2011年全国高考文科数学试题及答案-全国

科目 数学 试卷名称 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 II 文科 知识点检索号 新课标 题目及解析 1 1 设集合 则 1 2 3 4U 1 2 3 M 2 3 4 N U 平MN平 A B C D 12 2 3 2 4 1 4 思路点拨 解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法 易求 2 3 MN 进而求出其补集为 1 4 精讲精析 选 D 2 3 1 4 U MNMN 4 2 函数的反函数为2 0 yx x A B 2 4 x yxR 2 0 4 x yx C D 2 4yx xR 2 4 0 yxx 思路点拨 先反解用 y 表示 x 注意要求出 y 的取值范围 它是反函数的定义域 精讲精析 选 B 在函数中 且反解 x 得 所以2 0 yx x 0y 2 4 y x 的反函数为 2 0 yx x 2 0 4 x yx 20 3 设向量满足 则 a b 1ab 2ab A B C D 2357 思路点拨 本题要把充要条件的概念搞清 注意寻找的是通过选项能推出 a b 而由 a b 推不出选项的选项 精讲精析 选 A 即寻找命题 P 使 P推不出 P 逐项验证可选 A ab ab 29 4 若变量 x y 满足约束条件 则的最小值为 6 3 2 1 xy xy x 23zxy A 17 B 14 C 5 D 3 思路点拨 解决本题的关键是作出如右图所示的可行域 然后要把握住线性目标 函数的 z 的取值也其在 y 轴的截距是正相关关系 进而确定过直线 x 1 23zxy 与 x 3y 2 的交点时取得最小值 精讲精析 作出不等式组表示的可行域 从图中不难观察当直线过直 23zxy 线 x 1 与 x 3y 2 的交点 1 1 时取得最小值 所以最小值为 5 24 5 下面四个条件中 使成立的充分而不必要的条件是ab A B C D 1ab 1ab 22 ab 33 ab 思路点拨 本题要把充要条件的概念搞清 注意寻找的是通过选项能推出 a b 而由 a b 推不出选项的选项 精讲精析 选 A 即寻找命题 P 使 P推不出 P 逐项验证可选 A ab ab 11 6 设为等差数列的前项和 若 公差 n S n an 1 1a 2d 2 24 kk SS 则 k A 8 B 7 C 6 D 5 思路点拨 思路一 直接利用前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可 思路二 利用直接利用通项公式即可求解 运算稍简 221kkkk SSaa 精讲精析 选 D 2211 2 21 2 21 2245 kkkk SSaaakdkk 19 7 设函数 将的图像向右平移个单位长度后 cos 0 f xx yf x 3 所得的图像与原图像重合 则的最小值等于 A B C D 1 3 369 思路点拨 此题理解好三角函数周期的概念至关重要 将的图像向右平 yf x 移个单位长度后 所得的图像与原图像重合 说明了是此函数周期的整数倍 3 3 精讲精析 选 C 由题 解得 令 即得 2 3 k kZ 6k 1k min 6 40 8 已知直二面角 点 A C 为垂足 点 B Dl ACl BDl 为垂足 若 AB 2 AC BD 1 则 CD A 2 B C D 132 思路点拨 解决本题关键是找出此二面角的平面角 然后把要求的线段放在三角 形中求解即可 精讲精析 选 C 在平面内过 C 作 连接 BM 则四边形 CMBD 是平行 CM BD 四边形 因为 所以 又 就是二面角BDl CMl ACl ACM 的平面角 l 90ACM 所以代入后不难求出 222222 ABAMMBACBDCD 2CD 45 9 4 位同学每人从甲 乙 丙 3 门课程中选修 1 门 则恰有 2 人选修课程甲的不同 选法共有 A 12 种 B 24 种 C 30 种 D 36 种 思路点拨 解本题分两步进行 第一步先选出 2 人选修课程甲 第二步再把剩余 两人分别选乙 丙 精讲精析 选 A 第一步选出 2 人选修课程甲有种方法 第二步安排剩余两 2 4 6C 人从乙 丙中各选 1 门课程有种选法 根据分步计数原理 有种 2 2 2A 6 212 选法 6 10 设是周期为 2 的奇函数 当 0 x 1 时 则 f x f x2 1 xx 5 2 f A B C D 1 2 1 4 1 4 1 2 思路点拨 解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间 0 1 5 2 上进行求值 精讲精析 选 A 先利用周期性 再利用奇偶性得 5111 2222 fff 42 11 设两圆 都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两圆心的距离 1 C 2 C 12 C C A 4 B C 8 D 4 28 2 思路点拨 本题根据条件确定出圆心在直线 y x 上并且在第一象限是解决这个问 题的关键 精讲精析 选 D 由题意知圆心在直线 y x 上并且在第一象限 设圆心坐标为 a a a 0 则 求出 a 1 a 9 所以 C1 1 1 C2 9 9 所以由两点间的 22 4 1 aaa 距离公式可求出 12 8 2C C 42 12 已知平面 截一球面得圆 M 