均布载荷下变形受约束悬臂梁弹性大变形分析

第 2 7卷第 5期 2 0 0 9年 1 0月 中 国 民 航大 学 学 报 J 0URNAL OF CI VI L AVI ATI ON UNI VERS I TY OF CHI NA V0 1 2 7 No 5 0e t c h e r 2 0 09 均布载荷下变形受约束悬臂梁弹性大变形分析 曹天捷 中国民航 大学交通 工程 学院 天津3 3 00 摘要 建立了分析均布载荷作 用下受约束悬臂 粱的弹性 大变形三阶段 模型 模 型的第 1 阶段为 悬臂梁 变形不受约 束的阶段 第 2阶段 为悬臂梁 自由端和其下 面的约束相接 触时的 变形 阶段 此 时 在接 触处有一 支反 力作 用 第 3阶段 为悬臂梁和其 下面的约束有一定接触 范围时的变形阶段 此时在接 触范围内 粱的挠度 和转角 是 固定的 给 出了各个阶段 弹性 大变形梁的边界条 件 提 出了各阶段求解梁弹性大变形的三 重二分法 实例 中 对于 粱在各 阶段 的弹性 大变形 问题进行 了分析计算 并和 小变形理论的计算结果进行 了比较 结果表 明 在梁 变形 的第 1阶段 小变形理论 的相 对误 差 随着初 始间隙的增大而迅速增大 在 梁变形的第 2阶段 在给定的初始 间隙范 围内 小变形理论的相对误差 变化 不大 在梁变形的第 3阶段 小变形理论 的相 对误 差 随着接 触范围的增 大也迅速增 大 关键 词 悬臂粱 弹性 大变形 三阶段模 型 均布载荷 中图 分 类 号 03 4 3 5 文 献 标 识 码 A 文 章 编 号 1 6 7 4 5 5 9 0 2 0 0 9 0 5 0 0 2 3 0 5 Ana l y s i s t o La r g e De fle c t i o n s o f El a s t i c Ca nt i l e v e r Be a m wj t h Co n s t r a i nt un de r Un i f or ml y Di s t r i bu t e d Lo a d C A 0 帆 i e T r a n s p o r t a t i o n E n g i n e e r i n g C b l l e g e C AU C T i a n j i n 3 0 0 3 0 0 C h i n a Ab s t r a c t A mo d e l f o r a n a l y z i n g t h e l a r g e d e fl e c t i o n o f a n e l a s t i c c a n t i l e v e r b e a m wi t h c o n s t r a i n t u n d e r u n i f o r ml y d i s t r i b u t e d l o a d w a s e s t a b l i s h e d I n t h e mo d e 1 t h e d e fl e c t i o n o f t h e b e a m w a s d i v i d e d i n t o t h r e e s t a g e s t h e fi r s t w a s a c a n t i l e v e r b e a m S H b i e c t e d t o t h e u n i f o r ml y d i s t ri b u t e d l c a d w i t h o u t a n y c o n s t r a i n t t h e s e c o n d w a s a b e a m s u b j e c t e d t o t h e l o a d w i t h a c o n s t r a i n t a t t h e f r e e e n d i e t h e b e a m w a s s u b j e c t e d t o a n e x t r a r e a c t i o n a t t h e f r e e e n d b e s i d e s t h e u n i f o r ml y d i s t ri b u t e d l o a d t h e t h i r d w a s a b e a m s u b j e c t e d t o t h e u n i f o rml y d i s t ri b u t e d l o a d a n d t h e r e a c t i o n w i t h g i v e n d e fl e c t i o n a n d a n g l e o f r o t a t i o n o v e r a p a r t o f t h e b e a m T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e b e a m a t e v e ry s t a g e we r e g i