2004--2010年普通高等学校招生统一考试重庆卷理科数学试题及答案

京翰教育 2004 年普通高等学校招生全国统一考试数学 理工农医类 重庆 卷 本试卷分第 部分 选择题 和第 部分 非选择题 共 150 分 考试时间 120 分钟 第 部分 选择题 共 60 分 参考公式 如果事件 A B 互斥 那幺 P A B P A P B 如果事件 A B 相互独立 那幺 P A B P A P B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P 那么 n 次独立重复试验中恰好发生k次的 概率 knkk nn PPCkP 1 一 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 函数的定义域是 1 2 log 32 yx A B C D 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 设复数 则 zziz2 21 2 则 2 2ZZ A 3 B 3 C 3i D 3i 3 圆的圆心到直线的距离为 22 2430 xyxy 1xy A 2 B C 1 D 2 2 2 4 不等式的解集是 2 2 1 x x A B C D 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 5 sin163 sin223sin253 sin313 A B C D 1 2 1 2 3 2 3 2 6 若向量的夹角为 则向量的模为 a与b60 4 2 3 72babab a A 2 B 4 C 6 D 12 7 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 2 210 0 axxa A B C D 0a 0a 1a 1a 8 设 P 是的二面角内一点 垂足 60 l PAPB 平面平面 A B为 则 AB 的长为 4 2 PAPB A B C D 2 32 52 74 2 9 若是等差数列 首项 则使前 n 项和 n a 12003200420032004 0 0 0aaaaa 成立的最大自然数 n 是 0 n S A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 京翰教育 A BC A BC A BC A BC PP P P 10 已知双曲线的左 右焦点分别为 点 P 在双曲线的右 22 22 1 0 0 xy ab ab 12 F F 支上 且 则此双曲线的离心率 e 的最大值为 12 4 PFPF A B C D 4 3 5 3 2 7 3 11 某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛 其中一班有 3 位 二班有 2 位 其 它班有 5 位 若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序 则一班有 3 位同学恰好被排在 一起 指演讲序号相连 而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为 A B C D 1 10 1 20 1 40 1 120 12 若三棱锥 A BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等 则动点 P 的轨迹与 ABC 组成图形可能是 A B C D 第 部分 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题中横线上 13 若在的展开式中的系数为 则 5 1 ax 3 x80 a 14 曲线在交点处切线的夹角是 用幅度数作答 23 11 22 24 yxyx 与 15 如图 P1是一块半径为 1 的半圆形纸板 在 P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得 1 2 到图形 P2 然后依次剪去一个更小半圆 其直径为前一个被剪掉半圆的半径 得圆形 P3 P4 Pn 记纸板 Pn的面积为 则 n Slim n x S P1 P2 P3 P4 京翰教育 O B A Y X y2 2px Q 2p 0 16 对任意实数 K 直线 与椭圆 恒有公共ykxb 20 sin41 cos23 y x 点 则 b 取值范围是 三 解答题 本题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 求函数的最小正周期和最小值 并写出该函数在 44 sin2 3sin coscosyxxxx 上的单调递增区间 0 18 本小题满分 12 分 设一汽车在前进途中要经过 4 个路口 汽车在每个路口遇到绿灯 允许通行 的概率 为 遇到红灯 禁止通行 的概率为 假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前 3 4 1 4 进 表示停车时已经通过的路口数 求 1 的概率的分布列及期望 E 2 停车时最多已通过 3 个路口的概率 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 PAABCD AEPD EFCD AMEF 底面 1 明 MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线 2 若 求直线 AC 与平面 EAM 所成角的正弦值 3PAAB 20 本小题满分 12 分 设函数 1 1 f xx xxaa 1 求导数 并证明有两个不同的极值点 fx f