2004—2014年考研数学真题“极限”题型精选解析

1 2004 2014 年考研数学真题年考研数学真题 极限极限 题型精选解析题型精选解析 注注 1 本篇试题选自 2004 年 2014 年数学一 二 三的考研真题 共 35 题 2 本篇真题题型 选择题 填空题 解答题 3 本篇试题包括两部分 第一部分是精选极限真题解析 第二部分是补充极限真题解析 P9 第一部分 精选第一部分 精选 极限极限 真题解析 真题解析 共 共 20 题 题 一 选择题一 选择题 1 设则当 n 充分大时有 lim 0 n n aaa 且 A B C D n a 2 a 2 n a a 1 n aa n 1 n aa n 答案 答案 A 注 2014 年数三 1 解析 解析 方法 1 则当 n 充分大时 lim0 lim0 2 nn nn a aaaa 取 故 A 正确 3 22 nnn aa aaaaa 即 方法 2 有lim n n aa 0NNnN 使 n aa 即 0 222 nn aaa aaaaaaa 可取 则 不论 0 或 0 都有 选 A aa 2 n a a 2 设 则数列有界是数列收敛的 123 0 1 2 3 nnn anSaaaa n S n a A 充分必要条件 B 充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 非充分也非必要 答案 答案 B 注 2012 年数二 3 解析 解析 由于 是单调递增的 可知当数列有界时 收敛 也即0 n a n s n s n s 是存在的 此时有 也即收敛 lim n n s 11 limlimlimlim0 nnnnn nnnn assss n a 反之 收敛 却不一定有界 例如令 显然有收敛 但是无 n a n s1 n a n a n sn 界的 故数列有界是数列收敛的充分非必要条件 选 B n s n a 2 3 22222 111 lim 12 n n nnnn 注 2012 年数二 10 解析 解析 利用定积分定义计算项和 原式 n 1 1 22 0 1 11 limarctan 14 1 n n i dx x nx i n 4 当时 用表示比高阶的无穷小 则下列式子中错误的是 0 x o xx A B 23 x o xo x 23 o xo xo x C D 222 o xo xo x 22 o xo xo x 答案 答案 D 注 2013 年数三 1 解析 解析 A B 0 2 2 3 2 x xo x xxo 22 32 0 o x o xo xo x xxx C 2222 222 0 o xo xo xo x xxx D 如 0 2 2 22 2 推不出 x xo x xo x xoxo 2 2 2 1 o xo x xo x x 则 5 当 x 0 时 若均是比 x 高阶的无穷小 则的取值范围是 1 ln 12 1 cos xx A B 1 2 2 C D 1 2 1 2 1 0 答案 答案 B 注 2014 年数二 1 解析 解析 当 0 时 x ln12 2xx 111 2 11 1 cos 22 xx 2 x 由 2 1112 且 6 已知当时 函数0 x 3sinsin3 k f xxxcx 与是等价无穷小 则 A k 1 c 4 B k 1 c 4 C k 3 c 4 D k 3 c 4 答案答案 C 注 2011 年数二 1 数三 1 解析 解析 法 1 洛必达法则 待定系数法 3 11 000 3sinsin33cos3cos33 cos1 cos31 limlimlim kkk xxx xxxxxx cxckxckx 应选 C 22 3 1 00 11 3 312 22 limlim1 3 4 k k xx xx xkc ckxck 法 2 麦克劳林公式 故 333 11 3sinsin33 3 3 4 3 3 xxxxxxx 3 4kc 7 已知极限 其中 k c 为常数 且 则 0 arctan lim k x xx c x 0c A B C D 1 2 2 kc 1 2 2 kc 1 3 3 kc 1 3 3 kc 答案答案 D 注 2013 年数一 1 解析解析 用洛必达法则 或麦克劳林公式 3 1 arctan 3 xxx 应选 22 2 1121 0000 1 1 arctan 1 limlim limlim 1 kkkk xxxx xxxx x c xkxkxxkx 1 3 3 kc