1.1.1正弦定理

1 1 11 1 1 正弦定理正弦定理 一 教材分析一 教材分析 正弦定理是高中新教材人教 B 版必修 5 第一章 1 1 1 的内容 通过对三角形边角关系的研究 发现并 掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系 提出两个实际问题 并指出解决问题的关键在于研究三角 形中的边 角关系 从而引导学生产生探索愿望 激发学生学习的兴趣 在教学过程中 要引导学生自 主探究三角形的边角关系 先由特殊情况发现结论 再对一般三角形进行推导证明 并引导学生分析正弦 定理可以解决两类关于解三角形的问题 1 已知两角和一边 解三角形 2 已知两边和其中一边的对角 解三角形 二 学情分析二 学情分析 本节授课对象是高一学生 是在学生学习了基本初等函数和三角恒等变换的基础上 由实际问题出 发探索研究三角形边角关系 得出正弦定理 高一学生对生产生活问题比较感兴趣 由实际问题出发可 以激起学生的学习兴趣 使学生产生探索研究的愿望 三 教学目标三 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 1 引导学生发现正弦定理的内容 探索证明正弦定理的方法 2 运用正弦定理解三角形 初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题 2 2 过程与方法 过程与方法 通过对定理的探究 培养学生发现数学规律的思维方法与能力 通过对定理的证明和应用 培养学 生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法 3 3 情感 态度与价值观 情感 态度与价值观 1 通过对三角形边角关系的探究学习 经历数学探究活动的过程 体会由特殊到一般再由一般到特 殊的认识事物规律 培养探索精神和创新意识 2 通过本节学习和运用实践 体会数学的科学价值 应用价值 学习用数学的思维方式解决问题 认识世界 进而领会数学的人文价值 美学价值 不断提高自身的文化修养 四 教学重点 难点四 教学重点 难点 教学重点 教学重点 1 正弦定理的探索与推导 2 正弦定理的运用 教学难点 教学难点 1 正弦定理的推导 2 多解问题 五 学法与教法五 学法与教法 学法与教学用具学法与教学用具 学法 学法 开展 动脑想 严格证 多交流 勤设问 的研讨式学习方法 逐渐培养学生 会观察 会 类比 会分析 会论证 的能力 教学用具 教学用具 电脑 多媒体 教法 教法 运用 发现问题 自主探究 尝试指导 合作交流 的教学模式 1 新课引入 提出问题 激发学生的求知欲 2 掌握正弦定理的推导证明 分类讨论 数形结合 动脑思考 由特殊到一般 组织学生自主探索 获得正弦定理及证明过程 3 例题处理 始终从问题出发 层层设疑 让他们在探索中自得知识 4 巩固练习 深化对正弦定理的理解 并结合 2009 年辽宁数学高考理科 17 题文科 18 题 巩固新 知 六 教学过程六 教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 创提 设出 情问 境题 1 展示白塔 千山 太子河图片 引导学生发现问题 如何能够实现不 登山而知山高 不过河而知河宽 2 创设情境提出问题 某人站在太 子河岸边点 B 位置 发现对岸 A 处有 一个宣传板 如何能够求出 A B 两点 间的距离 备用工具 测角仪和皮 尺 引导学生理清题意 研究设计方案 并画 出图形 探索解决问 题的方法 启发学生发现问题实 质是 已知 ABC 中 B C 和 BC 长度 求 AB 距离 即 已知 三角形中两角及其夹 边 求其它边 创设情境 提出问题 激发学生兴趣引出课 题 探究三角形的边 三边 角 三角 关系 探提 寻出 特猜 例想 回顾直角三角形中边角关系 如图 引导学生寻求联系 发现规律深化学生对 直角三角形边角关系 的理解 利用 c 边相同 寻求 