x 12 x x 2 若不等式成立 求的取值范围 12 0f xf x a 21 本小题满分 12 分 设是一常数 过点的直线与抛物线交于相异两点 A B 以0p 2 0 Qp 2 2ypx 线段 AB 为直经作圆 H H 为圆心 试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上 并求圆 H 的面积 最小时直线 AB 的方程 京翰教育 22 本小题满分 14 分 设数列满足 n a 11 1 2 1 2 3 nn n aaan a 1 证明对一切正整数 n 成立 21 n an 2 令 判断的大小 并说明理由 1 2 3 n n a bn n 1nn bb 与 参考答案 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 1 D 2 A 3 D 4 A 5 B 6 C 7 C 8 C 9 B 10 B 11 D 12 D 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 13 2 14 15 16 1 3 4 3 三 解答题 共 74 分 17 本小题 12 分 解 xxxxy 44 coscossin32sin 2222 sincos sincos 3sin23sin2cos22sin 2 6 xxxxxxxx 故该函数的最小正周期是 最小值是 2 单增区间是 3 1 0 6 5 18 本小题 12 分 解 I 的所有可能值为 0 1 2 3 4 用 AK表示 汽车通过第 k 个路口时不停 遇绿灯 则 P AK 独立 4321 4 3 2 1 4 3 AAAAk且 故 4 1 0 1 APP 京翰教育 256 81 4 3 4 256 27 4 1 4 3 3 64 9 4 1 4 3 2 16 3 4 1 4 3 1 4 4321 3 4321 2 321 21 AAAAPP AAAAPP AAAPP AAPP 从而有分布列 0 1 2 3 4 P 4 1 16 3 64 9 256 27 256 81 256 525 256 81 4 256 27 3 64 9 2 16 3 1 4 1 0 E II 256 175 256 81 1 4 1 3 PP 答 停车时最多已通过 3 个路口的概率为 256 175 19 本小题 12 分 I 证明 因 PA 底面 有 PA AB 又知 AB AD 故 AB 面 PAD 推得 BA AE 又 AM CD EF 且 AM EF 证得 AEFM 是矩形 故 AM MF 又因 AE PD AE CD 故 AE 面 PCD 而 MF AE 得 MF 面 PCD 故 MF PC 因此 MF 是 AB 与 PC 的公垂线 II 解 连结 BD 交 AC 于 O 连结 BE 过 O 作 BE 的垂线 OH 垂足 H 在 BE 上 易知 PD 面 MAE 故 DE BE 又 OH BE 故 OH DE 因此 OH 面 MAE 连结 AH 则 HAO 是所要求的线 AC 与面 NAE 所成的角 设 AB a 则 PA 3a aACAO 2 2 2 1 因 Rt ADE Rt PDA 故 22 22 1 2102 10 3 ADaaa EDOHEDRt AHO PD aa 从而在中 10 5 20 1 2 2 102 sin a a AO OH HAO 20 本小题 12 分 解 I 1 23 2 axaxxf 京翰教育 2 2 12 1212 1 12 2 032 1 0 4 1 40 3 0 0 0 fxxa xa aaax x xxfxxxxxfx xxfx xxxfx xxfx 令得方程 因故方程有两个不同实根 不妨设由可判断的符号如下 当时 当时 当时 因此是极大值点 是极小值点 1 x 2 x II 因故得不等式 0 21 xfxf 0 2 1 3 0 1 2121 2 2121 2 2121 21 2 2 2 1 3 2 3 1 xxaxxxxaxxxxxx xxaxxaxx 即 又由 I 知 3 1 3 2 21 21 a xx axx 代入前面不等式 两边除以 1 a 并化简得 2 2520 aa 12 1 2 2 2 0 aa af xf x 解不等式得或舍去 因此当时不等式成立 21 本小题 12 分 解法一 由题意 直线 AB 不能是水平线 故可设直线方程为 pxky2 又设 则其坐标满足 BBAA yxByxA 2 2 2 pxy pxky 消去 x 得 042 22 ppkyy 由此得 4 2 2 pyy pkyy BA BA 因此 2 2 2 2 4 2 24 4 p p yy xx pkyykpxx BA BA BABA OBOAyyxxOBOA BABA 即 0 故 O 必在圆 H 的圆周上 又由题意圆心 H 是 AB 的中点 故 HH yx 2 2 2 2 kp yy y pk xx x BA B BA H 由前已证 OH 应是圆 H 的半径 且 pkkyxOH HH 45 2422 从而当 k 0 时 圆 H 的半径最小 亦使圆 H 的面积最小 此时 直线 AB 的方程为 x 2p 解法二 由题意 直线 AB 不能是水平线 故可设直线方程为 ky x 2p 京翰教育 又设 则其坐标满足 BBAA yxByxA 2 2 2 pxy pxky 分别消去 x y 得 0 4 2 2 042 222 22 pxkpx ppkyy 故得 A B 所在圆的方程 0 2 2 2 222 pkyxkpyx 明显地 O 0 0 满足上面方程所表示的圆上 又知 A B 中点 H 的坐标为 2 2 2 2 kppk yyxx BABA 故 22222 2 pkpkOH 