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物理学中的群论 群的表示理论 群论 群的表示理论 3 2群的线性表示 3 3舒尔引理和正交性定理 3 4表示的构造 3 5群表示的特征标 3 6投影算符 第三章群的表示理论 抽象群 线性变换 3 7正则表示 3 8特征标表的计算 3 9直积表示 3 1线性算符及其矩阵表示 群论 群的表示理论 线性算符及其矩阵表示 3 1线性算符及其矩阵表示 线性代数的准备知识 群的表示理论是群论处理物理问题的基本数学方法表示理论 用线性变换表示抽象代数 线性空间 V是一个非空集合 F是一个数域V上定义了加法 z x y V对加法成Abel群 F与V的元素之间定义了数乘 y kx 且F中存在单位元1 k lx kl x 加法与数乘满足分配律 那么V称为数域F上的线性空间F中元素称为标量或数量 V中元素称为向量当系数域F为实数域时 V称为实线性空间 当F为复数域时 V称为复线性空间 1线性空间与线性变换 基矢线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一组基矢一般取e1 e2 en为空间Vn上的一组正交归一基矢内积 内积空间线性空间Vn上的任一矢量x 当选择 e1 e2 en 为基矢组时 也可展开为x x1e1 x2e2 xnenx1 x2 xn即为矢量x在基矢e1 e2 en上的坐标x可以用它的坐标来表示 x x1 x2 xn 常把 x1 x2 xn 写成单列矩阵 称之为矢量x的列向量表示 群论 群的表示理论 线性算符及其矩阵表示 线性空间Vn上任意一个矢量x Vn 上有唯一的矢量y对应规则 称为Vn到Vn 的一个算符 y x如果以上对应规则是一对一的 则存在逆算符 1 x 1y如果空间Vn 就是空间Vn时 称为空间Vn上的一个算符 如果 x y x y x x则 称为线性算符 线性算符 群论 群的表示理论 线性算符及其矩阵表示 算符的矩阵形式用矩阵形式表示算符 则需引进坐标系令e1 e2 en为空间Vn上的一组正交归一基矢 对任一基矢ej的作用可以写成n个基矢的线性组合 利用基矢的正交归一条件 ei ej ij 也可写为 ij 可得 Aij ei ej i j 1 2 nn n阶的矩阵A 算符 在基 e1 e2 en 中的矩阵表示 群论 群的表示理论 线性算符及其矩阵表示 2矩阵表示 对空间的不同的基矢组 算符 有不同的矩阵表示 选定一组基矢 一个线性变换可以表示为一个矩阵 反过来 对于一组给定的基矢 e1 e2 en 一个矩阵A实际上也就是一个线性算符 算符 作用在任一矢量上的结果由确定 当然 对应于不同的基矢组 矩阵所确定的算符也是不同的 群论 群的表示理论 线性算符及其矩阵表示 转移矩阵 设 e1 e2 en 和 f1 f2 fn 是线性空间Vn上的两组不同的正交归一化基矢组 若将fj写为 j 1 2 n则S称为从基 e1 e2 en 到基 f1 f2 fn 的转移矩阵相应地算符 称为转移算符 基矢变换 设 则 A S 1AS 群论 群的表示理论 线性算符及其矩阵表示 厄密共轭算符 对于空间Vn上任一算符 如果有另一个算符 满足以下关系 ei ej ei ej 则算符 称为算符 的厄密共轭算符如果 e1 e2 en 是正交归一化基矢组 则 ei ej kA kj ei ek kA jk ei ek A ji ij A ij 在正交归一化基中 算符 的矩阵为A 而它的厄密共轭算符 的表示矩阵为A的厄米共轭矩阵A 若 则 称为厄密算符 或自共轭算符厄密算符的表示矩阵为厄密矩阵 A A 群论 群的表示理论 线性算符及其矩阵表示 3几种算符 幺正算符 若空间Vn上的一个算符 它对该空间任意两个矢量x和y作用后 其内积不变 即 x y x y 则 称为幺正算符 也称为酉算符 因为 x y x y x y 所以幺正算符满足 1 1若空间引入正交归一基 则其表示矩阵为A A 1即幺正算符的表示矩阵为幺正矩阵只有取正交归一基时 幺正 厄密 算符的表示矩阵才是幺正 厄密 矩阵 群论 群的表示理论 线性算符及其矩阵表示 群论 群的表示理论 群的线性表示 3 2群的线性表示 群表示的定义和基本性质 群G的线性表示就是一组与群G同态的线性变换 这一组线性变换当然也构成一个群 通过研究与G结构相似的线性变换群来研究抽象群线性变换 通常也称为算符 是定义在线性空间中的 这个线性空间就称为表示空间 对于给定的n维线性空间 如果选定一组基矢 其中的任一线性变换就可以表示为一个n阶方阵群的线性表示常用矩阵的形式来描述 称为矩阵表示 我们对矩阵更为熟悉 所以就从矩阵形式的描述开始 群论 群的表示理论 群的线性表示 若矩阵群和群G是同构关系 则这个表示就称为忠实表示若二者是同态关系 是多对一 则是非忠实表示群G的表示记作D G 