D 8 设时 若是比高阶的无穷小 则 22 0P xabxcxdxx 当tan P xx 3 x 下列试题中错误的是 A B C D 0a 1b 0c 1 6 d 答案答案 D 注 2014 年数三 3 解析解析 法 1 由泰勒公式得 33 1 tan0 3 xxxx 233 33 00 1 1 tan 3 limlim0 xx abxcxdxo x P xx xx 故选 D 1 0 1 0 3 abcd 法 2 由条件及洛必达法则可得 22 2 32 0000 tan23sec limtan0 0 limlim limsec1 3 xxxx P xxbcxdxx xax xx 知又 故 b 1 同理 再用洛比达法则可得 故 2 0 262sectan lim0 6 x cdxxx x 0c 1 3 d 4 选 D 9 设函数在上具有二阶导数 且 令 则下列结论正 f x 0 0fx n uf n 确的是 A 若 则必收敛 B 若 则必发散 12 uu n u 12 uu n u C 若 则必收敛 D 若 则必发散 12 uu n u 12 uu n u 答案答案 D 注 2007 年数数一 5 二 6 分析 分析 本题依据函数的性质 判断数列 由于含有抽象函数 利用赋值 f x n uf n 法举反例更易得出结果 解析 解析 取 而 lnf xx 2 1 0fx x 12 ln10ln2uu 发散 则可排除 A lnf nn 取 而收敛 则可排除 B 1 f x x 3 2 0fx x 12 1 1 2 uu 1 f n n 或取 而收敛 则可排除 2 1 f x x 4 6 0fx x 12 1 1 4 uu 2 1 f n n B 取 而发散 则可排除 C 故 2 f xx 20fx 12 14uu 2 f nn 选 D 事实上 若 则 对任意 因为 12 uu 21 1 2 1 0 2 12 1 uuff f 1 x 0fx 所以 对任意 1 0fxfc 21 故选 D 121 f xffxx 或用反证法 若收敛 则 但 n uf n 1 0 nn uu 11 0 nnn uuff 矛盾 故 D 正确 注 注 对于含有抽象函数的问题 通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算 二 填空题二 填空题 10 x x x x 1 0 1ln 2lim 注 2013 年数二 9 5 解析 解析 2 0 0 1 11 1 ln 1 1 1 lim lim 22 00 ln 1 ln 1 lim 2lim 1 x x xx x xx xx xx xxx eee xx 11 极限 11 ln lim 1 xx x x 注 2010 年数三 15 10 分 解析解析 1 111 ln 1 lnln lim 1 lim x x xxx xx Ixe 11ln 1 11ln x xx xex x 1lnlnln ln lnlnln 11 1 lnln limlimlim xt x t xx xxt xxt Ieeee 12 已知函数连续 且 则 f x x x xf x ef x 2 0 1cos lim1 1 0 f 注 2008 年数二 9 解析解析 由 得 x ttxf xxf xex 2 222 11 1cos 1cos 1 22 故2 x xxx xf x xf x f xf x f x ef x 2 2 2 000 1 1cos 11 2 limlimlim 0 1 22 1 0 f 13 若 则 a b 5 cos sin lim 0 bx ae x x x 注 2004 年数三 1 解析解析 本题属于已知极限求参数的反问题 因为 且 所以 得5 cos sin lim 0 bx ae x x x 0 cossinlim 0 bxx x 0 lim 0 aex x a 1 极限化为 得 b 4 因此 a 00 sin lim cos lim cos 15 1 x xx xx xbxbb ex 1 b 4 注 注 一般地 已知 A lim xg xf 1 若 g x 0 则 f x 0 2 若 f x 0 且 A 0 则 g x 0 6 14 设函数在处连续 则 2 3 0 1 sin 0 0 x t dt x f xx ax 0 x a 注 2006 年数二 2 解析解析 本题为已知分段函数连续反求参数的问题 直接利用函数的连续性定义即可 由题设知 函数在 处连续 