而前面圆的方程可表示为 22222222 2 2 pkpkpkypkx 故 OH 为上面圆的半径 R 从而以 AB 为直径的圆必过点 O 0 0 又 22422 45 pkkOHR 故当 k 0 时 R2最小 从而圆的面积最小 此时直线 AB 的方程为 x 2p 解法三 同解法一得 O 必在圆 H 的圆周上 又直径 AB 22 BABA yyxx 222222 22244 ABABABABABAB xxyyxxpxpxx xpx xp 上式当时 等号成立 直径 AB 最小 从而圆面积最小 BA xx 此时直线 AB 的方程为 x 2p 22 本小题 14 分 I 证法一 当不等式成立 1122 1 1 an时 1 1 2 1 1 1 2 1 322 1 1 12 1 22 22 1 时成立时 时当 成立时假设 kakn k a k a aa kn kakn k kk kk k 综上由数学归纳法可知 对一切正整数成立 12 nan 证法二 当 n 1 时 结论成立 11232 1 a 假设 n k 时结论成立 即 12 kak 当的单增性和归纳假设有 1 1 1 x x xxfkn由函数时 0 12 1 32 12 1 12 32 12 1 12 12 1 12 1 2 1 显然成立而这等价于 因此只需证 k k k k k k k k k a aa k kk 所以当 n k 1 时 结论成立 因此 对一切正整数 n 均成立 12 nan 京翰教育 证法三 由递推公式得 1 2 2 1 2 1 2 n nn a aa 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 a aa a aa n nn 上述各式相加并化简得 1 22 11 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 n aa naa n n 2 1 12 12 1 2 1222 nna nan nnn n n 故明显成立时又 II 解法一 1 12 1 1 1 1 1 1 2 11 n n nn n ana na b b n n n n n 1 2 1 4 1 2 1 12 1 2 1 12 1 2 1 2 nn bb n n n nn nn nn 故 解法二 n a a a nn a n a bb n n n nn nn 1 1 1 1 1 1 2 1 11 1 1 21 1 1 11 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 n nn nn n nn nnn annnn n nan na nnnnn nn n nnn an nnn a nn nnn a bb 由的结论 所以 解法三 n a n a bb nn nn 22 122 1 1 22 2 22 11111121111 2 2 2 0 111211 21 nn n nn aan a nannannnnnnn 故 nnnn bbbb 1 22 1 因此 20052005 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 理工农医类 数学试题卷 理工农医类 数学试题 理工农医类 分选择题和非选择题两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 I 京翰教育 注意事项 1 答题前 务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡规定的位置上 2 答选择题时 必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦擦干净后 再选涂其他答案标号 3 答非选择题时 必须使用 0 5 毫米黑色签字笔 将答案书写在答题卡规定的位置上 4 所有题目必须在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 5 考试结束后 将试题卷和答题卡一并交回 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B 如果事件 A B 相互独立 那么 P A B P A P B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概 率 knkk nn PPCkP 1 第一部分 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 1 圆关于原点 0 0 对称的圆的方程为 5 2 22 yx A B 5 2 22 yx5 2 22 yx C D 5 2 2 22 yx5 2 22 yx 2 2005 1 1 i i A B C D ii 2005 2 2005 2 3 若函数是定义在 R 上的偶函数 在上是减函数 且 则使得 xf 0 0 2 f 的 x 的取值范围是 0 xf A B C D 2 2 2 2 2 2 4 已知 A 3 1 B 6 1 C 4 3 D 为线段 BC 的中点 则向量与的夹ACDA 角为 A B C D 5 4 arccos 2 5 4 arccos 5 4 arccos 5 4 arccos 京翰教育 5 若 x y 是正数 则的最小值是 22 2 1 2 1 x y y x A 3B C 4D 2 7 2 9 6 已知 均为锐角 若的 qpqp是则 2 sin sin A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 7 对于不重合的两个平面与 给定下列条件 存在平面 使得 都垂直于 存在平面 使得 