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概率论与数理统计 先修课程 高等数学 线性代数教学课时 54课时教材 概率论与数理统计 浙江大学盛骤谢式千潘成毅编高等教育出版社 教学目的 通过本课程的学习 应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念 基本理论和方法 从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想与方法 培养学生运用概率论与数理统计方法分析和解决实际问题的能力 为后续课程的学习及实践打下基础 前言 概率 表示一件事情发生的可能性大小的数值概率论 研究随机现象数量规律的一门学科统计学 关于数据的收集 整理 分析 推断的一门学科数理统计 以概率论为工具的统计 由样本对总体做出一种推断 为什么要学习这门课 理论严谨 应用广泛 发展迅速 目前 不仅高等学校各专业都开设了这门课程 而且从上世纪末开始 这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域 例如天气预报 地震预报 产品的抽样调查 在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性 分辨率等等 概率论的起源 大约400年以前 欧洲一些赌徒遇到这样的问题 1 同时掷两枚骰子 以每个骰子朝上的点数之和作为赌博的内容 问赌注下在多少点最有利 2 甲乙二人赌博 各出赌注30元 共60元 每局甲 乙胜的机会均等 都为1 2 约定 谁先胜满3局 则他赢得全部赌注60元 现已赌完3局 甲2胜1负 因故中断赌博 问这60元如何分给2人才算公平 第一章概率论的基本概念 随机试验 样本空间 随机事件频率与概率等可能概型 古典概型 条件概率独立性 随机现象 自然界所观察到的现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象 太阳不会从西边升起 1 确定性现象 同性电荷必然互斥 水从高处流向低处 实例 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币 观察正反两面出现的情况 2 随机现象 结果有可能出现正面也可能出现反面 确定性现象的特征 条件完全决定结果 结果有可能为 1 2 3 4 5 或 6 实例3 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 实例2 用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发 观察弹落点的情况 结果 弹落点会各不相同 实例4 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品 其结果可能为 正品 次品 实例5 过马路交叉口时 可能遇上各种颜色的交通指挥灯 实例6 出生的婴儿可能是男 也可能是女 实例7 明天的天气可能是晴 也可能是多云或雨 等都为随机现象 随机现象的 个别试验中呈现不确定性 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性 特征 随机现象 个别试验中 其结果呈现出不确定性 在大量重复试验中 其结果又具有统计规律性的现象 在我们所生活的世界上 充满了不确定性从扔硬币 掷骰子和玩扑克等简单的游戏 到复杂的社会现象 从婴儿的诞生 到世间万物的繁衍生息 从流星坠落 到大自然的千变万化 我们无时无刻不面临着不确定性 从亚里士多德时代开始 哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用 他们把随机性看作为破坏生活规律 超越了人们理解能力范围的东西 他们没有认识到有可能去研究随机性 或者是去测量不定性 将不定性 随机性 数量化 来尝试回答这些问题 是直到20世纪初叶才开始的 还不能说这个努力已经十分成功了 但就是那些已得到的成果 已经给人类活动的一切领域带来了一场革命 随机现象是通过随机试验来研究的 问题什么是随机试验 如何来研究随机现象 1 试验 包括各种各样的科学实验 也包括对客观事物进行的 观察 测量 等 2 随机试验 E 具有以下三个特征的试验 1 可以在相同的条件下重复地进行 2 每次试验的可能结果不止一个 并且能事先明确试验的所有可能结果 3 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 E1 抛一枚硬币 观察出现正面H和反面T的情况 E2 将一枚硬币连抛三次 观察出现正反面的情况 E3 将一枚硬币连抛三次 观察出现正面的次数 E4 掷一颗骰子 观察出现的点数 E5 记录某网站一分钟内受到的点击次数 E6 在一批灯泡中任取一只 测其寿命 E7 在某班任选一人 记录他的身高和体重 3 样本空间 随机试验E的所有可能的结果组成的集合 记为S 样本点 样本空间中的每个元素 即试验的每个结果 记为e EX 给出E1 E7的样本空间 4 随机事件 事件 