2000年高考数学试题(广东卷)

第 1 页 共 14 页 2000 年高考数学试题 广东卷 年高考数学试题 广东卷 第第 I 卷卷 选择题 60 分 参考公式 参考公式 三角函数的积化和差公式 sinsin 2 1 cossin sinsin 2 1 sincos coscos 2 1 coscos coscos 2 1 sinsin 正棱台 圆台的侧面积公式 lccS 2 1 台侧 其中 分别表示上 下底面周长 表示斜高或母线长 c cl 台体的体积公式 hSSSSV 3 1 台体 其中 分别表示上 下底面积 表示高 S Sh 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题 第每小题小题 第每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出分 在每小题给出 的的 四个选项中 只有一项是符合题目要求的 四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A 那么 A 的真子集的个数是 4 3 2 1 A 3 B 16 C 15 D 4 2 在复平面内 把复数对应的向量按顺时针方向旋转 所得向量i 33 3 对应的复数是 A B C 2 D 3i 33 i 32 3i 3 3 一个长方体共一项点的三个面的面积分别是 这个长方体236 对角线的长是 A 6 B 3 C 2 D 236 4 已知 那么下列命题成立的是 sinsin A 若 是第三象限角 则 coscos B 若 是第二象限角 则 tgtg C 若 是第三象限角 则 coscos D 若 是第四象限角 则 tgtg 第 2 页 共 14 页 5 函数的部分图象是xxycos 6 依法纳税是公民的义务 按规定 全月工资 薪金所得不超过 800 元的 部分不必纳税 超过 800 元的部分 按下列分段累进计算税款 工资 薪金所得超过 800 元的部分中税率 不超过 500 元的部分5 超过 500 元至 2000 元的部分10 超过 2000 元至 5000 元的部分15 某人一月份应交纳此项税款 26 78 元 则他的当月工资 薪金所得介于 A 1200 1500 元 B 900 1200 元 C 800 900 元 D 1500 2800 元 7 若 P Q R 则1 baba lglg balglg 2 1 2 lg ba A Q PR B PQ R C RPQ D P RQ 8 以极坐标系中的点为圆心 1 为半径的圆的方程是 1 1 A B 1cos2 4 sin2 C D 4 cos2 1sin2 9 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形 这个圆柱的全面积与侧面积的比 是 A B C D 21 4 41 2 21 2 41 10 过原点的直线与圆相切 若切点在第三象限 则该直034 22 xyx 线的方程是 A y B C D x 3 3 xy3 xy3 x 3 3 11 过抛物线的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P Q 两点 若线 0 2 aaxy 第 3 页 共 14 页 段 PF 与 FQ 的长分别是 则等于pq qp 11 A B C D a4 a2 1 a2 a 4 12 如图 OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线 OA 绕轴旋转一周所得曲 面将圆锥分成体积相等的两部分 则母线与轴的夹角的余弦值为 A B 2 1 2 1 C D 3 2 1 4 2 1 第第 II 卷卷 非选择题 90 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 把答案填在题中分 把答案填在题中 横横 线上 线上 13 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员 派 5 名参加比赛 3 名主力 队员要安排在第一 三 五位置 其余 7 名队员选 2 名安排在第二 四 位置 那么不同的出场安排共有 种 用数字作答 14 椭圆的焦点为 点 P 为其上的动点 当为钝角1 49 22 yx 1 F 2 F 21PF F 时 点 P 横坐标的取值范围是 15 设是首项为 1 的正项数列 且 n a 1 2 01 1 22 1 nnnn ananaann 3 则它的通项公式是 n a 16 如图 E F 分别为正方体的面 面的中心 则四边形 11A ADD 11B BCC 在该正方体的面上的射影可能是 要求 把可能的图的 EBFD1 序号都填上 