都平行于 内有不共线的三点到的距离相等 存在异面直线 l m 使得 l l m m 其中 可以判定与平行的条件有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 8 若 n展开式中含 项的系数与含项的系数之比为 5 则 n 等于 1 2 x x 2 1 x 4 1 x A 4B 6C 8D 10 9 若动点 在曲线上变化 则的最大值为 yx 0 1 4 2 22 b b yx yx2 2 A B 4 2 40 4 4 2 bb b b 2 2 20 4 4 2 bb b b C D 24 4 2 b b 10 如图 在体积为 1 的三棱锥 A BCD 侧棱 AB AC AD 上分别取点 E F G 使 AE EB AF FC AG GD 2 1 记 O 为 京翰教育 三平面 BCG CDE DBF 的交点 则三棱 锥 O BCD 的体积等于 A B 9 1 8 1 C D 7 1 4 1 第二部分 非选择题 共 100 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 把答案填写在答题卡相应位置上 11 集合R 则 xBxxRxA 06 2 2 2 xBA 12 曲线处的切线与 x 轴 直线所围成的三角形的面积为 0 33 aaaxy在点ax a则 6 1 13 已知 均为锐角 且 tan sin cos 则 14 nn nn n 23 123 32 32 lim 15 某轻轨列车有 4 节车厢 现有 6 位乘客准备乘坐 设每一位乘客进入每节车厢是等可 能的 则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0 1 2 3 的概率为 16 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 填写所有正确选项的序号 菱形 有 3 条边相等的四边形 梯形 平行四边形 有一组对角相等的四边形 三 解答题 本大题共 6 小题 共 76 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 13 分 若函数的最大值为 2 试确定常数 a 的值 2 cos 2 sin 2 sin 4 2cos1 xx a x x xf 18 本小题满分 13 分 在一次购物抽奖活动中 假设某 10 张券中有一等奖券 1 张 可获价值 50 元的奖品 有二等奖券 3 张 每张可获价值 10 元的奖品 其余 6 张没有奖 某顾客从此 10 张券中任 抽 2 张 求 该顾客中奖的概率 该顾客获得的奖品总价值 元 的概率分布列和期望 E 19 本小题满分 13 分 已知 讨论函数的极值点的个数 Ra 1 2 aaxxexf x 20 本小题满分 13 分 京翰教育 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 侧面 BB1C1C E 为棱 CC1上异于 C C1的一 点 EA EB1 已知 AB BB1 2 BC 1 BCC1 求 2 3 异面直线 AB 与 EB1的距离 二面角 A EB1 A1的平面角的正切值 21 本小题满分 12 分 已知椭圆 C1的方程为 双曲线 C2的左 右焦点分别为 C1的左 右顶点 1 4 2 2 y x 而 C2的左 右顶点分别是 C1的左 右焦点 求双曲线 C2的方程 若直线与椭圆 C1及双曲线 C2都恒有两个不同的交点 且 l 与 C22 kxyl 的两个交点 A 和 B 满足 其中 O 为原点 求 k 的取值范围 6 OBOA 22 本小题满分 12 分 数列 an 满足 1 2 1 1 1 1 2 11 na nn aa n nn 且 用数学归纳法证明 2 2 nan 已知不等式 其中无理数 1 0 1ln 2 neaxxx n 证明成立对 e 2 71828 京翰教育 20052005 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 理工农医类 数学试题卷 理工农医类 一 选择题 每小题 5 分 满分 50 分 1 A 2 A 3 D 4 C 5 C 6 B 7 B 8 B 9 A 10 C 二 填空题 每小题 4 分 满分 24 分 11 12 13 1 14 3 15 16 30 xx1 128 45 三 解答题 满分 76 分 17 本小题 13 分 15 4 44 1 1 1 sin sin 44 1 sin 2 cos 2 1 2 cos 2 sin cos4 cos2 2 2 2 2 a a a x a x a x xx a x x xf 解之得 由已知有 满足其中角 解 18 本小题 13 分 解法一 即该顾客中奖的概率为 3 2 45 15 1 2 10 2 6 C C IP 3 2 的所有可能值为 0 10 20 50 60 元 15 1 60 15 2 50 15 1 20 5 2 10 3 1 0 2 10 1 3 1 1 2 10 1 6 1 1 2 10 2 3 2 10 1 6 1 3 2 10 2 6 C CC P C CC P C C P C CC P C C P 且 故有分布列 从而期望 16 15 1 60 15 2 50 15 1 20 5 2 10 3 1 0 E 010205060 P 3 1 5 2 15 1 15 2 15 1 京翰教育 解法二 3 2 45 30 2 10 2 4 1 6 1 4 C CCC P 的分布列求法同解法一 由于 10 张券总价值为 80 元 即每张的平均奖品价值为 8 元 从而抽 2 张的平均奖品 价值 2 8 