方阵的阶l称作表示的维数n阶方阵实际上是n维线性空间上的一个线性变换 给定表示空间的一组基矢 线性变换可以用矩阵形式描述 线性表示和矩阵表示只是说法不同 群G的每一个元素a 都对应着矩阵群的一个方阵D a 并且 D a D b D ab 对于群G中的每一个元素a和b都成立 定义 群G的矩阵表示就是一个与群G同态的方矩阵群 1矩阵表示 群论 群的表示理论 群的线性表示 1 D e E E是l l的单位矩阵 2 D a 1 D a 13 一个群的表示必然自动地就是其子群的一个表示 4 任何一个群都有一个表示 恒等表示 这是一个1维的表示 所有的群元都对应于一维单位矩阵 1 一个矩阵对应于一个线性空间中的线性变换如果线性空间选择不同的基矢 表示线性变换的矩阵就会发生相应的改变 可以由同一个矩阵表示得到无穷多个其他的矩阵表示 基本性质 群论 群的表示理论 群的线性表示 用坐标变换矩阵来描述D3群的元素 建立如右所示坐标系 可以得到如下的表示矩阵 也称为对称群的自然表示 D3群的表示 D e D a D k D l 群论 群的表示理论 群的线性表示 D3群除恒等表示外还有如下的一个一维表示 非忠实表示 D 2 e 1D 2 a 1D 2 b 1D 2 k 1D 2 l 1D 2 m 1 D3群的表示 D3群的一个二维表示 群论 群的表示理论 群的线性表示 矩阵的相似变换 M S 1MS等价表示 两个以相似变换联系起来的表示称为等价表示记作D G D G 相似变换实际上可认为是坐标系的变换 基矢变换 故可认为一切等价表示都是相同的表示 通过相似变换 可由一个矩阵表示得到无穷多个等价的表示假定D 是由矩阵S决定的相似变换D 则D a D b S 1D a S S 1D b S S 1D a D b S S 1D ab S D ab 可见D 也满足同态关系 因此它确实是群G的一个表示 2等价表示 群论 群的表示理论 群的线性表示 若群G的一个矩阵表示中 所有的矩阵都是幺正矩阵 那么这个表示就称为群G的一个幺正表示R 1 R 定理3 1 有限群的任何非奇异的矩阵表示 都可以通过相似变换变成幺正表示 幺正矩阵构成的表示 证明 设D G D e D g2 D g3 D gN 是有限群G e g2 g3 gN 的一个矩阵表示 其中N G 是群G的阶引入厄米矩阵 H 厄米矩阵可以通过某一幺正矩阵U对角化 3幺正表示 群论 群的表示理论 群的线性表示 可以证明所有的对角元素dk都是正的 如果dk 0 仅当对所有的j值和G的所有元素都有D kj g 0这样所有矩阵的行列式都为零 与表示非奇异的假定矛盾所以所有的dk都是正实数 群论 群的表示理论 群的线性表示 令 将Hd写成并代入前式 两边同时左乘和右乘 可得 群论 群的表示理论 群的线性表示 其中 这样我们得到了 即D gi 是幺正矩阵 有限群G的任一表示D g 都可以通过矩阵V等价于一个幺正表示D g 可以只讨论幺正表示 定理3 2 若群G的两个幺正表示D G 和D G 是等价的 那么必然存在一个幺正矩阵U 使得 证明从略 等价的幺正表示可以通过幺正矩阵进行相似变换 群论 群的表示理论 群的线性表示 设Vn是群G的表示空间 Vm是Vn的一个子空间对于子空间任一矢量x 有D gi x Vm gi G 则Vm称为表示D G 的不变子空间 不变子空间中任一矢量在表示D G 中任一线性变换的作用下是封闭的 不变子空间 设Vn是群G的表示空间 e1 e2 en 是Vn的一组正交归一基矢 则表示矩阵的矩阵元可写为 4可约与不可约表示 群论 群的表示理论 群的线性表示 如果一个表示存在不变子空间 设Vn是群G的表示空间 Vm是其不变子空间 e1 e2 em em 1 en 是Vn的一组正交归一基矢其中前m个基矢是子空间Vm的基矢 则当j 1 2 m i m 1 n时 Dij g 0 因此矩阵D g 可以写成如下形式 这是一个分块矩阵 群论 群的表示理论 群的线性表示 设D G D e D g2 D gN 是群G的一个n维表示 表示空间为Vn 若Vn中存在D G 的不变子空间Vm通过适当选择空间的基矢 可使得D G 的所有矩阵都同时写成上述分块矩阵的形式 则D G 称为G的可约表示如果其中X gi 0 gi G 则D G 称为G的完全可约表示 可约表示 群论 群的表示理论 群的线性表示 定理3 3 可约的幺正表示总是完全可约的证明 设D G D e D g2 D gN 是群G的幺正表示Vn是它的表示空间如果D G 是可约的 则Vn中存在D G 的不变子空间Vm 这样Vn可以分解为Vm和Vl的直和 记为Vn Vm Vl其中Vl x x Vn y Vm 有 0 因为D G 是幺正表示 幺正变换保持内积不变 对于Vl中的矢量x和Vm中的矢量y有 因为 因此我们有 对所有群元成立 也就是说Vl也是D G 的不变子空间 群论 群的表示理论 群的线性表示 