试验E的样本空间S的子集 常用A B C等表示 事件A发生当且仅当A中有一个样本点出现 基本事件由一个样本点组成的单点集 必然事件S不可能事件F 注意一旦做完试验 就会出现一个结果 即有一个样本点出现 E2 将一枚硬币连抛三次 观察正反面出现的情况 E4 掷一颗骰子 观察出现的点数 A HHH HHT HTH HTT B HHH TTT C HTT THT TTH D S4 F F 对于试验E2 以下A B C为随机事件试验E4中D F为随机事件 A 第一次出现正面 B 三次出现同一面 C 恰好出现一次正面 D 出现不大于6的点 F 出现小于1的点 可见 可以用文字表示事件 也可以将事件表示为样本空间的子集 后者反映了事件的实质 且更便于今后计算概率 还应注意 同一样本空间中 不同的事件之间有一定的关系 如试验E2 当试验的结果是HHH时 可以说事件A和B同时发生了 但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生 易见 事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的 这种关系可以用集合之间的关系来描述 A B e A则 e B集合A包含在集合B之中 A B事件A发生则事件B发生事件A包含在事件B之中 若A B 又B A 则称事件A与B相等 记为A B e A Be A或e B集合A与集合B的和或并 A B发生当且仅当事件A发生或事件B发生即 事件A或事件B之中至少有一个发生A B事件A与B的和或并 n个事件A1 A2 An的和C发生就是A1 A2 An中至少一个发生 可列个事件A1 A2 的和C发生就是A1 A2 中至少一个发生 e A Be A且e B集合A与集合B的积 A B发生当且仅当事件A发生且事件B发生事件A与事件B同时发生A B事件A与B的积事件 n个事件A1 A2 An的积C发生就是A1 A2 An同时发生 可列个事件A1 A2 的积C发生就是A1 A2 同时发生 A Be A且e B在集合A但不在集合B之中 A B发生当且仅当事件A发生而事件B不发生A B事件A与B的差事件 若AB 则称A与B为互不相容事件 或互斥 也就是说事件A与B不可能同时发生 A B 注基本事件两两互不相容 若A B S AB 则称A与B互为逆事件 或互为对立事件 也就是说每次试验A B中有且只有一个发生 注 A与B互相对立 与 A与B互斥 不同 A的对立事件记为A 集合的运算法则都适用 常用的有 交换律 结合律 分配律 对偶律 运算顺序 逆交并差 括号优先 例 甲 乙 丙三人各向目标射击一发子弹 以A B C分别表示甲 乙 丙命中目标 试用A B C表示下列事件 A1 至少有一人命中目标A2 恰有一人命中目标A3 恰有两人命中目标A4 最多有一人命中目标A5 三人均命中目标A6 三人均未命中目标 休息片刻继续下一讲 3频率与概率 从直观上来看 事件A的概率是指事件A发生的可能性的大小 P A 应具有何种性质 频率 描述n次试验中事件发生的频繁程度 概率 表征事件在一次试验中发生的可能性大小 试验 在充分多次试验中 事件的频率总在一个定值附近摆动 而且 试验次数越多 一般来说摆动越小 这个性质叫做频率的稳定性 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小 尽管每进行一连串 n次 试验 所得到的频率可以各不相同 但只要n相当大 频率就会非常接近一个值 概率 因此 概率是可以通过频率来 测量 的 频率是概率的一个近似 更多频率稳定性的试验 频率 具有如下基本性质 是两两互不相容的事件 则 1 2 3 若 某一定数 4 频率的稳定性 当n 时 概率 1933年 前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦 设E是随机试验 S是样本空间 对于E的每一个事件A赋予一个实数 记为P A 这个集合函数如果满足下列条件 那么称P A 为事件A的概率 1 非负性 对每个事件A有 2 规范性 对必然事件S有 3 可列可加性 设A1 A2 是两两互不相容事件 则 概率的定义 概率的性质 1 2 若 3 设 是两两互不相容事件 则有 则有 是两个事件 若 6 加法公式 对任意两事件A B有 5 逆事件的概率 对任一事件A 有 4 对任一事件A 推广到3个事件A B C有 证明 作业 25页2 3 推广到n个事件有 4等可能概型 古典概型 若某实验E满足1 有限性 样本空间S e1 e2 en 2 等可能性 P e1 P e2 P en 则称E为等可能概型也叫古典概型 一 定义 设古典概型E的样本空间为S e1 e2 en 若事件A包含k个基本事件 设为A ei1 ei2 eik 则有 古典概型中事件概率的计算公式 由于基本事件互不相容 及等可能概型中每个基本事件发生的概率相同 则1 P S P e1 e2 en P e1 P e2 P en nP ei 所以 P ei 1 n i 1 2 n 那么 P A P ei1 ei2 eik P ei1 P ei2 P eik k n 推导 1 