16 元 E 19 本小题 13 分 0 12 2 0 12 2 2 1 2 2 2 axaxxf axaxe axeaaxxexf x xx 得令 解 1 当 0 4 4 12 4 2 22 aaaaaa 0 12 2 40 21 2121 2 从而有下表于是 不妨设有两个不同的实根 方程时或即 xxxxexf xxxx axaxaa x x 1 x x1 21 xx 2 x 2 x x f 0 0 xf为极大值 1 xf 为极小 2 xf 值 即此时有两个极值点 xf 2 当有两个相同的实根0 12 2 400 2 axaxaa方程时或即 21 xx 于是 2 1 xxexf x 无极值 0 0 21 xfxfxxxfxx因此时当时故当 3 0 12 2 40 0 2 axaxa时即当 为增函数 此时无极值 因此 0 12 2 2 xfaxaxexf x 故 xf 当无极值点 40 2 04xfaxfaa时当个极值点有时或 答 20 图 1 京翰教育 20 本小题 13 分 解法一 因 AB 面 BB1C1C 故 AB BE 又 EB1 EA 且 EA 在面 BCC1B1内的射影为 EB 由三垂线定理的逆定理知 EB1 BE 因此 BE 是异面直线 AB 与 EB1的公垂线 在平行四边形 BCC1B1中 设 EB x 则 EB1 2 4x 作 BD CC1 交 CC1于 D 则 BD BC 2 3 3 sin 在 BEB1中 由面积关系得 0 3 1 2 3 2 2 1 4 2 1 222 xxxx即 负根舍去 3 1 xx解之得 3 3 cos21 3 22 CECEBCEx中在时当 解之得 CE 2 故此时 E 与 C1重合 由题意舍去 3 x 因此 x 1 即异面直线 AB 与 EB1的距离为 1 过 E 作 EG B1A1 则 GE 面 BCC1B 故 GE EB1且 GE 在圆 A1B1E 内 又已知 AE EB1 故 AEG 是二面角 A EB1 A1的平面角 因 EG B1A1 BA AEG BAE 故 2 2 2 1 tan AB BE AEG 解法二 平面又由得由 ABEBAEEBAE 0 11 而 BB1C1C 得 AB EB1从而 0 1 EBAB 0 11 11 11 的公垂线与是异面直线故线段即 故 EBABBEEBEB EBABEBEA EBABEAEBEB 设 O 是 BB1的中点 连接 EO 及 OC1 则在 Rt BEB1中 EO BB1 OB1 1 2 1 因为在 OB1C1中 B1C1 1 OB1C1 故 OB1C1是正三角形 3 所以 OC1 OB1 1 又因 OC1E B1C1C B1C1O 故 OC1E 是正三角形 333 2 京翰教育 所以 C1E 1 故 CE 1 易见 BCE 是正三角形 从面 BE 1 即异面直线 AB 与 EB1的距离是 1 由 I 可得 AEB 是二面角 A EB1 B 的平面角 在 Rt ABE 中 由 AB 2 BE 1 得 tanAEB 2 又由已知得平面 A1B1E 平面 BB1C1C 故二面角 A EB1 A1的平面角 故AEB 2 2 2 cot 2 tan tan AEBAEB 解法三 I 以 B 为原点 分别为 y z 轴建立空间直角坐标系 1 BBBA 由于 BC 1 BB1 2 AB BCC1 2 3 在三棱柱 ABC A1B1C1中有 B 0 0 0 A 0 0 B1 0 2 0 2 0 2 3 2 3 0 2 1 2 3 1 CC 设即得由 0 0 2 3 11 EBEAEBEAaE 0 2 2 3 2 2 3 0aa 4 3 2 2 4 3 2 aaaa 0 4 3 4 3 0 2 3 2 3 0 2 1 2 3 0 2 1 2 3 2 3 2 1 0 2 3 2 1 11 EBBEEBBE Eaaaa 即 故舍去或即得 又 AB 面 BCC1B1 故 AB BE 因此 BE 是异面直线 AB EB1的公垂线 则 故异面直线 AB EB1的距离为 1 1 4 1 4 3 BE II 由已知有故二面角 A EB1 A1的平面角的大小为向 1111 EBABEBEA 京翰教育 量 的夹角 EAAB与 11 2 2 tan 3 2 cos 2 2 1 2 3 2 0 0 11 11 11 即 故 因 ABEA ABEA EABAAB 21 本小题 12 分 解 设双曲线 C2的方程为 则 1 2 2 2 2 b y a x 1 314 22222 bcbaa得再由 故 C2的方程为 1 3 2 2 y x II 将 0 428 41 1 4 2 222 2 kxxky x kxy得代入 由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得 0 14 16 41 16 28 2222 1 kkk 即 4 1 2 k 0926 31 1 3 2 222 2 kxxky x kxy得代入将 由直线 l 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A B 得 1 3 1 0 1 36 31 36 26 031 22 222 2 2 kk kkk k 且即 2 2 66 31 9 31 26 22 BABABABA BABA BABABBAA kxkxxxyyxx yyxxOBOA k xx k k xxyxByxA 而得由 则设 京翰教育 13 73 2 31 26 2 31 9 1 2 2 1 2 2 22 2 2 k k k k k k k xxkxxk BABA 解此不等式得 0 13 1315 6 13 73 2 2 2 2 k k k k 即于是 3 1 15 13 22 kk或 