第 4 页 共 14 页 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或分 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知函数 3 yxxcossin Rx I 当函数取得最大值时 求自变量的集合 yx II 该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换 Rxxy sin 得到 18 本小题 12 分 设 为等比数列 已知 n a nnn aaannaT 121 2 1 4 1 21 TT 求数列的首项和公式比 n a 求数列的通项公式 n T 19 本小题满分 12 分 如图 已知平行六面体 ABCD 的底面 1111 DCBA ABCD 是菱形 且 CBC1 BCDCDC 1 I 证明 BD CC1 II 当的值为多少时 能使平面 1 CC CD CA1 请给出证明 BDC1 20 本小题满分 12 分 设函数 其中 axxxf 1 2 0 a I 解不等式 1 xf II 证明 当时 函数在区间上是单调函数 1 a xf 0 第 5 页 共 14 页 21 本小题满分 12 分 某蔬菜基地种植西红柿 由历年市场行情得知 从二月一日起的 300 天 内 西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示 西红柿的种植 成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示 I 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P tf 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 Q tg II 认定市场售价减去种植成本为纯收益 问何时上市的西红柿收益最 大 注 市场售价和种植成本的单位 元 kg 时间单位 天 2 10 22 本小题满分 14 分 如图 已知梯形 ABCD 中 点 E 分有向线段所成的比为 CDAB2 AC 双曲线过 C D E 三点 且以 A B 为焦点 当时 求双曲线离心 4 3 3 2 率 的取值范围 e 第 6 页 共 14 页 2000 年高考 广东卷 年高考 广东卷 参考答案参考答案 一 选择题 1 n 元素的真子集有个 本题结果为 15 答 C 12 n 124 2 答 B i i iicoxi32 2 3 2 1 33 3 sin 3 33 3 设长方体三度为则三式相乘得 zyx 6 3 2 xyzxyz 答 6123 1 2 3 6 6 222222 zyxzyxxyzzyx B 4 若 同属于第一象限 则 第二象限 2 0 coscos 则 第三象限 则 2 tgtg 2 3 coscos 第四象限 则 均假定 答 2 2 3 tgtg 0 2 D 5 设则为奇数 又时 xfy cos xfxxf xf 2 0 x 故答 D 0 xf 6 设收入为 S 元 税款为 M 元 则时 M 0 时 800 S 1300 800 S 时 题设 2800 1300 25 5500 SM 175 10150025 M 故答 A 78 26 M 8 1317 10 2578 26 1300 S 7 由平均不等式知同理 2 lg lg 2 RQ ba ab ba ab 答 B 2 lglg lglgQP ba ba 8 所求方程是化简得答 1 sinsin coscos 22 ll 1cos 2 A 9 设圆柱底面积半径为 r 则高为全面积 侧面积 2 r 答 C 2 12 2 22 222 rrr 第 7 页 共 14 页 10 圆方程为圆心为 A 2 0 半径为 1 1 2 222 yx 答 A 3 3 6 2 1 sin tg 11 设 PQ 直线方程是则是方程 4 1 kx a y 21 x x 的两根 a kxax 4 1 2 4 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 rxkxx a yxp 其中同理从而 1 2 kr 2r xq 4 4 1 4 1 4 4 11 2 2 2 21 21 2 21 21 21 2 21 12 a r a aa k rxx xxxx rxx xx rxx rxx pq qp qp 答 A 另解 按选择题 4 选 1 的规定 本题中 4 个选择支都是常数 故应有 常数 过 F 作 x 轴 则易得 qp 11 PQ 答 A 4 11 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 a qpa