判断试验是否为等可能概型 2 计算出样本空间S及事件A所包含基本事件的个数 若A S中含有元素较少时 可将元素一一列举出来 否则只需计算出A S中包含元素的个数 即基本事件的数目 3 利用公式计算P A 求古典概型事件概率的步骤 例1 将一枚硬币抛掷三次 1 设A1 恰有一次出现正面 求P A1 2 设A2 至少有一次出现正面 求P A2 解 S HHH HHT HTH THH HTT TTH THT TTT 1 A1 HTT TTH THT 所以 2 A2 HHH HHT HTH THH HTT TTH THT 所以 乘法原则 设完成一件事需分两步 第一步有n1种方法 第二步有n2种方法 则完成这件事共有n1n2种方法 复习 排列与组合的基本概念 二 古典概型的几类基本问题 加法原则 设完成一件事可有两种途径 第一种途径有n1种方法 第二种途径有n2种方法 则完成这件事共有n1 n2种方法 共有nk种排列方式 共有Ank n n 1 n k 1 种排列方式 有重复排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次 每次取一个 记录其结果后放回 将记录结果排成一列 无重复排列 从含有n个元素的集合中随机抽取k次 每次取一个 取后不放回 将所取元素排成一列 种取法 组合 从含有n个元素的集合中随机抽取k个 共有 1 取球问题在实际中 产品的检验 疾病的抽查 农作物的选种等问题均可化为随机取球问题 我们选择取球模型的目的在于使问题的数学意义更加突出 而不必过多的交代实际背景 A 无放回地取球 问题 设袋中有4只白球和2只红球 现从袋中无放回地依次取出2只球 求这2只球都是白球的概率 解 设A 取到的2只球都是白球 或 无放回取球模型的应用 1 检查废品问题 设100只晶体管中有5只废品 先从中抽取15只 求其中恰有2只废品的概率 2 分组问题 把20个球队分成两组 每组10队 进行比赛 求最强的两队分在不同组的概率 3 扑克牌花色问题 求某桥牌选手拿到一副牌 13张 中恰有黑桃6张 方块3张 草花4张的概率 B有放回地取球 问题 袋中有4个红球 6个黑球 从中有放回地取球3次 求前2次取到黑球 第3次取到红球的概率 解 A 前2次取到黑球 第3次取到红球 有放回取球模型的应用 1 电话号码问题 在7位数的电话号码 首位不为0 中 求数字0恰好出现3次的概率 2 骰子问题 掷3颗均匀骰子 求点数之和为4的概率 2 球入盒子问题一般地 把n个球随机地分配到N个盒子中去 n N 则每盒至多有一球的概率是多少 假设盒子的容量无限 生日问题 问全班40个同学生日皆不相同的概率为多少 至少两人在同一天生日的概率有多大 应用 分房问题 将张三 李四 王五3人等可能地分配到3间房中去 试求每个房间恰有1人的概率 3 随机取数问题 问题 在1到2000的整数中随机地取一个数 问取到的整数既不能被6整除 又不能被8整除的概率是多少 解 设A 取到的数能被6整除 B 取到的数能被8整除 则所求概率为 因为 所以 AB 表示一个数能被6整除 又能被8整除 就相当于能被24整除 由 得 所求概率为 4 分配问题 问题 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去 这15名新生中有3名优秀生 问 1 每个班级各分到1名优秀生的概率是多少 2 3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少 分析 总分法 例 袋中有a只白球 b只红球 k个人依次在袋中取一只球 1 作放回抽样 2 不放回抽样 求第i人取到白球 记为事件B 的概率 解 1 放回抽样 2 不放回抽样 再来看一个常见的抓阄抽奖例子 参加抓阄抽奖 当然人人都想得奖 这时候该先抽奖还是后抽 才能让中奖概率提高呢 让我们用科学方法解决这个问题吧 假设有三个阄 其中一个标有 奖 另两个为空 甲乙丙依次从箱中摸出一个 谁最有机会摸到标有 奖 的阄呢 首先 甲的机会是三摸一 所以甲摸到标有 奖 的阄的概率是1 3 然后 甲没有摸到的概率是2 3 此时 乙摸到的概率 只剩2个阄让乙摸 2 3 1 2 1 3 所以乙摸到标有 奖 的阄的概率是1 3 丙呢 丙只有在甲 乙都没有摸到的情况下才可能摸到 所以扣掉甲 乙摸中的概率 就是丙的 其概率是1 1 3 1 3 1 3 不管先摸也好 后摸也罢 每个人摸到甜苹果的机会其实都是1 3 抓阄是公平的 例 某接待站在某一周曾接待过12次来访 已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的 问是否可以推断接待时间是有规定的 解 设接待时间是没有规定的 而各来访者在一周内任意一天去接待站是等可能的 那么接待来访者都在周二和周四的概率为 接待来访者都在周二和周四是一个小概率事件 所以可以推断接待时间有规定 作业 25页4 8 11 17 5条件概率 在解决许多概率问题时 往往需要在有某些附加信息 条件 下求事件的概率 如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率 