则 f x0 x 0 lim 0 x f xfa 因为 所以 2 2 0 32 000 sind sin1 lim limlim 33 x xxx tt x f x xx 1 3 a 注 注 遇到求分段函数在分段点的连续性问题 一般从定义入 本题还考查了积分上限函数 的求导 洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点 属基本题型 三 解答题三 解答题 1515 计算 2 2 2cos 4 0 lim xx x ee x 注 2012 年数三 15 本题满分 10 分 解析解析 先恒等变形 然后利用等价代换 再用洛必达法则和等价代换1 0 t et t 原式 2 1 1 cos 2 xx 2 2 2cos 2 2cos 4 0 1 lim xx x x e e x 2 43 00 22cos2 sin limlim 4 xx xxxx xx 2 0 11 cos1 lim 2312 x x x 16 设函数连续 且 求极限 f x0 0 f lim 0 0 0 x x x dttxfx dttftx 注 2005 年数二 15 本题满分 11 分 解析 解析 此类未定式极限 典型方法是用罗必塔法则 但分子分母求导前应先变形 由于 于是 0 00 x xx utx duufduufdttxf x xx x x x x duufx dtttfdttfx dttxfx dttftx 0 00 0 0 0 0 lim lim x x x xxfduuf xxfxxfdttf 0 0 0 lim 7 x x x xxfduuf dttf 0 0 0 lim lim 0 0 0 xf x duuf x dttf x x x 2 1 0 0 0 ff f 17 当时 与为等价无穷小 求与的值 0 x 1 coscos2cos3xxx n axna 注 2013 年数二 15 数三 15 本题满分 10 分 解析 解析 有 3 种方法 方法 1 恒等变形 1 cos cos2 cos3 1 cos coscos cos2 cos cos2cos cos2 cos3 xxxxxxxxxxxx 选 A 2222 111 cos 2 cos cos2 3 7 222 xxxxxxx n ax7 2an 方法 2 洛必达法则 1 00 1 cos cos2 cos3sin cos2 cos32cos sin2 cos33cos cos2 sin3 limlim nn xx xxxxxxxxxxxx axanx 选 A 11 00 2 23 314 limlim1 nn xx xxxx anxanx 2 7na 方法 3 三角积化和差公式 由 可得 1 coscos cos cos 2 1 1 cos cos2 cos3 cos2cos4cos6 4 xxxxxx 令3 令 1 cos2 1 cos4 1 cos6 4 xxx 1 2222 1 111 2 4 6 7 4 222 xxxx n ax 选 A 7 2an 18 设数列满足 n x 11 0 sin 1 2 nn xxx n 2 1 1 1 lim 2 lim n n n x n n n x x x 证明存在 并求之 计算 注 2006 年数一 16 数二 18 本题满分 12 分 1 1 0sin sin 0 lim sin 0 nnnn nnn n xxxxxxx xxxAAAA 证当时 单调减少 又有下界 存在递推公式两边取极限得 离散型不能直接使用洛必达法则 先考虑 2 1 sin 2 lim n x n n n x x 原式 为 1 型 2 1 0 sin lim t t t t 222 00 11sin1sin limln limln 1 0 sin lim tt tt t tt ttt t t ee t 8 故 12 2 lim 2 0 3 232 000 1 sinsincos1 1 limlimlim 36 t tt ttt t tt tt t ttt eeeee 2 1 1 6 sin lim n x n n n x e x 19 I 证明方程 在区间内有且仅有一个实根 1xxx nn 1 1n 的整数 1 1 2 II 记 I 中的实根为 证明存在 并求此极限 n xlim n n x 注 2012 年数二 21 本题满分 10 分 证明 证明 1 由题意得 令 则 再由 1 1 nn f xxxx 1 0f 