过圆心 M 且与 成二面角的平面 截该 0 60 球面得圆 N 若该球面的半径为 4 圆 M 的面积为 4 则圆 N 的面积为 A 7 B 9 C 11 D 13 思路点拨 做出如图所示的图示 问题即可解决 精讲精析 选 D 作示意图如 由圆 M 的面积为 4 易得 22 2 2 3MAOMOAMA 中 Rt OMN 30OMN 故 cos303 MNOM 设圆 M 和圆 N 相交于 CD 圆 N 的半径 22 9413rMNMC 圆 N 的面积为 2 13Sr 故选择 D 45 13 1 20的二项展开式中 x 的系数与 x9的系数之差为 x 思路点拨 解本题一个掌握展开式的通项公式 另一个要注意 rn r nn CC 精讲精析 0 由得的系数为 x9的系数为 而 20 120 r r TCx x 2 20 C 18 20 C 182 2020 CC 17 14 已知 a tan 2 则 cos 3 2 思路点拨 本题考查到同角三角函数的基本关系式 再由正切值求余弦值时 要 注意角的范围 进而确定值的符号 精讲精析 由 a tan 2 得 5 5 3 2 15 cos 55 39 15 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 为 C1D1的中点 则异面直线 AE 与 BC 所 成角的余弦值为 思路点拨 找出异面直线 AE 与 BC 所成的角是解本题的关键 只要在平面 A1B1C1D1内过 E 作及 B1C1的平行线即可 精讲精析 取 A1B1的中点 M 连接 EM AM AE 则就是异面直线 2 3 AEM AE 与 BC 所成的角 在中 AEM 22 2352 cos 2 2 33 AEM 33 15 已知 F1 F2分别为双曲线 C 1 的左 右焦点 点 A C 点 M 的坐标 2 9 x 2 27 y 为 2 0 AM 为 F1AF2的平分线 则 AF2 思路点拨 本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解 精讲精析 6 由角平分线定理得 故 22 12 11 1 26 2 AFMF AFAFa AFMF 2 6AF 12 17 本小题满分 l0 分 注意 在试题卷上作答无效 设等比数列的前 n 项和为 已知求和 n a n S 2 6 a 13 630 aa n a n S 思路点拨 解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于 a1和公比 q 的方程 求 出 a1和 q 然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可 精讲精析 设的公比为 q 由题设得 n a 1 11 6 630 a q aa q 解得或 1 3 2 a q 1 2 3 a q 当时 1 3 2aq 1 3 2 3 21 nn nn aS 当时 1 2 3aq 1 2 3 31 nn nn aS 21 18 本小题满分 l2 分 注意 在试题卷上作答无效 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 己知 sincsin2 sinsinaACaCbB 求 B 若 0 75 2 Ab ac求 思路点拨 第 I 问由正弦定理把正弦转化为边 然后再利用余弦定理即可解决 II 在 I 问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解 精讲精析 I 由正弦定理得 222 2acacb 由余弦定理得 222 2cosbacacB 故 因此 2 cos 2 B 45B II sinsin 3045 A sin30 cos45cos30 sin45 26 4 故 sin26 13 sin2 A ab B sinsin60 26 sinsin45 C cb B 46 19 本小题满分 l2 分 注意 在试题卷上作答无效 根据以往统计资料 某地车主购买甲种保险的概率为 0 5 购买乙种保险但不购 买甲种保险的概率为 0 3 设各车主购买保险相互独立 I 求该地 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种的概率 求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲 乙两种保险都不购买的概率 思路点拨 此题第 I 问所求概率可以看作 该地的 1 位车主购买乙种保险但不 购买甲种保险 和 该地的 1 位车主购买甲种保险 两个事件的和 由于这两个事 件互斥 故利用互斥事件概率计算公式求解 II 第 II 问 关键是求出 该地的 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 的概率 然后再借助 n 次独立重复试验发生 k 次的概率计算公式求解即可 精讲精析 记 A 表示事件 该地的 1 位车主购买甲种保险 B 表示事件 该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险 C 表示事件 该地的 1 位车主至少购买甲 乙两种保险中的 1 种 D 表示事件 该地的 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 E 表示事件 