Vm和Vl都是D G 的不变子空间 所以排列基矢使得 e1 e2 em em 1 en 前m个属于Vm 后n m个属于Vl则D G 的所有矩阵都可写成相同的准对角形式 完全可约 或记为直和形式 D g D1 g D2 g D1 G 和D2 G 都是群G的矩阵表示 利用分块矩阵乘法可得 D1 gi D1 gj D1 gigj D2 gi D2 gj D2 gigj 它们满足同态关系 所以是G的表示 进一步 如果D G 是幺正表示 则D1 G 和D2 G 也是幺正表示 群论 群的表示理论 群的线性表示 前面的结果D1 G 和D2 G 还可能是可约的对表示空间一直分解 直到Vn成为最小不变子空间的直和 Vn V1 V2 Vs最小不变子空间对应的群表示 称为群G的不可约表示不可约表示记为D 1 D 2 D s Vn中的表示D G 可以写为 D G D 1 G D 2 G D s G 不可约表示 群论 群的表示理论 群的线性表示 如果以上s个不可约表示中有a1个等价于D 1 ai个等价于D i 因为等价表示都是相同表示 所以上式也可写为 式中a 也称作D 在D中的重复度 D3群的不可约表示 D3群有两个一维表示 D 1 和D 2 其中D 1 是恒等表示一维表示肯定是不可约的有一个二维的不可约表示D 3 共三个不等价的不可约表示前面的例子 D D 2 D 3 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 3 3舒尔引理和正交性定理 不可约表示矩阵元的性质 不等价的不可约表示的数目 群表示理论中的重要问题正交性定理是解决这一问题的理论基础舒尔引理又是讨论正交性定理的数学基础 引理一 设D 是群G的一个不可约表示 表示空间为Vn若有一个矩阵P与D 中的所有矩阵对易 即PD g D g P g G则有P E 式中E是单位矩阵 为常数 1舒尔引理 证明 对于表示空间Vn 设P的本征值为 则由V x x Vn Px x 所确定的本征空间 P的本征矢张成的空间 是Vn的子空间因为 x V 有PD g x D g Px D g x所以D g x V 即 V 是不变子空间如果V Vn 则V 是群G的真不变子空间 D g 是一个可约表示 这与假设矛盾 所以V Vn 或者说 Vn中的所有矢量都是P的同一本征值 的本征矢 因此必然有P E 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 引理二 设D 1 和D 2 分别是G的l1和l2维的两个不可约表示 若有l1 l2阶矩阵M满足以下关系 D 1 g M MD 2 g g G则有 当l1 l2时 M 0或M 0但D 1 和D 2 等价 当l1 l2时 M 0证明 取上式的厄米共轭可得M D 1 g D 2 g M 或写为D 2 g 1 M M D 1 g 1 将M右乘上式两边 可得D 2 g 1 M M M D 1 g 1 M M MD 2 g 1 由舒尔引理一 可得M M E 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 l1 l2 n的情况取M M的行列式 可得 M M M M M M n 若 0 则 M 0 M有逆矩阵M 1将M 1右乘D 1 g M MD 2 g 两端 即有D 1 g MD 2 g M 1 g G所以D 1 和D 2 是等价的表示 若 0 则M M的第i行第i列元素为 即矩阵的所有第i列的元素为零 因i是任意的 所以有M 0 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 l1 l2的情况 不妨设l1 l2构造方阵M 很显然M M M M E 而 M 0 所以 M M n 0 即 0再经与1 中同样的讨论 可得M 0 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 定理3 4 设D 和D 分别是G的l 和l 维的两个不可约表示 有下列等式 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 其中N G 是群的阶 证明 引入矩阵M 式中X是一个任意的l l 阶矩阵 2表示矩阵元的正交性定理 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 由舒尔引理可得 时 M 0 时 M E 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 的情况 取M中的任意矩阵X的矩阵元为Xpq lp mq Xlm 1 其他的矩阵元均为零此时M 0 而M的矩阵元Mij为 即 时定理是成立的 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 