高考21题 (2)

1 高考高考 21 题题 1 1 20172017 全国全国 I I 已知函数 f x ae2x a 2 ex x I 讨论 f x 的单调性 II 若 f x 有两个零点 求 a 的取值范围 解解 I f x 的定义域为 f x ae2x a 2 ex 1 aex 1 2 ex 1 若 a 0 则 f x 0 则由 f x 0 得 x lna 则 f x 在 lna 单调减 在 lna 单调增 5 II i 若 a 0 则 f x 0 由 I 知 当 x lna 时 f x 取得最小值 最小值 为 f lna 1 lna 1 当 a 1 时 由于 f lna 1 lna 0 故 f x 只有一个零 1 点 2 当 a 1 时 由于 f lna 1 lna 0 故 f x 没有零点 1 当 0 a 1 时 由于 f lna 1 lna 2e 2 2 0 故 f x 在 lna 有一个零点 设正整数 n ln 1 则 f n ae2n aen 2en n en aen a 2 n 3 en a 1 a 2 n en n 2n n 1 1 n n 0 3 由于 ln 1 lna 因此 f x 在 lna 上又一个 3 零点 综上 a 的取值范围是 0 1 命题点评命题点评 本题考查函数单调性 导数运算 指对数运算等基础知识 考查导数在解决函数问题中的工 具作用 函数方程不等式的转化关系 函数思想 运算求 解能力 分析解决问题的能力 技巧点拨技巧点拨 导数是研究函数图像和性质的重要工 具 而含有参数的导数问题是历年高考命题的热点 解决 这类问题时 一般难点在两个方面 一是目标函数的构造 这需要答题者仔细观察分析 并有较强的运算变形能力 3 才能找出本题要求导的函数 二是对目标函数不同情况的 讨论 为了分解问题 何时讨论 怎样讨论是难点 2 2 20172017 全国全国 IIII 已知函数 f x ax2 ax xlnx 且 f x 0 I 求 a II 证明 f x 存在唯一的极大值点 x0 且 e 2 f x0 2 2 解解 I f x 的定义域为 0 设 g x ax a lnx 则 f x xg x f x 0 等价于 g x 0 因为 g 1 0 g x a 1 若 a 0 则 g x 0 g x 在 0 上减少 命题不成 立 若 0 a1 g x 在 0 上减 在 上增 1 1 1 从而有 g 1 则 0 1 g x 在 0 上减 在 上 1 1 1 增 从而有 g g 1 0 命题不成立 1 4 综上所述 a 1 5 II 有 I 知 f x x2 x xlnx f x 2x 2 lnx f x 2 f x 在 0 上减 在 上增 1 1 2 1 2 f x 的最小值是 f 0 1 2 f x 在 0 上又唯一的零点 x0 且 x0 e 2 在 1 2 1 2 1 2 上有唯一的零点 1 f x 有唯一的极大值点 x0 e 2 1 2 由 f x0 2x0 2 lnx0 0 lnx0 2x0 2 f x0 x20 x0 x0lnx0 x20 x0 由 x0 e 2 1 2 f x0 f e 1 e 2 综上 e 2 f x0 2 2 12 5 命题点评命题点评 本题考查了函数与导数的综合应用 考查学生的计算与推理探究问题的能力 3 3 20172017 全国全国 IIIIII 已知函数 f x x 1 alnx I 若 f x 0 求 a 的值 II 设 m 为实数 且对任意的正整数 n 1 1 1 2 1 22 1 0 令 x 1 得 ln 1 1 2 1 2 1 2 ln 1 ln 1 ln 1 1 1 1 2 1 22 1 2 1 2 1 22 1 2 1 2 1 1 1 e 1 2 1 22 1 2 m e 又 m N m 的最小值为 3 12 6 4 2017 山东 已知函数 f x x2 2cosx g x ex cosx sinx 2x 2 I 求曲线 y f x 在点 f 处的切线方程 II 令 h x g x af x a R 讨论 h x 的单调性并判断有无极 值 有极值时求出极值 解 I f x x2 2cosx f 2 2 f x 2x 2sinx f 2 曲线 y f x 在点 f 处的切线方程为 2 x y 2 2 0 4 II h x g x af x ex cosx sinx 2x 2 x2 2cosx h x 2 ex a x sinx 令 m x x sinx 则 m x 1 cosx 0 m x 在 R 上单调增 又 m 0 0 x 0 时 m x 0 时 m x 0 当 a 0 时 ex a h x 在 0 上单调减 在 0 上单调 增 h x 在 0 处取得极小值 极小值是 h 0 2a 1 7 0 a1 时 h x 在 0 lna 上单调减 在 lna 0 上单调增 h x 在 lna 处取得极小值 极小值是 h lna a ln2a 2lna sin lna cos lna 2 在 0 处取得极大值 极大值是 h 0 2a 1 命题点评命题点评 本题主要考查函数与导数的相关知识 本题主要考查函数与导数的相关知识 利用导数研究函数的切线方程 单调性与极值等问题 考利用导数研究函数的切线方程 单调性与极值等问题 考 查了学生的计算能力与应用数学知识解决问题的能力 查了学生的计算能力与应用数学知识解决问题的能力 5 2017 江苏 已知函数 f x x3 ax2 bx 1 a 0 b R 有极值 且导函数 f x 的极 值点是 f x 的零点 I 求 b 关于 a 的函数关系式 并写出定义域 II 证明 b2 3a 8 III 若 f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于 求 7 2 a 的取值范围 解 f x x3 ax2 bx 1 f x 3x2 2ax b 当 x 时 f x 有极小值 b 3 2 3 f 1 0 又 a 0 3 3 27 3 9 3 b 2 2 9 3 导函数 f x 的极值点是 f x 的零点 f x 0 有两个不等的实根 4a2 12b 0 a2 3b a 0 2 2 3 9 a 3 b 定义域是 3 2 2 9 3 II 由 I 知 2 9 3 令 t a a 3 g t 则 t 3 g t 2 9 3 3 2 9 3 2 2 2 27 9 2 g t 在 t 3时单调增 2 9 3 3 9 g t g 3 2 9 3 33 3 b2 3a III 设 f x 的极值点为 x1 x2 则 x1 x2 x1x2 2 3 3 2 2 27 1 f x2 f x2 0 由 I 知 当 x 时 f x 有极小值 b a 3 3 2 3 2 9 3 f x f x 这两个函数的所有极值之和为 2 9 3 由 3 3 因此 a 的取值范围是 3 6 命题点评命题点评 本题主要考查利用导数研究初等本题主要考查利用导数研究初等 函数的单调性 极值和零点等问题 考查综合运用函数的单调性 极值和零点等问题 考查综合运用 数学思想方法分析与解决问题的能力 基本的运算数学思想方法分析与解决问题的能力 基本的运算 能力和技巧 以及逻辑推理能力 能力和技巧 以及逻辑推理能力 20172017 浙江 浙江 10 已知函数 f x x e x x 2 1 1 2 I 求 f x 导函数 II 求 f x 在区间 上的取值范围 1 2 解 I f x 4 2 1 5 2 2 1 2 1 2 1 2 II 由 I 知 f x 在 1 上单调减 在 1 2 5 2 1 上单调增 5 2 又 f f 1 0 f f 且 f x x 1 2 1 2 1 2 5