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随机波动率与股票价格 主要内容 波动性的理论概述涉及波动模型的基本概念常见波动模型随机波动模型随机波动模型的估计 波动性的概念 波动性 指价格非预期变化趋势 或者收益的不确定性或不可预测性最早是以收益率的方差或标准差来粗略的度量波动性和金融资产总体风险 但是波动性一些复杂的 与时间序列相关的特征无法简单地使用方差或标准差来测度 波动性的特征 1 尖峰厚尾 即资产收益有着比正态分布更高的峰和更厚的尾 对于这种现象 有不同的解释 厚尾最通常的解释是信息的不频繁到来 信息是偶尔成堆的方式出现 而不是以平滑连续的方式出现的 只要信息来到 它是会被消化并马上反应在价格里 市场对于成堆信息的反应导致了厚的尾部 波动性的特征 另一种解释是如果投资者在趋势十分明显前忽略了信息 然后以累积的方式对所有以前被忽略的信息作出反应 就会得到厚尾 因此 许多文献提出把资产收益作为厚尾分布抽取的独立同分布序列建模 假定误差项服从t分布或广义误差分布等非正态的厚尾分布 以较好刻画尖峰厚尾的特征 波动性的特征 2 波动聚集性 指高波动与低波动时期的聚集性 与厚尾性紧密相关 后者是一种静态解释 波动聚集性的原因 一种解释是自相关的信息过程产生的 即信息传导观 另一种解释是Stock 1988 提出的时间扭曲观 这种观点认为是因为经济事件的发生时间与日历时间不一致 波动性的特征 3 波动非对称性 不同种类的信息对股价波动的影响不对称 下跌引起的波动比上升引起的波动大一种解释是杠杆效应 指股价运动与波动呈现出负相关的关系 即下降的股价将提高资产负债比 财务杠杆 因此提高了公司的风险 从而导致未来波动的上升 另一种解释是反馈效应 当前波动与未来收益正相关 波动性的特征 4 信息到达 收益率波动的分布是由影响价格变化的信息流决定的 影响波动性的信息流主要有 交易量 报价的到达 一些可预测的事件 如红利分派公告 宏观经济数据的披露等 闭市 以及其他的与信息到达相联系的许多现象 波动性的特征 5 长记忆性与持续性 这是指收益率序列的绝对值或幂的自相关呈现十分缓慢的衰减 相距较远的时间间隔仍然具有显著的自相关性 表现为历史事件会长期影响着未来 也就是说 当前的信息和波动会对未来的波动产生长期和持续的影响 波动性的特征 6 波动传导性 波动溢出现象 不同金融市场的波动之间可能存在相互影响 波动会从一个市场传递到另一个市场 一种金融产品到另外一种金融产品 例如 期货市场的交易将会加剧现货市场的波动 同样现货市场对期货市场存在波动传导 波动性的特征 7 隐含波动率的相关性在衍生品的隐含波动率测定中 常常是根据同一标的资产 不同的执行价格 不同的到期日得到不同的隐含波动率 再加权获得一个复合隐含波动率 权数是依据期权价值的交易量形成的 波动性的特征 8 微笑现象 隐含波动率在不同执行价时产生的U型模式 即平价期权的隐含波动率最低 实值和虚值期权的隐含波动率较高 主要原因 期权市场溢价和交易成本 波动性的特征 波动性的类型 历史波动率 是使用历史的股价数据计算得到的波动率数值 隐含波动率 是基于模型的 通常从一个特定模型的定价公式计算得到 如B S模型 现实波动率 又称高频数据波动率 是指由于信息技术手段的提高 可获得金融市场一天内的交易数据 如5min 10min而呈现出的波动 布朗运动 布朗运动也称维纳过程 是一个随机过程 定义 若一个随机过程 X t t 0 满足 1 X t 是独立增量过程 2 任意s t 0 X s t X s N 0 c 2 t 即X s t X s 是期望为0 方差为c 2 t的正态分布 3 X t 关于t是连续函数 布朗运动 特点 1 它是一个Markov过程 因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息 2 布朗运动具有独立增量 该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率 3 它在任何有限时间上的变化服从正态分布 其方差随时间区间的长度呈线性增加 标准布朗运动 设代表一个小的时间间隔长度 