由 得 1 15 13 3 1 4 1 22 kk或 故 k 的取值范围为 1 15 13 3 3 2 1 2 1 3 3 15 13 1 22 本小题 12 分 证明 1 当 n 2 时 不等式成立 22 2 a 2 假设当时不等式成立 即 2 kkn 2 2 kak 那么 这就是说 当时不等式成立 2 2 1 1 1 1 1 k kk a kk a1 kn 根据 1 2 可知 成立 22 nak对所有 证法一 由递推公式及 的结论有 1 2 11 1 2 1 1 1 22 1 na nn a nn a n nn nn 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a nn aln 2 11 1ln ln 2 1 故 2 11 ln 2n n nn a n nn nn aa 2 1 1 1 lnln 1 1 n 上式从 1 到求和可得1 n 12 1 2 1 2 1 2 1 1 1 32 1 21 1 lnln n n nn aa 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 11 1 1 3 1 2 1 2 1 1 n n nnn 京翰教育 即 1 2ln 2 neaa nn 故 证法二 由数学归纳法易证成立 故2 1 2 nnn n 对 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 n nn a nn a nn a n n nn 令 2 1 1 1 2 1 1 nb nn bnab nnnn 则 取对数并利用已知不等式得 nn b nn bln 1 1 1ln ln 1 2 1 1 ln n nn bn 上式从 2 到 n 求和得 1 1 32 1 21 1 lnln 21 nn bbn 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 nn 因 2 3 3ln1ln 3 1 3ln1 1122 neebbab nn 故 故成立 1 2 13 22 2 2 1 2 1 neaeaeaneea nn 对一切故又显然 20062006 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 理工农医类 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是 符合题目要求的 1 已知集合 则 5 4 3 7 5 4 2 7 6 5 4 3 2 1 BAU UU AB A B C D 6 1 5 4 7 5 4 3 27 6 3 2 1 2 在等差数列中 若 是数列的的前 n 项和 则的值为 n a 46 12aa n S n a 9 S A 48 B 54 C 60 D 66 京翰教育 3 过坐标原点且与圆相切的直线方程为 22 5 420 2 xyxy A B xyxy 3 1 3 或xyxy 3 1 3 或 C D xyxy 3 1 3 或xyxy 3 1 3 或 4 对于任意的直线 与平面 在平面内必有直线 使与 l mml A 平行 B 相交 C 垂直 D 互为异面直线 5 若的展开式中各项系数之和为 64 则展开式的常数项为 n x x 1 3 A 540 B 162 C 162 D 540 6 为了了解某地区高三学生的身体发育情况 抽查了该地区 100 名年龄为 17 5 岁 18 岁的男生体重 kg 得到频率分布直方图如下 根据上图可得这 100 名学生中体重在的学生人数是 5 64 5 56 A 20 B 30 C 40 D 50 7 与向量的夹角相等 且模为 1 的向量是 7 117 2 222 ab A B C D 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 或 3 1 3 22 3 1 3 22 3 1 3 22 或 8 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习 每班至少 1 名 最多 2 名 则不同的 分配方案有 A 30 种 B 90 种 C 180 种 D 270 种 9 如图所示 单位圆中的长为 与弦 AB 所围成的弓 A ABx f x 表示弧 A AB 京翰教育 形面积的 2 倍 则函数的图像是 yf x 10 若且则的最小值为 0a b c 42 3 a abcbc 2abc A B C D 31 31 2 32 2 32 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 把答案填写在答题卡相应位置上 11 复数的值是 3 12 3 i i 12 2 1 3 21 lim 21 n n nn 13 已知 则 33 sin 45 12 sin 413 cos 4 14 在数列中 若 则该数列的通项 n a 11 1 23 1 nn aaan n a 15 设 函数有最大值 则不等式0 1aa 2 lg 23 xx f xa 的解集为 2 log570 a xx 16 已知变量满足约束条件若目标函数 其 x y14 22 xyxy zaxy 中 仅在点处取得最大值 则的取值范围为 0a 3 1a 三 解答题 三大题共 6 小题 共 76 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 13 分 设函数 其中 且的图 2 3cossinf xxxcos x 0 R f x 象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为 