由零点定理得在 11 1 11 22 1 0 1 22 1 2 n n f 1 1 nn f xxxx 至少存在一个零点 也即方程在区间内至少有一个实根 1 2 1 1 1 nn xxx 1 2 1 又由于 单调 所以在内最多只有一个零点 故方程 0fx f x f x 1 2 1 在区间内有且仅有一个实根 1 1 nn xxx 1 2 1 2 由于 可知 0 n f x 1 10 nn nnn xxx 进而有 可知 1 111 10 nn nnn xxx 1 111 10 nn nnn xxx 比较 式与 式 由单调增加 可知 故单调 f x 1nn xx n x 又由于 也即是有界的 则由单调有界收敛定理可知收敛 假设 1 1 2 n x n x n x 可知 lim n n xa 21 1axx 当时 n 1 1 lim lim110 lim 112 n nn nn nnn n xxa f xx xa 得 20 证明 1 对任意正整数 n 都有 nnn 1 1 1ln 1 1 9 2 设 证明收敛 2 1 ln n 1 2 1 1 nnan n a 注 2011 年数一 18 数二 19 本题满分 10 分 证明 证明 法 1 11111 1 ln 1 0 ln 1 ln 1 ln1 1 1111111111 0 1 ln 1 1 ln 1 11 11 11 f xx nnnn nnnn nnn nn 在应用中值定理 即 1 1 11 11 2 1ln 1 21 111 ln 1 ln 1 11 0 11111 1lnln 1 ln 1 ln 1 ln 212 1 ln2ln3 2lnln ln 1 ln0 n nn nnnnn n n an n aannnn nn aaaaa ann nn n n n nn a 其中即单调递减 单调减少且有界 故收敛 法 2 1 令 由单调性可证 由此得 ln 1 f xxx 0f x 0 x 同理可证左边 略 11 ln 1 nn 2 证有界性可用下法 由 可得 1 11 k k dx kx 1 1 111 1lnln 2n n k n k k andxn x 1 1 1 lnln 1 ln0 n dxnnn x 第二部分 补充第二部分 补充 极限极限 真题解析 真题解析 共 共 15 题 题 一 选择题一 选择题 1 当时 与等价的无穷小量是 0 x x A B C D 1 x e 1 ln 1 x x 11x 1 cosx 10 答案 答案 B 注 2007 年数一 1 数二 1 分析 利用已知无穷小量的等价代换公式 尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量 再 进行比较分析找出正确答案 解析 解析 当时 有 0 x 1 1 xx eex 1 11 2 xx 利用排除法知应选 B 事实上 2 11 1 cos 22 xxx B 正确 1 lnln 1 1 111 xxxxx xxxxx xxx 2 把 0 x时的无穷小量dttdttdtt xxx 0 3 00 2 sin tan cos 2 使排在后面 的是前一个的高阶无穷小 则正确的排列次序是 A B C D 答案 答案 B 注 2004 年数一数二 7 解析 解析 先两两进行比较 再排出次序即可 可排除 C D 选项 0 cos 2tan lim cos tan limlim 2 0 0 2 0 00 2 x xx dtt dtt x x x xx 又 可见是比低阶的 xx x x dtt dtt x x x xx tan2 2 1 sin lim tan sin limlim 2 3 0 0 0 3 00 2 2 0 lim 4 1 x x x 无穷小量 故应选 B 注 注 本题是无穷小量的比较问题 也可先将分别与进行比较 再确定相互的高 n x 低次序 3 设 则当充分大时有 10 lnf xx g xx 10 x h xe x A B g xh xf x h xg xf x C D f xg xh x g xf xh x 答案 答案 C 注 2010 年数三 4 解析 解析 同理 109 ln10ln10 limlimlimlim0 xxxx f xxx g xxxx 故当 充分大时 有 lim0 x g x h x x f xg xh x 11 4 设 当时 2 sin1cos xxxx0 x x A 比高阶的无穷小 B 比低阶的无穷小xx C 与同阶但不等价无穷小 