圆轴扭转时的变形和刚度条件

内蒙古农业大学职业技术学院 内蒙古农业大学职业技术学院 材料力学讲义材料力学讲义 第 10 讲 教学方案 圆轴扭转时的变形和刚度条件 非圆截面杆的扭转 基 基 本 本 内 内 容 容 圆轴扭转时的变形和刚度条件 矩形截面杆扭转时的应力与变形 教 教 学 学 目 目 的 的 1 掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算 2 掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算 3 了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算 4 了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算 重 重 点 点 难 难 点 点 本节重点 圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算 刚度条件的建 立及相关计算 本节难点 对圆轴变形程度的理解 1 第 十 讲 第 十 讲 4 4 6 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件 扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角 对于圆轴 由式 4 10 p GI Tdx d 所以 p l 0 p l GI Tl dx GI T d rad 4 17 式中称为圆轴的抗扭刚度 它为剪切模量剪切模量 p GI与极惯性矩极惯性矩乘积 越大 则扭转角 p GI 越小 让 dx d 为单位长度相对扭角 则有 p GI T rad m 扭转的刚度条件 P max GI T rad m 4 18 或 180 GI T P max m 4 19 例例 4 3 如图 4 13 的传动轴 500 nr min 500 1 N马力 200 2 N马力 马力 已知 300 3 N 70 MPa 1 m GPa 求 确定 AB 和 BC 段直径 80 G 解解 1 计算外力偶矩 70247024 1 n N mA N m 6 28097024 2 n N mB N m 4 42147024 3 n N mC N m 作扭矩T图 如图 4 13b 所示 2 计算直径 d AB 段 由强度条件 2 内蒙古农业大学职业技术学院 内蒙古农业大学职业技术学院 材料力学讲义材料力学讲义 3 1 max 16 d T W T t 80 1070 70241616 3 6 3 1 T d mm 由刚度条件 o 180 32 d G T 4 1 6 84 11080 180702432 G 180T32 d 4 29 4 2 1 mm 取 mm 6 84 1 d BC 段 同理 由扭转强度条件得 mm 67 2 d 由扭转刚度条件得 mm 5 74 2 d 取mm 5 74 2 d 例例 4 4 如 图4 14所 示 等 直 圆 杆 已 知 KN m 试绘扭矩图 10m0 解解 设两端约束扭转力偶为 A m B m 1 由静力平衡方程0 x m得 0 00 BA mmmm a BA mm 此题属于一次超静定 2 由变形协调方程 可解除 B 端约束 用变形叠 加法有 3 第 十 讲 第 十 讲 0 321 BBBB b 3 物理方程 p 0 B GI am 1 p 0 B GI a2m 2 p B B GI a3m 3 c 由式 c b 得 0 GI a3m GI a2m GI am p B p 0 p 0 即 0m3m2m B00 并考虑到 a 结果 3 m mm 0 BA 假设的力偶转向正确 绘制扭矩图如图 4 14c 所示 4 4 7 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算 螺旋弹簧如图 4 15a 所示 当螺旋角时 可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面 内 1 弹簧丝横截面上的应力 o 5 如图 4 15b 以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象 根据平衡方程 横截面 上剪力剪力由引起的剪应力剪应力Q 2 1 4 d P A Q 而且认为 1 均匀分布于横截面上 图 4 15c 若将 簧丝的受力视为直杆的纯扭转 由T引起的最大剪应力 图 4 15d 33 2 816 d PD d T W T t 扭矩扭矩PQ PDT 一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧 2 1 4 内蒙古农业大学职业技术学院 内蒙古农业大学职业技术学院 材料力学讲义材料力学讲义 所以在簧丝横截面内侧 A 点有 33 21max 8 2 1 8 d PD k D d d PD 4 20 其中 D2 d 1k 4 21 当 10 1 D d 略去剪应力 1 所引起的误差 0 0 5 还应考虑曲率影 响 此处从略 略 4 7 非圆截面杆的扭转问题非圆截面杆的扭转问题 工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外 还有其他形状的截面 下面简要介绍矩形截面 如图 4 17a 杆件受扭转力偶扭转力偶作用发生变形变形 变形后其横截面将不再保持平面 而发生 翘曲 图 4 17b 扭转时 若各横截面翘曲是自由的 不受约束 此时相邻 横截面的翘曲处处相同 杆件轴向纤维的长度无变化 因 而横截面上 只有剪应力剪应力没有正应力正应力 这种扭转称为自由 扭转 此时横截面上剪应力规律如下 图 14 7c 1 边缘各点的剪应力 与周边相切 沿周边方向形 成剪流 2 max 发生在矩形长边中点处 大小为 k max W T 4 26 2 k hbW 次大剪应力发生在短边中点 大小为 max1 v 7 第 十 讲 第 十 讲 四个角点处剪应力0 3 杆件两端相对扭转角 k GI Tl 4 27 2 k hbI 其中系数v 与 b h 有关 可查表 见有关参考书 注意到 对非圆截面扭转 平面假设不再成立 上面计算公式是将弹性力学 的分析结果写成圆轴公式形式 当10 b h 时 截面成为狭长矩形 此时 3 1 若以 表示狭长 矩形的短边长度 则式 4 26 化为 k k max GI Tl W T 4 28 其中 2 k h 3 1 W 3 k h 3 1 I 此时长边上应力趋于均匀 如图 4 17d 所示 在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束 如支承处 加载面处等 此扭 转为约束扭转 其特点是轴向纤维的长度发生改变 导致横截面上除扭转剪应力外还出现正应力 对非圆截面杆件约束扭转提示 1 对薄壁截面 如型钢 将引起较大的正应力 有关内容可参 开口薄壁杆件约束扭转 专题 2 对实心截面杆件 如矩形 椭圆形 正应力一般 很小可以略去 仍按自由扭转处理 例例 4 6 某柴油机曲轴的曲柄截面 可以认为是 矩形的 如图 4 18 在实用计算中 其扭转剪应力近似地按 矩形截面杆受扭计算 若mm22 b 已知 曲柄所受扭矩 mm102 h 为 试求这一矩形截面上的最大剪应力 mN281 T