的情况 此时M E 同样 取X的矩阵元为Xpq lp mq 可得到M的矩阵元为 现在计算 的值 上式中令i j 并对i求和 则得到 由此可得 ml l 代入Mij的表达式 即有 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 定义 若一个空间以群G的N个元素作为基矢 则该空间称为群空间 记作VG 群空间的基本性质 加法 数乘和内积 为 群空间中任一矢量x可以表示成N个基矢的线性组合 即 x g Gx g g式中x g 为复数它是矢量x在基矢g上的分量 也可看作群空间上的函数 对有限群 x g 只有N个分立值 是离散函数 群空间 3正交性定理的几何意义 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 矢量的加法和数乘 与一般的线性空间中的矢量一样 其中c是常数 基矢的内积 两个矢量的内积 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 定义群空间之后 可将群表示的矩阵元看做群空间上的函数设群G的一个不可约表示为D G 它的某个元素的表示矩阵的矩阵元为D il g 定义群空间上的一个矢量 称为群空间的表示矢 归一化的形式 表示矢 正交性定理可改写为以下形式 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 定义表示矢之后 群的每一个不可约表示D G 都可得到l 2个表示矢 l 是表示的维数 正交性定理说明 群的所有不等价的不可约表示所得到的表示矢彼此正交群空间是N维空间 所以群的所有不等价的不可约表示的表示矢的数目不能超过N 即 式中r为群的不等价不可约表示的数目 有限群的不等价不可约表示的个数是有限的 以后会证明 上面的这个表达式中只能取等号 正交性定理的数学意义 群论 群的表示理论 舒尔引理和正交性定理 D3群 N 6 我们已知它有三个不等价不可约表示 两个一维 一个二维 根据前面的结果 这三个不可约表示就是D3群的全部不可约表示 其表示矢为 D3群的表示矢 群论 群的表示理论 表示的构造 3 4表示的构造 由函数空间构造表示 如何构建群的表示 对于对称群 可以建立一个线性空间 用线性空间上的坐标变换来描述对称群的群元 对称操作 每个群元就成了这个线性空间中的线性变换 这样实际上就得到了群的一个表示 如D3群 考虑一个坐标系的对称变换 在三维空间中把矢量r变为r 若图形在变换前后重合 则作用在r上的算符 变换 就是对称操作例如旋转 反演等操作 r Rr 1对称变换的方法 写成矩阵形式即为 每个对称变换都可以用一个矩阵来描述 这样就得到了群的一个矩阵表示 但是这种方法并不能将群的所有不等价的不可约表示都找到 所以还需要另外的确定群的表示的方法 如反演 绕z轴的旋转 群论 群的表示理论 表示的构造 设群G的元素用s t u v 表示对称变换s把点r变为r r sr假定对点r作变换时 将标量函数f r 在点r处的函数值一起带到新的位置r 于是函数值的空间分布 函数形式 发生了变化 得到了一个新的函数f r f r 取决于原来的函数f r 还取决于对称变换s 即 f r Psf r Ps是作用于函数的算符 函数变换算符下标s表明它是由对称变换s引起的 群论 群的表示理论 表示的构造 函数的变换 2用函数建立群表示 根据这个定义 原来的函数在原来的点r上的数值 应该等于新函数在新的点r 上的数值 f r f r 由于r s 1r 所以有f r f s 1r 即 f r f s 1r 因此我们得到 Psf r f s 1r 容易证明函数变换算符Ps是幺正算符而且 Ps 与 s 是一一对应的注意 Ps是作用在函数上的 例 对x平移a 作用于f x x2上 f x x a 2 群论 群的表示理论 表示的构造 函数变换算符 若r tr tsr 那么函数变换算符使函数f r 作相应的变换 PtPsf r Ptf s 1r Ptf r f t 1r f s 1t 1r f ts 1r Ptsf r 关键在于 Pt是作用在函数f r 上的满足同态关系可见 Ps Pt Pu 确实构成一个群 算符群 且与 s t u 同构 s t u 作用于坐标空间 Ps Pt Pu 作用于函数空间二者有相同的表示 利用 Ps Pt Pu 群作用于函数上获得一个表示 从而得到 s t u 群的一个表示 群论 群的表示理论 表示的构造 在函数空间中取一组函数 1 r 2 r n r 作为基矢以Ps作用于某一基函数 j r 上得到一个新函数 它可展开为 群论 群的表示理论 表示的构造 建立群表示 这样得到的D s 就是Ps的表示矩阵 从而也就是s的表示矩阵要证明这确实是一个表示 需要证明D s D t D st 建立一个三维函数空间 基矢取为 