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飞行器结构力学基础 电子教学教案 西北工业大学航空学院航空结构工程系 第四章静不定结构的内力与变形计算InternalForcesandDeformationsofStaticallyIndeterminateStructures 第一讲 静不定结构的概念力法基本原理与力法正则方程 4 1静不定结构的概念 所谓静不定结构是指 具有多余约束的几何不变体 或f 0的几何不变体 从静不定结构的运动学上 结构的自由度数N 独立的静力平衡方程数目N 未知力的数目C 从静不定结构的静力学上 所谓多余约束是指 去掉该约束后 不会改变原结构的几何不变性 结构的约束数C 由线性代数的知识可知 当方程的数目小于未知量的数目时 满足这组方程的未知量的解有无穷多组 因此 对于静不定结构 在满足静力平衡方程的无穷多组解中 只有其中一组解是真实的 这组解必须同时满足变形协调方程 换句话讲 仅满足静力平衡方程的解 不一定是静不定结构的真实内力解 通常 将多余约束 多余未知力 的数目称为结构的静不定次数或静不定度 只有满足静力平衡条件 同时又满足变形协调条件的内力 才是静不定结构的真正的内力 静定结构与静不定结构的对比 静定结构 静不定结构 运动学 具有最少必需约束 静力学 静力平衡方程数目等于未知力数目 内力求解方法 仅由静力平衡条件即可求出全部未知力 或满足静力平衡条件的内力即为其真实内力 运动学 具有多余约束 静力学 静力平衡方程数目小于未知力数目 内力求解方法 静力平衡条件变形协调条件物理关系式 建立补充方程 平衡方程 4 2力法基本原理与力法正则方程 本节将通过一个2次静不定结构的例子 说明力法基本原理和力法正则方程 4 2力法基本原理与力法正则方程 对于具有2个多余约束的静不定结构 选取1处的2个约束为多余约束 解除之 代之以约束力 静不定结构 注意 1 解除多余约束 不是简单地将约束去掉 而必须用相应的约束力来代替 4 2力法基本原理与力法正则方程 对于具有2个多余约束的静不定结构 选取1处的2个约束为多余约束 解除之 代之以约束力 静不定结构 注意 2 约束力必须是成对的出现 且大小相等 方向相反 这样的一对约束力构成一对自平衡力系 4 2力法基本原理与力法正则方程 对于具有2个多余约束的静不定结构 静不定结构 解除多余约束后 原静不定结构转化成静定的 解除多余约束后的结构 称之为静不定结构的基本系统或基本结构 基本系统或基本结构 将已知外力和多余未知力作用在基本系统上 X1 X2 与原静不定结构相比较 差别在哪里 X1和X2应满足约束处的变形协调条件 由叠加原理 一线弹性体在诸外力作用下产生的效应等于每个力单独作用下产生的效应之和 状态 状态 状态 状态 分解为三个力状态的叠加 外载荷在基本系统上引起的内力 未知力X1在基本系统上引起的内力 未知力X2在基本系统上引起的内力 静不定结构在外载荷作用下的内力 由叠加原理 一线弹性体在诸外力作用下产生的效应等于每个力单独作用下产生的效应之和 状态 状态 状态 状态 将状态 状态分别用单位状态来表示 状态 状态 状态 单位状态 单位状态 X1 1时 在基本系统上引起的内力 X2 1时 在基本系统上引起的内力 状态 状态 状态 如何求这三个状态下的内力和位移呢 静定结构的内力和位移计算方法 状态和状态 状态的内力求解 静不定结构中各元件的内力 静不定结构 当X1和X2为已知时 静不定结构中各元件的内力便可以用叠加原理 通过下式求出 问题关键是 如何确定X1和X2呢 4 2力法基本原理与力法正则方程 静不定结构 X1 X2 X1和X2应满足1点处的变形协调条件 1 0 2 0 1 转化为 利用变形协调条件 建立关于多余未知力的变形协调方程 外力单独作用在基本系统上 在切口X1和X2方向的相对位移为 1P和 2P