y 6 I 求的值 II 如果在区间上的最小值为 求的值 f x 5 36 3 18 本小题满分 13 分 某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第 18 19 20 层可以停靠 若该电梯在底层 载有 5 位乘客 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 用表示这 5 位乘客 1 3 在第 20 层下电梯的人数 求 I 随机变量的分布列 京翰教育 II 随机变量的期望 19 本小题满分 13 分 如图 在四棱锥中 底面 ABCD 为PABCD PA DAB 直角 E F 分别为 中点 ABCD2 ADCDAB PCCD I 试证 平面 CD BEF II 高 且二面角 的平面角大小 PAk AB EBDC 30 求的取值范围 k 20 本小题满分 13 分 已知函数 其中为常数 22 f xxbxc e b cR I 若 讨论函数的单调性 2 41bc f x II 若 且 试证 2 4 1 bc lim4 x f xc x 62b 21 本小题满分 12 分 已知定义域为 R 的函数满足 f x 22 ff xxxf xxx I 若 求 又若 求 2 3f 1 f 0 fa f a II 设有且仅有一个实数 使得 求函数的解析表达式 0 x 00 f xx f x 22 本小题满分 12 分 已知一列椭圆 2 2 2 1 01 nn n y cxb b 1 2n 若椭圆上有一点 使到右准线的距离是与 n C n P n P n l n d nn p F 的等差中项 其中 分别是的左 右焦点 nn PG n F n G n C I 试证 3 2 n b 1n II 取 并用表示的面积 试 23 2 n n b n n S nnn P F G 证 且 12 SS 1nn SS 3n 京翰教育 20062006 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 年普通高等学校招生全国统一考试 重庆卷 数学试题卷 理工农医类 答案 一 选择题 每小题 5 分 满分 50 分 题号12345678910 答案DBACACBBDD 1 已知集合 1 3 6 5 4 3 7 5 4 2 7 6 5 4 3 2 1 BAU UA 1 2 6 7 则 1 2 3 6 7 选 D UB UU AB 2 在等差数列中 若 则 是数列的的前 n 项和 则 n a 46 12aa 5 6a n S n a 54 选 B 9 S 19 5 9 9 2 aa a 3 过坐标原点的直线为 与圆相切 则圆心 2 1 ykx 22 5 420 2 xyxy 到直线方程的距离等于半径 则 解得 切线方 10 2 2 21 10 2 1 k k 1 3 3 kk 程为 选 A xyxy 3 1 3 或 4 对于任意的直线 与平面 若 在平面 内 则存在直线 m 若 不在平面l lll 内 且 则平面 内任意一条直线都垂直于 若 不在平面 内 且 于 不垂直 llll 则它的射影在平面 内为一条直线 在平面内必有直线垂直于它的射影 则与 垂 mml 直 综上所述 选 C 5 若的展开式中各项系数之和为 64 则展开式的常数 n x x 1 32n6n 项为 540 选 A 333 6 1 3 Cx x 6 为了了解某地区高三学生的身体 发育情况 抽查了该地区 100 名年龄为 17 5 岁 18 岁的男生体重 kg 得到 频率分布直方图如下 根据该图可知 组距 2 得这 100 名学生中体重在 的学生人数所占的频率为 5 64 5 56 0 03 0 05 0 05 0 07 2 0 4 所以该 段学生的人数是 40 选 C 7 与向量的夹角相等 且模为 1 的向量为 x y 则 7 117 2 222 ab 京翰教育 解得或 选 B 22 1 7117 2222 xy xyxy 4 5 3 5 x y 4 5 3 5 x y 8 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习 每班至少 1 名 最多 2 名 则 将 5 名教师分成三组 一组 1 人 另两组都是 2 人 有种方法 再将 3 组分 12 54 2 2 15 CC A 到 3 个班 共有种不同的分配方案 选 B 3 3 1590A 9 如图所示 单位圆中的长为 与弦 AB 所围成的弓形面积的 A ABx f x 表示弧 A AB 2 倍 当的长小于半圆时 函数的值增加的越来越快 当的长大于半圆 A AB yf x A AB 时 函数的值增加的越来越慢 所以函数的图像是 D yf x yf x 10 若且 所以 0a b c 42 3 a abcbc 2 42 3aabacbc 22222 11 42 3 44422 4442 44 aabacbcaabacbcbcaabacbcbc 则 选 D 22 2 32 2 abc 2abc 2 32 二 填空题 每小题 4 分 满分 24 分 11 12 13 14 17 1010 i 1 2 56 65 1 23 n 15 16 2 31a 11 复数 3 12 3 i i 12 12 3 1 7 31010 iiii i 12 2 1 3 21 lim 21 n n nn 2 2 1 lim 212 n n nn 13 已知 33 sin 45 12 sin 413 3 2 2 3 424 4 cos 5 5 cos 413 则 cos 4 cos 4 cos cos sin sin 44 京翰教育 4531256 51351365 14 在数列中 若 即 n a 