代表变量z在时间内的变化 遵循标准布朗运动的具有两种特征 特征1 和的关系满足 1 其中 代表从标准正态分布 即均值为0 标准差为1的正态分布 中取的一个随机值 特征2 对于任何两个不同时间间隔 的值相互独立 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形 我们可得 当时 我们就可以得到极限的标准布朗运动 普通布朗运动 我们先引入两个概念 漂移率和方差率 标准布朗运动的漂移率为0 方差率为1 我们令漂移率的期望值为a 方差率的期望值为b2 就可得到变量x的普通布朗运动其中 a和b均为常数 dz遵循标准布朗运动 Markov过程 Markov过程是一种重要的随机过程 它有如下性质 当随机过程在时刻ti所处的状态已知时 过程在时刻t t ti 所处的状态仅与过程在ti时刻的状态有关 而与过程在ti时刻以前所处的状态无关 此特性称为随机过程的无后效性或马尔可夫性 P 将来 现在 过去 P 将来 现在 伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数 若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数 我们可以从前面公式得到伊藤过程 ItoProcess 其中 dz是一个标准布朗运动 a b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a 方差率为b2 资产价格动态过程 证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 方差率为的伊藤过程来表示 两边同除以S得 为证券在单位时间内以连续复利表示的期望收益率 证券收益率单位时间的方差 上式又被称为几何布朗运动 瞬时波动率 Black Scholes期权定价模型 假设 没有交易成本 税收和卖空限制 不存在无风险套利机会 标的资产在期权到期时间之前不支付股息和红利 市场交易是连续的 价格波动也是连续的 无风险利率r为常数 且对所有的到期日都相等 Black Scholes期权定价模型 Black Scholes期权定价模型 随机波动期权定价模型 由于B S模型的一些假设在实际中并不成立 特别是假设波动为常数 因此Hull和White提出了随机波动下的期权定价公式 该模型假设 随机波动期权定价模型 Hull和White期权定价公式 隐含瞬时波动率 如果假定期权价格服从Hull White公式 就会产生两类隐含波动 瞬时隐含波动和平均隐含波动 假设风险中性概率分布属于一个参数族 产生一个函数表达式 期权隐含波动模型 期权隐含波动模型首先由Latane和Rendlema在1976年提出 其基本原理是根据B S期权定价公式从期权价格倒推出市场波动性 由于期权价格反映的是市场未来的波动性 因此应用该模型可以预测波动 Black Scholes隐含波动率 平均隐含波动率 随机自回归波动率 随机自回归波动率 随机波动模型 离散时间SV模型连续时间SV模型有间断跳跃的连续SV模型厚尾和杠杆SV模型含有外生因素的SV模型含有前期观测影响的SV模型考虑预期收益的SV模型长记忆SV模型非线性SV模型变截距SV模型 离散SV模型 离散SV模型 连续时间SV模型 有间断跳跃的连续SV模型 有间断跳跃的连续SV模型 厚尾SV模型 厚尾SV模型 杠杆SV模型 在基本SV模型中 收益方程的扰动项和波动方差扰动项是不相关的 但Black 1976 发现了 杠杆效应 对此 提出了非对称SV模型 简称A SV模型 杠杆SV模型 含有外生因素的SV模型 含有前期观测影响的SV模型 考虑预期收益的SV模型 长记忆SV模型 Box Cox SV模型 Box Cox SV模型 变截距SV模型 SV模型与GARCH模型比较 SV模型与GARCH模型比较 SV模型的参数估计方法 伪极大似然方法马尔可夫链蒙特卡罗方法 MCMC方法 Gibbs M H 非线性滤波极大似然方法广义矩方法模拟极大似然方法经验特征函数方法 伪极大似然方法 伪极大似然方法 马尔可夫链 马尔可夫链 静态蒙特卡罗方法 静态蒙特卡罗方法 马尔可夫链蒙特卡罗