1 cos2 2 sin2 3 cos sin 对称操作对 的作用为 取极轴为操作k的对称轴 e a 120 b 120 k l 240 m 120 求矩阵元的公式 群论 群的表示理论 表示的构造 D3群的例子 操作a的矩阵元 a 1 b 为 群论 群的表示理论 表示的构造 另外有 其他的表示矩阵可类似得到 这些矩阵不是分块形式的 似乎应该是不可约表示 但D3群的三维表示应该是可约的 可以通过重新选取基矢 例如 1 2和 3的某个线性组合 将表示矩阵准对角化 群论 群的表示理论 表示的构造 如何获得完备的基矢组 如何保证一组函数 1 r 2 r n r 可以作为基矢组 即任意的Pg作用于某一函数 j r 上得到的新函数 可以用这组函数展开选取一个函数f r 用所有的Pg作用于f r 上 得到一系列的新函数 从所有函数中选取其中独立的部分 构成一个 基矢组 例如 对于D3群 我们选取f r x3 把Pe Pa Pb Pk Pl Pm作用在x3上 如在所有得到的函数中 独立的部分有 x3 x2y xy2 y3所以取 1 r x3 2 r x2y 3 r xy2 4 r y3可以得到一个四维的函数空间 生成一个四维表示 对基函数做变换 基矢重新组合 表示矩阵作相似变换 得到一个等价的表示 可以约化可约表示 群论 群的表示理论 表示的构造 基函数的变换性质 定理3 6 函数 i r 成为群G的第 个不可约表示D G 的基函数的充要条件是 其中 N是群的阶 l 是第 个不可约表示D G 的维数 Pg是函数变换算符 意义 基函数之间的组合关系 i r 在算符的作用下按不可约表示矩阵变换 和投影算符有关 3基函数的性质 群论 群的表示理论 表示的构造 上式两边乘以 并对所有群元求和 得 令j m l i 上式变为 这就是所求的结果 进行指标代换即可 证明 1 必要条件 若 i r 是不可约表示D G 的基函数 根据定义有 群论 群的表示理论 表示的构造 2 充分条件 将Ps作用于等式两边 得 重排定理 用s 1g代替g 可见 l r 确实是D G 的基函数 因它满足基函数的展开式 群论 群的表示理论 表示的构造 定理3 7 两个不等价不可约的幺正表示的基函数正交 同一不可约幺正表示的不同列的基函数正交 其中 i r 是不可约表示D G 的第i列基函数 f是与 无关的常数 通常称为基函数的正交定理 定理说明 若两个不可约表示是等价的 但它们的基函数可能不同 则它们的基函数中属于同一列的基函数不正交证明 利用算符Ps的幺正性 我们可以得到 基函数的正交性与不变性 群论 群的表示理论 表示的构造 将等式两边对所有群元求和 并利用正交性定理 上式变为 等式右边内积求和的结果与m取值无关 常数 定理得证 定理3 8 若一组基函数 1 r 2 r l r 满足 m r n r c mn其中c是与m n无关的正数则由这组基函数荷载的表示D G 是一个幺正表示 群论 群的表示理论 表示的构造 所以或写为 即D s D s E 故D s 是幺正矩阵 D G 是幺正表示 证明 已知算符Ps是幺正的 Ps m Ps n m n s G成立 群论 群的表示理论 群表示的特征标 3 5群表示的特征标 等价表示的不变量 定义 若D G 是群G的一个l维表示 则表示矩阵D s 的对角元之和就称为群元s在表示D G 中的特征标 为什么要引进特征标 矩阵D s 的对角元之和也称矩阵的迹 记作Tr D s 群G中所有群元在表示D G 中的特征标 称为这个表示的特征标系 一般也简称特征标 记为 G 第 个不可约表示的特征标就写成 G 也称单纯特征标可约表示的特征标称作复合特征标 1特征标的意义 群论 群的表示理论 群表示的特征标 相似变换不改变矩阵的迹 等价表示具有相同的特征标群中属于同一个共轭类的元素 其特征标相同 特征标是共轭类的函数 C s s C 证明 设s t属于同一个类 即有s u 1tu 那么 s Tr D s Tr D u 1tu Tr D u 1 D t D u Tr D t D u D u 1 Tr D t t 假如群G有c个类C1 C2 Cc 则一个表示有c个特征标 也可记作 1 2 c 一个可约表示的特征标 等于约化后的各不可约表示的特征标之和 a 是第 个不可约表示在其中的次数 也被称为约化系数 特征标的基本性质 群论 群的表示理论 群表示的特征标 设一个群的两个不等价不可约幺正表示为D G 和D G 则其相应的特征标 g 和 g 必然满足 或写为其中 N是群的阶 hC是类C中群元的个数 证明 利用表示矩阵元的正交性定理 特征标的正交定理 上式中令i l j m 并对i j求和 即可得 2特征标的有关定理 群论 群的表示理论 群表示的特征标 可约表示D G 的约化系数a 的计算公式为 证明 在等式两边同乘 g 并对所有群元求和 计算约化系数的公式 式中 g 是群元g在可约表示D