 132 三余弦定理 设 AC 是 内的任一条直线 且 BC AC 垂足为 C 又设 AO 与 AB 所成的角为 AB 与 AC 所成的角为 1 2 AO 与 AC 所成的角为 则 12 coscoscos 133 三射线定理 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 与二面角的棱所成的角是 1 2 则有 2222 1212 sinsinsinsin2sinsincos 当且仅当时等号成立 1212 180 90 134 空间两点间的距离公式 若 A B 则 111 x y z 222 xyz A B d ABAB AB 222 212121 xxyyzz 135 点到直线 距离Ql 点在直线 上 直线 的方向向量 a a 向量 b b 22 1 ha ba b a PllPA PQ 136 异面直线间的距离 是两异面直线 其公垂向量为 分别是上任一点 为间的距离 CD n d n 12 l ln CD 12 l ld 12 l l 137 点到平面的距离 B 为平面的法向量 是经过面的一条斜线 AB n d n n AB A 138 异面直线上两点距离公式 222 2cosdhmnmn 222 2cos dhmnmnEA AF 222 2cosdhmnmn EAAF 两条异面直线 a b 所成的角为 其公垂线段的长度为 h 在直线 a b 上分别取两点 E F AA AEm AFn EFd 139 三个向量和的平方公式 222 2 222abcabca bb cc a 222 2 cos 2 cos 2 cos abcaba bbcb ccac a 140 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 夹角分别为 则l 123 lll 123 有 2222 123 llll 222 123 coscoscos1 222 123 sinsinsin2 立体几何中长方体对角线长的公式是其特例 141 面积射影定理 cos S S 平面多边形及其射影的面积分别是 它们所在平面所成锐二面角的为 S S 142 斜棱柱的直截面 35 已知斜棱柱的侧棱长是 侧面积和体积分别是和 它的直截面的周长和面积分别是和 lS斜棱柱侧V斜棱柱 1 c 1 S 则 1 Scl 斜棱柱侧 1 VS l 斜棱柱 143 作截面的依据 三个平面两两相交 有三条交线 则这三条交线交于一点或互相平行 144 棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么所得的截面与底面相似 截面面积与底面面积的比等于顶点到截 面距离与棱锥高的平方比 对应角相等 对应边对应成比例的多边形是相似多边形 相似多边形面积的比等于 对应边的比的平方 相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 145 欧拉定理 欧拉公式 简单多面体的顶点数 V 棱数 E 和面数 F 2VFE 1 各面多边形边数和的一半 特别