X1单独作用在基本系统上 在切口X1和X2方向的相对位移为 11和 21 X2单独作用在基本系统上 在切口X1和X2方向的相对位移为 12和 22 由叠加原理和变形协调条件 变形协调方程 分别求出 三个状态在1处的位移值 状态下 在切口X1和X2方向的相对位移为 1P和 2P 状态下 在切口X1和X2方向的相对位移为 11和 21 状态下 在切口X1和X2方向的相对位移为 12和 22 这就是2次静不定结构的典型方程 也称为正则方程 将状态和状态的位移 分别用单位状态和单位状态的位移来表示 求出多余未知力 X1和X2 静不定结构的内力求解 叠加状态和单位状态和 求出静不定结构的全部内力 11 21 12 22 单位状态影响系数 1P 2P 载荷影响系数 1P 2P 11 12 12 22 正则方程中 位移 影响系数的求法 可用单位载荷法计算获得 关于位移影响系数的进一步说明 iP 外载荷或状态 所求位移的位置和方向 ij 所求位移的位置和方向 单位力 外载荷在第i个位移方向上引起的位移 第j个单位力在第i个位移方向上引起的位移 第2个下标表示载荷作用位置 第1个下标表示所求位移位置 1 ii 02 ij ji i j 首先解除n个多余约束代之以n个多余未知力 需要作 n 1 个状态 即一个状态和n个单位状态 i 1 n 解此正则方程 求出多余未知力X1 X2 Xn ii ij ji iP 一般地 对于一个n次静不定结构 按照其变形协调条件组成的力法正则方程为 叠加状态和n个单位状态的内力 求出静不定结构的全部内力 将静不定问题转化为静定问题 以多余未知力作为基本未知量 利用变形协调条件建立补充方程 从而求解结构内力的方法 称为力法 forcemethod 根据结构几何组成分析 正确判断多余约束数 静不定次数 解除多余约束 转化为静定的基本系统 多余约束代以多余未知力 基本未知力 分析基本系统在单位基本未知力和外界因素作用下的位移 建立位移协调条件 力法典型方程或正则方程 从典型方程解得基本未知力 由叠加原理获得结构内力 静不定结构分析通过转化为静定结构获得了解决 力法基本原理思路小结 4 3静不定结构内力计算 力法解静不定结构内力的步骤 1 准确判断系统的静不定次数f 2 选取并解除多余约束 即选取基本系统 分别求出状态和各单位状态内力 并作出各自的内力图 3 利用单位载荷法求位移影响系数 4 建立力法正则方程 并解此方程 首先求出多余未知力 5 利用叠加原理求出结构真实内力 并绘制内力图 6 对计算结果进行校核 对计算结果除需进行力的校核外 还必需进行位移的校核 解 1 分析静不定次数 结构具有4个自由结点 有8个自由度 而杆子数目为10 相当于10个约束 故f 2 2 选取基本系统 选杆2 4及杆3 5的轴力为多余约束力 切断杆2 4及杆3 5的静定系统为基本系统 求出状态和单位状态 的内力图 例4 1求解图所示静不定桁架的内力 已知桁架水平杆及垂直杆的截面面积均为A 斜杆的断面面积为 各杆子的材料相同 3 计算位移影响系数 4 建立力法正则方程 并解之 5 利用叠加原理求各杆内力 各杆的内力可按下式计算 例如 杆2 5的轴力为 其它各杆的轴向力均可如上法求出 最后绘制内力图 例4 2求图示刚架的内力 刚架几何形状 截面惯性矩 载荷及约束情况均如图示 解 1 分析刚架的静不定次数 外部约束多余2个 故f 2 2 选取基本系统 选1点处的两个支座反力为多余约束力 去掉1点的支座的系统为基本系统 求出状态和单位状态 的内力图 3 计算位移影响系数 可利用图形互乘法 4 建立力法正则方程 并解之 5 利用叠加原理求刚架内力 内力可按下式计算 例如 刚架中点A 2 3处的弯矩分别为 最后绘制内力图 轴力图和剪力图也可以按下式计算 具体计算从略 关于基本系统选取的讨论 从静不定问题转化为静定问题 多余约束的选取不是唯一的 因此力法求解的基本系统