v e n a n d t h e t h r e e f o l d me t h o d o f b i s e c t i o n wa s u s e d t o s o l v e f o r t h e l a r g e d e fle c t i o n o f t h e b e a m a t e v e ry s t a g e I n t h e e x a mp l e t h e l a r g e d e fl e c t i o n s o f t h e e l a s t i c b e a m a t e v e r y s t a g e w e r e c a l c u l a t e d a n d t h e r e s u l t s w e r e c o mp a r e d w i t h t h o s e o b t a i n e d b y s ma l l d e fle c t i o n t h e o ry I t i s p r o v e n t h a t a t t h e fi r s t s t a g e t h e r e l a t i v e e r r o r b y t h e s ma l l d e fl e c t i o n t h e o ry i n c r e a s e s q u i c k l y w i t h t h e i nc r ea s e o f t he i ni t i a l g a p a t t h e s e c o n d s t a g e t h e r e l a t i v e e r r o r b y t h e s ma l l d e fle c t i o n t h e o ry ha s a f e w i n c r e a s e o n t h e g i v e n i n i t i a l g a p a t t h e t h i r d s t a g e t h e r e l a t i v e e r r o r b y t h e s ma l l t h e o ry i n c r e a s e s q u i c k l y wi t h t he i nc r e a s e o f c o n t a c t r e g i o n Ke y wo r d s c a n t i l e v e r b e a m e l a s t i c l a r g e d e fl e c t i o n t h r e e s t a g e mo d e l u n i f o rm l y d i s t ri b u t e d l o a d 多年来 众多学者对弹性大变形或弹塑性大变形 问题进行了大量的研究 如集 中力作用下悬臂梁的弹 性大变形分卡 斤 集 中力作用下悬臂梁的弹塑性大变形 分析 均布载荷作用下悬臂梁的弹性大变形分析 均布载荷作用下两端固支梁的弹性大变形分析 集 中力作用下简单结构的弹性大变形分析 0 近年来 微机电系统 ME MS 的工程技术迅速发展 研究开发 了很多微器件 如微传感器 微致动器 微电动机 微 阀 微泵 微开关和微电容等 几微米厚的硅薄膜常常 被用于微器件 的敏感元件 l 2 部分微器件 微开关 微 收稿 日期 2 0 0 8 1 2 2 2 修 回日期 2 0 0 9 0 3 0 4 作者简介 曹天捷 1 9 5 7 一 男 I I J N蒲县人 教授 博士 研究方 向为 弹塑性力 学 2 4 中 国 民 航 大 学 学 报 2 0 0 9 年 1 0月 电容 微夹持器等 中的敏感元件通常可简化为悬臂 梁或两端固支梁 这种梁长细 比非常大 位移 和梁厚 处在同一量级 甚至位移还要大于梁厚 此外 梁 的变 形要受其下面衬底的约束 对于微夹持器 可将所夹 物体看作衬底 而且梁和衬底常常还有较大范 围的 接触 由于这些微器件的驱动力常常是电场力 其大 小和位移有关 而且还会引起失稳现象发生 分析过 程十分复杂 为了简化计算 在微开关或微电容的一 维模型分析 中 等效弹簧刚度常由均布载荷计算 1 3 1 4 在微夹持器的分析中 梳状驱动力也简化为均布载荷 本文对均布载荷作用下受约束悬臂梁的弹性大 变形进行分析研究 将小变形下受约束悬臂梁的三阶 段分析模型 推广应用于弹性大变形 问题 针对受约 束悬臂梁的弹性大变形 问题提出了各个 阶段的数值 求解方法 并编制了相应的c 计算机程序 利用所 编制的计算机程序对这一简化问题进行数值分析 可 以对小变形理论的适用范围以及小变形理论所引起 的误差有一定的认识 1 基本方程和分析模型 1 1 大变形下梁的挠 曲线微分方程 均布载荷作用下 受约束悬臂梁的力学分析模型 如图 1 所示 该悬臂梁 的变形受到其下衬底的约束 两者问的初始间隙为 G 图 2为弹性大变形构形及坐 标系示意图 图 1 力学分析模型 Fi g 1 M e c h a n i c s m o de l 