形式的和谐统一 即 在 Rt ABC 中 思考 在斜三角中 上式关系是否成立 引导学生经历由特殊 到一般的发现过程 逻证 辑明 推猜 理想 正弦定理及其推导 在锐角三角形中 作 CDAB 于 D 有 在钝角三角形中 引导学生自主探究对 于一般的三角形 是否仍然成立 分类讨论 1 在锐角三角形中 等式是否成立 2 在钝角三角形中 等式是否成立 3 如何证明 让学生分组讨论自主 探究 教师注意巡视 指导 引导学生思考 引导学生通过自主探 究 合作交流寻求问 题结论和解决办法 学 习 新 知 作 CDAB 于 D 有 综上 正弦定理 在一个三角形中 各边的长和它所对角的正弦的比相等 即 定概 理念 1 正弦定理展现了三角形边角关系 的和谐美和对称美 2 解三角形 一般地 我们把三 角形的三个角和它的对边分别叫做三 引导学生充分理解正 弦定理 掌握正弦定 理的结构特征 启发 学生思考正弦定理可 引导学生体会正弦定 理所体现的美学价值 挖掘正弦定理的应 用 形深 成化 角形的元素 已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫做解三角形 3 思考 直接应用正弦定理至少需 要已知三角形中的几个元素才能解三 角形 以那些解决解三角问 题 范举 例一 教反 学三 1 正弦定理可以用于解决已知两角 和任意一边求另两边和一角的问题 例 2 正弦定理也可用于解决已知两边 及一边的对角 求其他边和角的问题 例 2 变式训练 利用作图法总结已知两边及一边对角 解三角形时解的情况 例 1 由学生给出条件 结合两道例题 引导 学生总结 1 已知两 角一边 解三角形 解的情况唯一 2 已知两边及一边对 角 解三角形 何时 有一解 两解 何时 无法构成三角形 师生共同总结 进一步深化对正弦定 理的认识和理解 掌 握正弦定理在解三角 形问题中的应用 并 学会部解三角形通过 作图法也能判定解的 情况 学解 以决 致引 用例 知识拓展 能力提升 应用正弦定理解决提出的求河岸两侧 两点间距离问题 并进一步求出此段 太子河宽度问题 在上面的学习中 我们已经知道了边 和角所对应的关系 即边和对应的角 的正弦值的比值为定值 那么这个比 值是什么呢 又与什么有关呢 在直角三角形的情形下我们知道 此时比值为 c 即斜边 而斜边对应 的角为直角 类比圆的性质 这时 斜边 c 就可以看成是圆的直径 这样 我们可以将三角形放到圆内 通过外 接圆来研究这个比值 这个比值可能 与外接圆的直接有关 学生给出解决方法 注意引导学生为什么 向外接圆探究以及在 外接圆内如何构造直 角三角形 首尾呼应 解决之前 提出问题 并进一步 解决测河宽问题 同 理也可解决测山高问 题 学以致用 进一步深化理解正弦 定理中比值的意义 实现边角互化的桥梁 在直角三角形的情形下显然成立 这 个比值就是外接圆直径 下面我们探 究在一般情形下的情况 分为锐角三 角形和钝角三角形两种情形 由于三 个比值是一样的 我们就以角 A 的为 例 在锐角三角形中 2 在钝角三角形中 2 通过上面的分析我们就可以确定这个 比值就是外接圆的直径 即 2 其中 R 为外接圆的半径 课直 堂击 练高 习考 2009 辽宁高考理科数学第 17 题 文数 18 题 学生动脑思考 教师 指导 与时俱进 直击高考 使学生进一步体会正 弦定理的应用 归 纳 小 1 正弦定理 2 正弦定理的运用 3 思想和方法 师生共同总结本节课 收获 引导学生学会自己总 结 让学生进一步 回顾 体会知识的 结形成 发展 完善的 过程 课 后 作 业 2 你还能用其它方法证明正弦定理吗 有兴趣的同学可以在课后继续进行讨 论 学生课后完成 巩固深化 进一步培 养自主探究能力 七 评价分析七 评价分析 这堂课由实际问题出发 引导学生探索研究三角形中边角关系 展示了一个完整的数学探究过程 提出问题 发现规律 推到证明 定理应用 让学生经历了知识再发现的过程 促进了个性化学习 在 教学过程中 使学生体会认识