G 中的特征标 g 是在第 个不可约表示D G 中的特征标 所以 群论 群的表示理论 群表示的特征标 结论 可约表示的特征标可以唯一地确定约化系数 即确定这个表示中包含有多少个第 个不可约表示但不能确定这些不可约表示在可约表示中的排列次序 G 确定表示D G 只差一个等价关系如果已知群的全部不等价不可约表示的特征标 不必知道其表示矩阵 即可根据某个表示的特征标对其是否可约做出判断 1 一个给定表示的特征标系与某个不可约表示的特征标系完全相同 那么给定的表示不可约 二者等价2 如果给定表示的特征标系与任何一个不可约表示的特征标系都不相同 那么这个表示肯定是可约表示利用约化系数的计算公式可以将其约化为不可约表示的直和 群论 群的表示理论 群表示的特征标 不可约表示的直接判据 不必计算所有的约化系数 一个表示是不可约的充要条件是其特征标满足方程或写为 不可约表示的判据 证明 取方程的共轭 并与其自身相乘 再对所有群元求和 可得 群论 群的表示理论 群表示的特征标 约化系数a 是非负整数1 如果表示D G 是不可约的 则因为表示D G 中只包含了一个不可约表示 例如不可约表示D G 所以此时只有a 等于1 其他的全为零 此时 2 反之 如果上式成立 则要求而约化系数a 是非负整数 故肯定只有某个a 等于1 其他的全为零 这是一个不可约表示 群论 群的表示理论 群表示的特征标 例 D3群的一个表示为 前面的例子 可以得到这个表示的特征标为 三个类 e 3 a 0 k 1很容易算出a1 a2 a3也可以根据特征标直接验证这个表示是否可约 群论 群的表示理论 群表示的特征标 设群G有c个共轭类C1 C2 Cc 可以在群空间中建立c个正交归一化的类矢量Ci Ci是群空间中属于同一类Ci的基矢 即群元 的矢量和 归一化的形式为 类空间 例 D3群有三个类 其类矢量为C1 eC2 C3 群论 群的表示理论 群表示的特征标 因为 若i j 则g s属于同一类 故有 若i j 则 g s永远等于零 所以有 一个群的全部类矢量在群空间中形成了c个正交归一化的矢量它们张成了一个c维的矢量空间 称之为类空间 类空间是群空间的一个子空间 类矢量是群空间中的一组正交归一化的矢量 群论 群的表示理论 群表示的特征标 是类空间中的矢量若群G有r个不可约表示 就可以得到r个特征标矢量 类似于表示矢 在类空间中可以对每一个不可约表示定义一个特征标矢量 特征标矢量 D3群有三个不可约表示 其特征标矢量为 群论 群的表示理论 群表示的特征标 两个不可约表示的特征标矢量 的内积可表示为 如果群G有r个不可约表示 那么r个特征标矢量相互正交它们张成了一个r维的空间 它是类空间的子空间类空间是c维的 所以r c 群的不可约表示的个数不大于群的共轭类的个数实际上 我们后面会证明 只有等号成立 群论 群的表示理论 投影算符 3 6投影算符 重组基矢的工具 定义 投影算符是由下式定义的算符 投影算符的作用 以作用于第 个不可约表示的基函数上 可以得到 定理3 6只有当 j k时 结果不为零 投影算符作用于第 个不可约表示的第j列基函数上 将得到同一个不可约表示的第i列基函数 1投影算符的定义 群论 群的表示理论 投影算符 定义第 个不可约表示各列基函数之和为第 个不可约表示的基底 即 以作用在基底 上 可得可见可以从第 个不可约表示的基底 中选出这个表示的第i列基函数 i r 投影算符的选择作用 群论 群的表示理论 投影算符 以作用在其上 可得即可以从某个 包含有第 个不可约表示的基底的 任意函数中 将这个不可约表示的第i列基函数挑选出来 可以利用投影算符从任意函数中求得所需要的基函数 假定一任意函数 r 能被展开为各不可约表示的基底之和 群论 群的表示理论 投影算符 准投影算符Pi 为满足下式的算符 以准投影算符Pi 作用于 j r 上 我们可以得到 特征标投影算符P 为满足下式的算符 以P 作用于 j r 上 可得 2特征标投影算符 群论 群的表示理论 投影算符 即P 作用于第 个不可约表示第j列基函数上仍得到这个基函数如果是一个任意函数 r 以P 作用于其上 则有 所以 将特征标投影算符P 作用于 含有某个不可约表示的基底的 任意函数上 可将这个不可约表示的基底 求出 群论 群的表示理论 投影算符 基底 是基函数的线性组合 可作为第 个不可约表示基函数我们可以这样确定第 个不可约表示D G 的所有基函数 选择 为第一列基函数 1 r 以群G的每个群元对应的算符Pg作用于其上 得到N个函数Pg 1 r g G 这些函数都是D G 的基函数的线性组合 从这N个函数中选出l 个线性无关的函数 其中一个就是 1 r 再应用Schmidt正交化过程将这l 个函数正交化 即可得到不可约幺正表示D G 的基函数得到了基函数 即可求出表示矩阵 群论 群的表示理论 投影算符 已知D3群的一个二维不可约表示为 