11 1 23 1 nn aaan 1 32 3 1 nn aan 是以为首项 2 为公比的等比数列 所以该数列3 n a 1 34a 11 34 22 nn n a 的通项 n a 1 23 n 15 设 函数有最大值 有最小0 1aa 2 lg 23 xx f xa 2 lg 23 lg2xx 值 0 a 1 则不等式的解为 2 log570 a xx 解得 2 xf 7 B f 6 f 9 C f 7 f 9 D f 7 f 10 答案答案 D 分析分析 y f x 8 为偶函数 即关于直线对称 8 8 f xfx yf x 8x 又 f x 在上为减函数 故在上为增函数 检验知选 D 8 8 10 如图 在四边形 ABCD 中 4 0 ABBDDCAB BDBD DC 则的值为 4 DCBDBDAB ACDCAB A 2 B C 4 D 2224 答案答案 C 分析分析 2 ABDCACABDCABBDDCABDC 4 2 4 ABBDDC ABDC BDABDC 4 ABDCAC 二 填空题 本大题共 6 小题 共 24 分 把答案填写在答题卡相应位置上 11 复数的虚部为 3 2 2 i i 答案答案 4 5 分析分析 3 222 2 2424 225555 iiiii i ii 京翰教育 12 已知 x y 满足 1 42 1 x yx yx 则函数 z x 3y 的最大值是 答案答案 7 7 分析分析 画出可行域 当直线过点 1 2 时 max 1 67 z 13 若函数 f x 的定义域为 R 则的取值范围为 2 2 21 xax a a 答案答案 10 分析分析 恒成立 恒成立 2 20 212 xax a 2 20 xaxa 2 2 40 1 010 aaa aa 14 设 为公比 q 1 的等比数列 若和是方程的两根 n a 2004 a 2005 a 2 4830 xx 则 20072006 aa 答案答案 1818 分析分析 和是方程的两根 故有 2004 a 2005 a 2 4830 xx 或 舍 2004 2005 1 2 3 2 a a 2004 2005 3 2 1 2 a a 3 q 22 200620072005 3 33 18 2 aaaqq 15 某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门 其中甲 乙两门课程不能都选 则不同的选课方案有 种 以数字作答 答案答案 2525 分析分析 所有的选法数为 两门都选的方法为 4 7 C 22 25 C C 故共有选法数为 422 725 35 1025 CC C 16 过双曲线的右焦点 F 作倾斜角为的直线 交双曲线于 P Q 两点 4 22 yx 0 105 则 FP FQ 的值为 京翰教育 答案答案 8 3 3 分析分析 2 2 0 F 0 tan105 23 k 23 2 2 lyx 代入得 4 22 yx 2 64 3 4 2 74 3 6032 30 xx 设 11221212 4 2 74 3 6032 3 64 364 3 P x yQ xyxxxx 又 22 12 1 2 2 1 2 2 FPkxFQkx 2 1212 1 2 2 8 6032 316 74 3 84 3 8 64 364 3 84 3 4 8 3 364 3 FPFQkx xxx 三 解答题 本大题共 小题 共 76 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 13 分 设 f x xx2sin3cos6 2 1 求 f x 的最大值及最小正周期 9 分 2 若锐角满足 求 tan的值 4 分 323 f 5 4 解 1 cos2 63sin2 2 x f xx 3cos23sin23xx 31 2 3cos2sin23 22 xx 2 3cos 23 6 x 故的最大值为 最小正周期 f x2 33 2 2 T 由得 故 32 3f 2 3cos 2332 3 6 cos 21 6 又由得 故 解得 0 2 2 666 2 6 5 12 从而 4 tantan3 53 18 本小题满分 13 分 某单位有三辆汽车参加某种事故保险 单位年初向保险公司 缴纳每辆 900 元的保险金 对在一年内发生此种事故的每辆汽车 单位获 9000 元 京翰教育 的赔偿 假设每辆车最多只赔偿一次 设这三辆车在一年内发生此种事故的概率 分别为且各车是否发生事故相互独立 求一年内该单位在此保险中 111 9 10 11 1 获赔的概率 4 分 2 获赔金额的分别列与期望 9 分 解 设表示第辆车在一年内发生此种事故 由题意知 独立 k Ak12 3k 1 A 2 A 3 A 且 1 1 9 P A 2 1 10 P A 3 1 11 P A 该单位一年内获赔的概率为 123123 89103 1 1 1 9101111 P A A AP A P A P A 的所有可能值为 090001800027000 123123 89108 0 9101111 PP A A AP A P A P A 123123123 9000 PP A A AP A A AP A A A 123123123 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 19108110891 910119101191011 24211 99045 123123123 18000 PP A A AP A A AP A A A 123123123 P A P A P AP A P A P AP A P A P A 1110191811 910119101191011 273 990110 123123