将此概率记作P B A 一般P B A P B 一 条件概率 例1设袋中有3个白球 2个红球 现从袋中任意抽取两次 每次取一个 取后不放回 1 已知第一次取到红球 求第二次也取到红球的概率 2 求第二次取到红球的概率 3 求两次均取到红球的概率 解设A 第一次取到红球 B 第二次取到红球 A 第一次取到红球 B 第二次取到红球 S A AB 对于一般古典概型问题 若试验的基本事件总数为n A B是两个事件 其中A含有nA nA 0 个样本点 AB含有nAB个样本点 则 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 一般地 设A B是E的两个事件 且P A 0则 条件概率的定义 条件概率的计算 1 用定义计算 2 按条件概率的含义计算 由加入条件后改变了的情况去算 A发生后的缩减样本空间所含样本点总数 在缩减样本空间中B所含样本点个数 古典概型 条件概率的性质 设B是一事件 且P A 0 则对任意事件B 0 P B A 1 P S A 1 3 设B1 B2 是两两互不相容事件 则 而且 前面对于概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率 比如加法公式 例2一盒中混有100只新 旧乒乓球 各有红 白两色 分类如下表 从盒中随机取出一球 若取得的是一只红球 试求该红球是新球的概率 解 设A 从盒中随机取到一只红球 B 从盒中随机取到一只新球 A B 条件概率P B A 与P B 的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 设B是随机试验的一个事件 则P B 是在该试验条件下事件B发生的可能性大小 而条件概率P B A 是在原条件下又添加 A发生 这个条件时B发生的可能性大小 即P B A 仍是概率 P B 与P B A 的区别在于两者发生的条件不同 它们是两个不同的概念 在数值上一般也不同 设A B是随机事件 P A 0 则P AB P B A P A 称为事件A B的乘法公式 二 乘法定理 乘法公式还有一种对称形式 若P B 0 则P AB P A B P B 利用乘法公式可计算几个事件同时发生的概率 推广 P ABC P C AB P B A P A P A1A2 An P An A1 An 1 P A2 A1 P A1 P AB 0 P A1 An 1 0 例3盒中有3个红球 2个白球 每次从袋中任取一只 观察其颜色后放回 并再放入一只与所取之球颜色相同的球 若从盒中连续取球4次 试求第1 2次取得白球 第3 4次取得红球的概率 解 设Ai为第i次取球时取到白球 则 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率和后验概率它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用 三 全概率公式和贝叶斯公式 例4市场上有甲 乙 丙三家工厂生产的同一品牌产品 已知三家工厂的市场占有率分别为1 4 1 4 1 2 且三家工厂的次品率分别为2 1 3 试求市场上该品牌产品的次品率 B 解设B 买到一件次品 A1 买到一件甲厂的产品A2 买到一件乙厂的产品A3 买到一件丙厂的产品则 定义事件组A1 A2 An n可为 称为样本空间S的一个划分 若满足 A1 A2 An B 定理1 设A1 An是S的一个划分 且P Ai 0 i 1 n 则对任何事件B有 上式就称为全概率公式 因为B BS B A1 A2 An BA1 BA2 BAn且 BAi BAj F i j那么 P B P BA1 P BA2 P BAn P B A1 P A1 P B A2 P A2 P B An P An 证明 全概率公式的来由 不难由上式看出 全 部概率P B 被分解成了许多部分之和 它的理论和实用意义在于 在较复杂情况下直接计算P B 不易 但容易找出样本空间的一个划分A1 An 且P Ai 及P B Ai 或已知或易求出 就可用全概率公式计算 我们还可以从另一个角度去理解全概率公式 某一事件B的发生有各种可能的原因 i 1 2 n 如果B是由原因Ai所引起 则B发生的概率是P B Ai P Ai 每一原因都可能导致B发生 故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和 即全概率公式 由此可以形象地把全概率公式看成为 由原因推结果 每个原因对结果的发生有一定的 作用 即结果发生的可能性与各种原因的 作用 大小有关 全概率公式表达了它们之间的关系 解设A1 从甲袋放入乙袋的是白球 A2 从甲袋放入乙袋的是红球 B 从乙袋中任取一球是红球 例5有甲乙两个袋子 甲袋中有2个白球 1个红球 乙袋中有2个红球 1个白球 这6个球手感上不可区别 今从甲袋中任取1球放入乙袋 搅匀后再从乙袋中任取1球 问此球是红球的概率 思考 上例中 若已知由乙袋取到一个红球 则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少 答 这是 