求出它以极坐标为变量的函数 即三角函数形式的基矢组把Pg列出如下 Pe Pa 120 Pb 120 Pk Pl 240 Pm 120 利用投影算符找出基函数 3投影算符的应用 群论 群的表示理论 投影算符 根据投影算符的定义 我们可得 现在任取一个函数 例如f sin2 将P11作用于f上 可得P11f P11sin2 经归一化后 可得到表示的第一列基函数 群论 群的表示理论 投影算符 再将P21作用于其上 可得到第二列基函数 计算过程 已知不可约表示D G 的矩阵元D G ij1 确定投影算符P ij2 将其作用于表示空间中的某一函数上 将第 个不可约表示的第i列基函数 i挑选出来 只要这个任意函数包含了 i的成分 3 然后再将P ki作用于 i上 就可得到第 个不可约表示的第k列的基函数 最终可求出所有的基函数 群论 群的表示理论 投影算符 实际应用中 往往只知道群表示的特征标而不知道具体的矩阵元 利用特征标投影算符来进行基函数的挑选 已知D3群所有不可约表示的特征标可以得到表示D 3 的投影算符P3 利用特征标投影算符计算 取 r x2f r f r 是一个任意函数 则 r 可看作归一化的以P3作用于 r 上 根据 群论 群的表示理论 投影算符 于是得到 再以Pa作用于上 得 由于D 3 是一个二维表示 只有两个基函数 所以第二个基函数可取为 它们是正交的 不必再做正交化处理 得到了两个基函数 再将Pg作用于其上 就可得到元素g的表示矩阵 群论 群的表示理论 正则表示 3 7正则表示 群空间的完备性 群空间的算符 在群空间中 可把群元本身当做算符 这样的算符作用于群空间的每个基矢 也是群元 的方式是群的乘法 结果就是得到另一个基矢例如 群G有元素g s t 则 算符作用在群空间的任一矢量x 上 得到 所以群元算符的作用在群空间上是封闭的 几个群元算符的线性组合仍旧是一个算符 1正则表示 群论 群的表示理论 正则表示 正则表示 群空间作为表示空间 群元本身作为变换算符算符 群元 作用在这个空间的基矢 也是群元 上得到的矩阵 就是这个群的一个表示 称之为正则表示 每个群都有正则表示 这是一个N维表示 群空间N维 群G e s t u v e s t u v 代表基矢 而代表算符 它们都是群G的群元 算符在群空间的矩阵为Dr s 矩阵的行和列都用群元来编号根据矩阵元的定义 我们有 上式左方即为su 因此 Dr s tu t su 群论 群的表示理论 正则表示 Dr s tu t su 仅当t su时 矩阵元为1 其余的全为0因此所有群元的表示矩阵中 每行和每列都只有一个矩阵元是1 其他是0正则表示的特征标 除单位元外 其他元素的特征标都是0因为若s是单位元e 则有Dr e uv u ev u v仍旧是单位矩阵 故其特征标为N 对于其他的非单位元sDr s uv u sv由于s e 所以su u 故Dr s uu u su 0 对角元全部是零 群论 群的表示理论 正则表示 对于群元s来说 其u行v列的矩阵元是 u sv 也就是当u sv或s uv 1时 矩阵元为1 因此可以这样来得到正则表示矩阵 在群的乘法表里最左一列按g1 g2 g3 的顺序排 最上一行则按g1 1 g2 1 g3 1 的顺序排在所得到的乘法表中 如果出现gk的地方就取为1 否则就取为0 这样就可得到gk的正则表示矩阵以D3群为例 群论 群的表示理论 正则表示 群论 群的表示理论 正则表示 正则表示中包含了所有不可约表示在正则表示中 群G的每一个不可约表示都会出现 而且出现的次数等于这个表示的维数 证明 正则表示的特征标为 把正则表示的特征标写为不可约表示的特征标之和 a 是第 个不可约表示出现的次数 可以根据公式计算出来 l 2不可约表示的维数定理 群论 群的表示理论 正则表示 不可约表示的维数定理一个群的全部不可约表示的维数的平方和 等于群的阶 这个定理的证明是很简单的 可以根据公式直接计算也可以简要说明一下 正则表示约化为一系列不可约表示的直和之后 其维数必然等于所有的不可约表示的维数之和 即正则表示的维数 N 每个不可约表示的维数是l 其出现l 次 故它对正则表示维数的贡献是l 2 求和即可证明所需结论 群论 群的表示理论 正则表示 表示矢的完备性在群空间中 我们曾定义了个表示矢 已经知道它们是正交归一化的维数定理告诉我们 表示矢的个数正好等于群空间的维数因此 这一组表示矢同样构成了群空间的一组基矢群空间中的一切矢量都可以用表示矢来展开这就是表示矢的完备性 3完全性关系 群论 群的表示理论 正则表示 不可约表示矩阵元的完全性关系 这个定理表明 N维的群空间可以由表示矩阵元组成另外的一组正交归一基矢 不同于表示矢 证明 设根据矩阵元的正交性定理或写为即矩阵U的任意两列是正交归一的 U是幺正矩阵 U U E 群论 群的表示理论 正则表示 幺正矩阵的两行也是正交的 UU E 