qp aa Q aa p 12 如图 设则 1 OB OD cos 3 1 3 1 3 cossincos sin 42 2 ctgACDOVctgV ODADACctg OAADBB圆锥圆锥 由题意知故知答 D 2 1 cos4 2 1 cos 4 二 填空题 13 正确答案是 252 25267123 2 7 3 3 PP 14 如图 设则且是钝 yxp 0 5 0 5 21 FF 21PF F 角 第 8 页 共 14 页 5 9 1 4 105 20 5 5 2 2 22 22222 21 2 2 2 1 x x yx yxyxFFPFPF 正确答案是 3 5 3 5 5 9 2 xx 3 5 3 5 x 15 另解不合题意舍去 nnn a n n a n nn a 1 1 2 1 411 1 n a 即正确答案是 2 1 12 3 1 2 n n a a a a a a 2 1 1 1 1 n n a na a n n 1 n 16 平行四过形投影于左 右两侧得图 投影于上 下 前 后四EBFD1 侧面都得图 正确答案是 三 解答题 17 解解 I xxycossin3 cos 2 1 2 3 2xx 6 sincos 6 cos sin2 xx 6 sin 2Rxx y 取得最大值必须且只需 2 26 Zkkx 即 kx2 3 Zk 所以 当函数取得最大值的自变量的集合为yx 6 分 Zkkxx 2 3 II 变换的步骤是 i 把函数的图象向左平移 得到函数xysin 6 的图象 9 分 6 sin xy ii 令所得到的图象上各点横坐标不变 把纵坐标伸长到原来的 2 倍 第 9 页 共 14 页 得到函数 的图象 6 2sin2 xy 经过这样的变换就得到函数的图象 12 分xxycossin3 18 解 设等比数列的公比为 q 则 n a 2 2 121211 qaaaTaT 2 1 4 1 121 qaTT 解法一 由 I 知 故因此 2 1 1 qa 2 11 1 nn n qaa 21222 1 1 12 nn n nnT nn TTnT 2 21222 1 1 21222 1 2 1212 nnnn nnnn nn n2222 12 21 222 n n 2 2 22 11 nn nn 解法二 设 21nn aaaS 由 I 2 1 n n a 1 2221 1 nn n S 121 2 1 nn aannaT n a 121211nn aaaaaaa n SSS 21 12 12 12 2 n n n 222 2 第 10 页 共 14 页 22 21 222 1 nn n n 19 I 证明证明 连结 AC AC 和 BD 交于 O 连结 11C AOC1 四边形 ABCD 是菱形 AC BD BC CD 又 CCCCDCCBCC 1111 DCCBCC 11 DCBC 11 DO OB BD OC1 但 AC BD AC O OC1 BD 平面 1 AC 又 平面 CC1 1 AC BD CC1 II 当时 能使 平面 1 1 CC CD CA1BDC1 证明一 1 1 CC CD BC CD CC1 又 CDCCBCBCD 11 由此可推得 BD DCBC 11 第 11 页 共 14 页 三棱锥 C 是正三棱锥 BDC1 设与相交于 G CA1OC1 AC 且 OC 2 1 11C A 11C A GO 2 1 GC1 又 是正三角形的 BD 边上的高和中线 OC1BDC1 点 G 是正三角形的中心 BDC1 CG 平面 BDC1 即 平面 CA1BDC1 证明二 由 I 知 BD 平面 1 AC 平面 BD CA1 1 ACCA1 当 时 平行六面体的六个面是全等的菱形 1 1 CC CD 同 BD 的证法可得 CA1 1 BCCA1 又 BD B 1 BC 平面 CA1BDC1 20 解解 I 不等式即 1 xf axx 11 2 由此得 即 其中常数 ax 110 ax0 a 所以 原不等式等价于 0 11 22 x axx 即 021 0 2 axa x 第 12 页 共 14 页 所以 当时 所给不等式的解集为 10 a 2 1 2 0 a a xx 当时 所给不等式的解集为 1 a 0 xx II 证明 在区间上任取 使得87 5 可知 在区间上可以取最大值 100 此时 th 300 0 即从二月一日开始的第 50 天时 上市的西红柿纯收益最大 50 t 22 解 解 如图 以 AB 为垂直平分线为轴 直线 AB 为轴 建立直角坐标yx 系 则 CD 轴 xOyy 因为双曲线经过点 C D 且以 A B 为焦点 由双曲线的对称性知 C D 关于轴对称 y 依题意 记 A C E 其中 0 c h c 2 0 0 yx 为双曲线的半焦距 是梯形的高