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1 / 6递推关系的求解本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址文章来源m 递推关系的求解一基本概念定义：确定的数列称为递推数列。 （为其的阶）二基本解法（1）（2）（3）常系数线性齐次递推关系将（2）称为（1）的特征方程若是（2）的重根，则（1）的个特解分别为个特解的线性组合就是（1）的通解。设找到，使令可得.从而为的根。结论：，若有两个不动点，则，这里。若只有一个不动2 / 6点，则，这里三常用思想：1不动点，特征根2无理化有理（取对数，化新数列）3多元化少元4高次化低次5高阶降低阶6非线性化线性7非齐次化齐次8猜想试解P103 例 6 在正项数列中，求通项公式。解对两边取对数，得即这说明数列是首项为，公比为的等比数列，则有故P104 例 8 设数列满足且求证：是完全平方数。证由式可得并代入式，得3 / 6两式相减由方程，得那么通解为由,代入上式解出，得因为为正偶数，所以，是完全平方数.P106 例 9 数列中，.解构建数列.故化简得所以数列是以 2 为首项，1/2 为公比的等比数列.所以P107 例 10 已知满足，且，求.解:是二阶线性非齐次递推数列，先设法将它转化为一阶递推关系，故条件变形为：可见是常数列，逐次递推得即4 / 6P107 例 11 设满足，求.解：，解方程,得于是由定理 10 得，则：由已知可得，解得P108 例 12 已知满足， ，且，求.解：，故两式相减得即则，根据特征方程求解.P108 例 13 设正数列满足,求.解：把递推关系改写为令，则为对两边取对数，得令，则为利用不动点性质有即故其中，即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项5 / 6公式可知为常数数列，逆推上去，得，则，故是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知.P109 例 14 数列定义为：，求证：对任意的自然数， ，表示不超过的最大整数。证明：递推关系较为复杂，结论又未给出的表达式，不妨通过归纳法探索的表达式：当时， ，当时， ，由此可以猜想：.问题转化为证明这一猜想，再证可被 3 整除。可令当时，成立；假设当和时式成立，则时，由的递推关系及可证：，又由，故为正整数，为内的纯小数。所以成立。P110 例 15 设满足，且，求.解：令，
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