此即不可约表示矩阵元的完全性关系也称为群空间正交基的完备性定理 在群空间中 N N个矩阵元是完备的的 它们可以构成群空间的完备基矢组 即 群论 群的表示理论 正则表示 特征标的完全性关系 在表示矩阵元的完全性关系中 取s t为分属两个共轭类Cl Cm的群元 并对这两个类中全部元素分别求和 可得 此式右边当l m时不为零 求和的结果为 hl是Cl中元素的个数 令 于是有 群论 群的表示理论 正则表示 因为矩阵M l是Cl类中全部群元的第 个不可约表示矩阵之和 它肯定与群G的任意元素g的不可约表示矩阵D g 对易根据舒尔引理 它是单位矩阵的常数倍 即 求这个矩阵的迹 可得 从中求出 我们得到 群论 群的表示理论 正则表示 将这个结果代入前面的结果即有 整理后即得 此即特征标的完全性关系 也称特征标的第二正交关系 即 群论 群的表示理论 正则表示 取 并对 求和 得 证明 根据特征标的正交性定理 有限群不可约表示的数目 定理3 11 一个有限群的不等价不可约表示的总数r 与群中类的数目c相等 即r c 群论 群的表示理论 正则表示 再根据特征标的第二正交关系 令l m 并对l求和 可得 比较两个等式 只是求和顺序不同所以有r c 群论 群的表示理论 特征标表的计算 3 8特征标表的计算 简单的有限群的特征标表 在大多数情况下只需要群表示的特征标就可以解决问题怎样不通过表示矩阵求出一个群的全部不可约表示的特征标 把群的所有不等价不可约表示的特征标按类排成一个表格 就称之为特征标表方法 1 这个群分为几个共轭类 每一类有几个元素 有时候不必完全作出群表就可以知道这一点 确定这个群存在多少个不等价的不可约表示 2 再利用求出它的整数解l 基本上能确定每一个不可约表示的维数 群论 群的表示理论 特征标表的计算 利用特征标的两个正交性关系来计算群的特征标表在群的阶不是很大时 这还是很有效的一种方法具体步骤1 对给定的N阶群G 确定它的类的数目c 不可约表示有c个2 确定每个不可约表示的维数l 3 特征标表的第一行和第一列直接写出 第一行都等于1 恒等表示 第一列等于l 表示的维数4 把表格中未知的特征标用变量代替 根据两个正交关系可以列出一系列方程 联立求解 即可得到所有的特征标 1正交法 群论 群的表示理论 特征标表的计算 两个正交关系实际的意义就是 特征标表的任意两行相互正交 任意两列也相互正交 这个方程组在变量较多时不易求解 因为它不是线性方程组两个正交性关系 和 群论 群的表示理论 特征标表的计算 D3群 有3个类 6个元 所以我们很容易就能确定它有2个一维表示 1个二维表示 特征标表如下 根据第一和第二正交关系 可以列出需要的4个方程 联立求解 可得x1 1 x2 1 x3 1 x4 0 群论 群的表示理论 特征标表的计算 循环群 n阶循环群有n个类 所以有n个不可约表示由公式可知 它的所有不可约表示都是一维的 对于循环群的不可约表示 它的特征标实际上也是其表示矩阵设循环群的生成元是g 因为gn e 所以 g n 1 因此我们得到 g exp i2 m n m 0 1 2 n 1 若令 exp i2 n 则 g m m 0 1 2 n 1 群论 群的表示理论 特征标表的计算 因此我们可以这样构造特征标表 生成元可以取n个不同的值 得到n个不可约表示 从生成元出发 再得到其他元素的结果 群论 群的表示理论 特征标表的计算 对于阶数较大的群来说 往往先找出这个大群的正规子群 计算出其商群的特征标表从大群与商群的同态关系可知 商群的表示一定是大群的表示故可以在大群的特征标表中填上已知的特征标 再使用正交关系来确定余下的特征标例如T群 T e 3c2 4c3 4c32 12个元 4个类 所以有4个不可约表示 简单计算后可知 它有3个一维表示 1个三维表示考虑到T群有一个正规子群D2 它把T的元素分成了三个左陪集 D2 c3D2 c32D2这些左陪集构成了商群 实际上就是C3群 T D2 C3 2存在正规子群的情况 群论 群的表示理论 特征标表的计算 T群与商群C3同态 具体对应关系为T e 3c2 C3 eT 4c3 C3 gT 4c32 C3 g2T群的不可约表示中 必有与C3相同的不可约表示 T C3 D 故T D 群论 群的表示理论 特征标表的计算 C3的特征标表已经给出 我们可以把C3的相应特征标填入T群特征标表中 再求出余下的特征标 剩下来的三个特征标很容易根据正交关系得到x1 1 x2 0 x3 0计算特征标表的方法还有 类的积和法 本征函数法 等大部分常用的群 其特征标表都可以查到 群论 群的表示理论 特征标表的计算 两个子群的表示的直积 是其直积群的表示 设直积群为G Ga Gb 若Da是Ga的表示 Db是Gb的表示 则群G的表示为Da Db证明 设群Ga的元是 am 群Gb的元是 bk 则群G的元是 ambk 假定alap am bibj bk 则 albi a