该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲 乙两种保险都不购买 I P A 0 5 P B 0 3 C A B P C P A B P A P B 0 8 II D P D 1 P C 1 0 8 0 2 C P E 22 3 0 2 0 80 384C 39 20 本小题满分 l2 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥中 侧面SABCD ABCDBCCD 为等边三角形 SAB2 1ABBCCDSD I 证明 SDSAB 平平 II 求 AB 与平面 SBC 所成角的大小 思路点拨 第 I 问的证明的突破口是利用等边三角形 SAB 这个条件 找出 AB 的中点 E 连结 SE DE 就做出 了解决这个问题的关键辅助线 II 本题直接找线面角不易找出 要找到与 AB 平行的其它线进行转移求解 精讲精析 证明 I 取 AB 中点 E 连结 DE 则四边形 BCDE 为矩形 DE CB 2 连结 SE 则 3SEAB SE 又 SD 1 故 222 EDSESD 所以为直角 DSE 由 得 ABDE ABSE DESEE D C A S BE F G H D C A S B 所以 ABSDE 平平ABSD SD 与两条相交直线 AB SE 都垂直 所以SDSAB 平平 II 由知 ABSDE 平平ABCDSDE 平平平平 作 垂足为 F 则 SFDE SFABCD 平平 3 2 SDSE SF DE 作 垂足为 G 则 FG DC 1 FGBC 连结 SG 则SGBC 又 故 FGBC SGFGG BCSFGSBCSFG 平平平平平平 作 H 为垂足 则 FHSG FHSBC 平平 3 7 SFFG FH SG 即 F 到平面 SBC 的距离为 21 7 由于 ED BC 所以 ED 平面 SBC E 到平面 SBC 的距离 d 也为 21 7 设 AB 与平面 SBC 所成的角为 则 21 sin 7 d EB 21 arcsin 7 解法二 以 C 为坐标原点 射线 CD 为 x 轴正半轴 建立如图所示的直角坐 标系 C xyz 设 D 1 0 0 则 A 2 2 0 B 0 2 0 又设 S x y z 则 x 0 y 0 z 0 I 2 2 2 1 ASxyz BSx yz DSxy z 由得 222222 2 2 2 ASBSxyzxyz 故 x 1 由得 1DS 22 1yz 又由得 2BS 222 2 4xyz 即 故 22 410yzy 13 22 yz 于是 13333313 1 1 1 0 22222222 SASBSDS 0 0DS ASDS BS 故 又 DSAS DSBS ASBSS 所以 SDSAB 平平 II 设平面 SBC 的法向量 am n p 则 0 0 aBS aCB a BSa CB 又 33 1 0 2 0 22 BSCB 故 33 0 22 20 mnp n 取得 又2p 3 0 2 a 2 0 0 AB 21 cos 7 AB a AB a ABa 故 AB 与平面 SBC 所成的角为 21 arcsin 7 53 21 本小题满分 l2 分 注意 在试题卷上作答无效 已知函数 32 3 36 124f xxaxa xaaR 证明 曲线 0yf xx 在处的切线过点 2 2 若求 a 的取值范围 00 f xxxx 在处取得最小值 1 3 思路点拨 第 I 问直接利用导数的几何意义 求出切线的斜率 然后易写出直接 方程 II 第 II 问是含参问题 关键是抓住方程的判别式进行分类讨论 0fx 精讲精析 解 I 2 3636fxxaxa 由得曲线在 x 0 处的切线方程为 0 124 0 36fafa yf x 36 124ya xa 由此知曲线在 x 0 处的切线过点 2 2 yf x II 由得 0fx 2 21 20 xaxa i 当时 没有极小值 2121a f x ii 当或时 由得21a 21a 0fx 22 12 21 21xaaaxaaa 故 由题设知 02 xx 2 1213aaa 当时 不等式无解 21a 2 1213aaa 当时 解不等式得21a 2 1213aaa 5 21 2 a 综合 i ii 得的取值范围是 a 5 21 2 35 21 已知 O 为坐标原点 F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点 过 F 2 2 1 2 y C x 且斜率为的直线 与 C 交与 A B 两点 点 P 满足 2l0 OAOBOP 证明 点 P 在 C 上 设点 P 关于点 O 的对称点为 Q 证明 A P B Q 四点在同一圆上 思路点拨 方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路 注意把 用坐标表示后求出 P 点的坐标 然后再结合直线方程把 P0 OAOBOP 点的纵坐标也用 A B 两点的横坐标表示出来 从而求出点 P 的坐标代入椭圆 方程验证即可证明点 P 在 C 上 II 此问题证明有两种思路 思路一 关键是证明 互补 通过证明这两个角的正切值互补即可 再求正切值时要注意利 APBAQB 用倒角公式 思路二 根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上 所以根据两条弦的垂直 平分线的交点找出圆心 N 然后证明 N