已知结果求原因 这一类问题在实际中更为常见 它所求的是条件概率 是已知某结果发生的条件下 求各原因发生可能性大小 定理2设A1 An是S的一个划分 且P Ai 0 i 1 n 则对任何事件B 有 上式就称为贝叶斯公式 该公式于1763年由贝叶斯 Bayes 给出 它是在观察到事件B已发生的条件下 寻找导致B发生的每个原因的概率 例4若在市场上买一件该品牌产品是次品 试分析这个次品来自哪个厂的概率更大些 解设B 买到一件次品 A1 买到一件甲厂的产品A2 买到一件乙厂的产品A3 买到一件丙厂的产品则 由全概率公式可知 丙厂 贝叶斯公式在实际中有很多应用 它可以帮助人们确定某结果 事件B 发生的最可能原因 在贝叶斯公式中 P Ai 和P Ai B 分别称为原因的先验概率和后验概率 P Ai i 1 2 n 是在没有进一步信息 不知道事件B是否发生 的情况下 人们对诸事件发生可能性大小的认识 当有了新的信息 知道B发生 人们对诸事件发生可能性大小P Ai B 有了新的估计 例6商店论箱出售玻璃杯 每箱20只 其中每箱含0 1 2只次品的概率分别为0 8 0 1 0 1 某顾客选中一箱 从中任选4只检查 结果都是好的 便买下了这一箱 问这一箱含有一个次品的概率是多少 解 设A 从一箱中任取4只检查 结果都是好的 B0 B1 B2分别表示每箱含0 1 2只次品 已知 P B0 0 8 P B1 0 1 P B2 0 1 例7数字通讯过程中 信源发射0 1两种状态信号 其中发0的概率为0 55 发1的概率为0 45 由于信道中存在干扰 在发0的时候 接收端分别以概率0 9 0 05和0 05接收为0 1和 不清 在发1的时候 接收端分别以概率0 85 0 05和0 1接收为1 0和 不清 现接收端接收到一个 1 的信号 问发端发的是0的概率是多少 解设A 发射端发射 0 B 接收端接收到一个 1 的信号 0 0 55 01不清 0 9 0 05 0 05 1 0 45 10不清 0 85 0 05 0 1 0 067 01不清 这一讲我们介绍了全概率公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用 值得一提的是 后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法 叫作 贝叶斯统计 可见贝叶斯公式的影响 作业 26页14 18 19 23 6独立性 一 两个事件的独立性 先看一个例子 将一颗均匀骰子连掷两次 设A 第一次掷出6点 B 第二次掷出6点 求P B A P B 这就是说 已知事件A发生 并不影响事件B发生的概率 即P B A P B 这时称事件A B独立 由乘法公式知 当事件A B独立时 有P AB P A P B P AB P A P B A 用P AB P A P B 刻划独立性 比用P A B P A 或P B A P B 更好 它不受P B 0或P A 0的制约 两事件独立定义 若两事件A B满足P AB P A P B 1 则称A B独立 或称A B相互独立 两事件相互独立的性质 1 两事件A与B相互独立是相互对称的 若P A 0 则A与B相互独立的充分必要条是P B A P B 若P B 0 则A与B相互独立的充分必要条件是P A B P A 若P A 0 P B 0 A与B相互独立 和 A与B互斥 不能同时成立 问 能否在样本空间S中找两个事件 它们既相互独立又互斥 任意事件A与F独立且互斥 因为 AF F P AF P F 0 P A P F 所以 任意事件A与F独立且互斥 设A B为互斥事件 且P A 0 P B 0 下面四个结论中 正确的是 前面我们看到独立与互斥的区别和联系 1 P B A 0 2 P A B P A 3 P A B 0 4 P AB P A P B 设A B为独立事件 且P A 0 P B 0 下面四个结论中 正确的是 1 P B A 0 2 P A B P A 3 P A B 0 4 P AB P A P B 再请你做个小练习 P A P AB P A P A AB A B独立 故A与独立 概率的性质 P A P A P B 证明 仅证A与独立 P A 1 P B P A P 从一付52张的扑克牌中任意抽取一张 以A表示抽出一张A 以B表示抽出一张黑桃 问A与B是否独立 二 多个事件的独立性 定义若三个事件A B C满足 P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C 则称事件A B C两两相互独立 若在此基础上还满足 2 P ABC P A P B P C 则称事件A B C相互独立 一般地 设A1 A2 An是n个事件 如果对任意k 1 k n 任意1 i1 i2 ik n 等式 包含等式总数为 成立 则称n个事件A1 A2 An相互独立 思考 1 设事件A B C D相互独立 则 2 一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六 这两件事 哪一个有更多的机会遇到 答 0 518 0 496 与 独立吗 若n个事件A1