D 与等价无穷小xx 答案 答案 C 注 2013 年数二 1 解析 解析 当时 故应该选0 x 2 1 sin 2 1 sin1cos 2 xxxxxxx C 5 设函数在内单调有界 为数列 下列命题正确的是 f x n x A 若收敛 则收敛 B 若单调 则收敛 n x n f x n x n f x C 若收敛 则收敛 D 若单调 则收敛 n f x n x n f x n x 答案 答案 B 注 2008 年数一 4 数二 5 解析 解析 若单调 则由函数在内单调有界知 若单调有界 因 n x f x n f x 此若收敛 故应选 B 因为不一定连续 当时 不 n f x f x n xa n f xf a 一定成立 所以 A 错 如 取 但 arctan 0 1 arctan 0 xx f x xx 1 1 0 n n x n 不存在 或者取 不存在 lim n n f x 1 0 0 0 1 0 x f xx x 1 1 0 n n x n lim n n f x 取 此时收敛且单调 但发散 因此 C D 都是 arctanf xx n xn lim n n f x n x 错误的 6 设 222 12 limln 1 1 1 n n n nnn A B 2 C 2 D 2 2 1 ln xdx 2 1 ln xdx 2 1 ln 1 x dx 2 2 1 ln 1 x dx 答案答案 B 注 2004 年数二 9 解析 解析 2 222 11 121 limln 1 1 1 limln 1 2limln 1 nn n n nnn kk nkk nnnnnn 应选 B 12 01 2ln 1 2lnx dxxdx 12 二 填空题二 填空题 7 x x x 1 0 2 21 lim 注 2011 年数二 9 解析 解析 111 21211 212 ln2 lnln 1 ln2 2222 00000 12 lim limlimlimlim2 2 xxxx x xxxx xxxxx eeeee 8 1 cossin 4 lim tan xx x x 注 2012 年数三 9 解析 解析 原式 tan1 1 cossin tan1 4 lim 1 tan1 x xx x x x 4 1sincos lim coscossin 2 x xx xxx ee 或利用幂指函数恒等变形 ln ln 1 1 v x v xu xv xu x u xee 9 cos 320 lim 11 x x ee x 注 2009 年数三 9 解析 解析 coscos1 332200 1 limlim 1111 xx xx eeee xx 0 2 1cos lim 1 3 x ex x 2 0 2 1 2 lim 1 3 x ex x 3 2 e 10 当时 与是等价无穷小 则 k 0 x 2 kxx xxxxcosarcsin1 注 2005 年数二 5 解析 解析 题设相当于已知 由此确定 k 即可 由题设 1 lim 0 x x x 2 00 cosarcsin1 lim lim kx xxx x x xx cosarcsin1 cos1arcsin lim 2 0 xxxkx xxx x k2 1 得1 4 3cos1arcsin lim 2 0 kx xxx x 4 3 k 三 解答题三 解答题 13 11 求极限 1 1ln 1 lim 2 1 1 2 x x dttet x t x 注 2014 年数一 数二 数三 15 本题满分 10 分 解析 解析 原式 11 22 11 2 1 1 limlim 1 xx tt xx tet dttet dt x x x 1 11 22 2 00 1111 lim 1 lim 1 limlim 22 t tt x xx xxtt ete x exx e xtt 令 注注 当 t 0 时 2 2 ln 1 10 2 t t tt ett 12 已知函数 设 试求的取值范围 x dtt xF x 0 2 1ln 0 lim lim 0 xFxF xx 注 2011 年数二 15 解析 解析 2 2 0 122 2 22 0 11 000 0 lim ln 1 ln 1 21 0 lim limlimlim0 1 1 1 ln 1 ln 1 lim limlimlim021 x x aaa xxxx x aaa x xxx aF x tdt xx aF xa xaxx a ax tdt xx F xa xax