图 2 弹性大挠度构形 Fi g 2 La r g e de fle c t i o n o f e l a s t i c b e a m 根据图 2中的坐标系 以弧长为自变量 则梁挠 曲线的控制微分方程组为 1 dO M P E1 c 0 s 0 1 1 一 L l s i n0 式中 为梁的抗弯刚度 0 为梁轴线的转角 且规定 顺时针转为正 为梁中的弯矩 并使梁纤维上压下 拉为正 在变形不受约束的情况下 文献 7 将转角 0 的解 设为弧长 s 的级数形式 文献 8 9 采用摄动法对方程 组 1 进行了求解 本文将在变形受约束的情况下 利 用数值方法对方程组 1 进行求解 另外 本文虽然只 研究均布载荷的问题 但由于数值方法应用灵活 这 种方法也可以处理一些 比较复杂的问题 例如 均布 载荷只作用在部分梁上 或均布载荷和集中力同时作 用的问题 1 2 梁变形第 1阶段的求解 梁第 1 阶段的变形示意图如图 3 所示 在本阶段 梁 自由端未和其下面的衬底相接触 在大变形情况 下 有些载荷会随着梁变形而使水平方向的集度发生 变化 切 如 自重 在梁变形后 水平方向尺寸减小 水 平方 向上 的集度增大 本文不考虑此况 即假设均布 载荷 的集度不随梁变形而发生变化 如电场力 其集 度不因水平尺寸减小而增加 则梁中的弯矩表达式为 P o 一 1 2 一Mo 2 柏 y l 0 r 幽 3粱 弟 1阶段 受 力 变 形 图 F i g 3 Ca n t i l e v e r b e a m s u b j e c t e d t o l o a d a t t h e fi r s t s t a g e 为 了实际计算方便 本阶段采用梁 自由端的竖向 位移为 已知量 而将分布载荷作为未知量 另外对 于 大变形问题 式 2 中的 眠 P 0 也是未知量 对于给定的梁 自由端竖向位移 y t 微分方程组 的 起始边界条件为 0 0 x 0 0 3 y 0 0 忽略梁 的轴向变形同 则梁终点 即梁 自由端 的边界 条件为 M x L 0 P o q x L 0 4 y L 1 一 y l 0 采用三重的二分法 利用梁终点的 3 个边界条 件可确定 眠 P o q 计算框图如图 4所示 1 3 梁变形第 2阶段的求解 梁第 2 阶段的变形示意图如图5 所示 在本阶段 梁 自由端和其下面的衬底只有一点相接触 因此梁 自 第 2 7卷第 5期 曹天捷 均布载荷下变形受约束悬臂梁弹性大变形分 析 2 5 图 4 计算步骤框图 Fi g 4 Fl o w o f i t e r a t i v e m e t ho d 由端的竖 向位移就是初始 间隙 G 同时忽略摩擦力 则在梁的 自由端只受到支反力 作用 梁中的弯矩表 达式仍 为式 2 本阶段采用梁 自由端 的转角为 已知 量 同样将 q 视为未知量 擦力 时 这部分梁 的受力变形如图 7所示 对于图 7 中的梁 梁中的弯矩表达式仍为式 2 梁 自由端的竖 向位移为初始 间隙 G 转角为 0 在梁和衬底接触范围 的起始点受到支反力 作用 同样将 M0 P o 视为未 知量 f Go 0 图 6 梁第 3阶段受力变形 图 F i g 6 C a n t i l e v e r b e a m S t b j e c t e d t o l o a d a t t h e thi r d s t a g e G o 0 图 7 梁第 3阶段分析用 图 F i g 7 An al y t i c a l mo d e l f o r t h e t h i r d s tag e 对于图 7中的受力变形情况 微分方程组 的起始 边界条件仍为式 3 梁终点的边界条件为 M x L一 0 O L一 0 6 y L一 一G 0 0 采用同样的方法 利用梁终点 的这 3个边界条件 可以确定 P o q这 3个未知量及支反力 2 计算实例 图 梁第 2阶段受 变形图 本例将分析 3个不 同阶段载荷和支反力 的变化F i g 5 Ca n t i l e v e r b e a m s u b j e c t e d t o l o a d a t t h e s e c o n d s tag e 1 1 一 1 一 对于给定的梁 自由端转角 微分方程组的起始 特点 为使分析 果具有代表性 取无量 如下 无 边 界 条 件 仍 为 式 3 而 梁 终 点 的 边 界 条 件 为 量 纲 载 荷 g 鲁 无 量 纲 初 始 间 隙 g 无 量 纲 M x L 0 O L 一0 1 0 y L 一G 0 5 弧 长s S 无 量 纲 坐 标 Y 无 量 纲 接 触 采用 同样的方法 利用梁终点的这 3个边界条件 可以确定 P o q 3 个未知量 求出 眠 P o q后 支反 力 可利用平衡条件求出 1 4 梁变形第 3阶段的求解 梁第 3阶段的变形示意图如图 6所示 在本 阶 段 梁 和其下面的衬底有一定的接触范围 相接触部 分处于平衡状态 因此只需分析未接触部分 忽 略摩 长度 l 无量纲支反力 P 1 第 1 阶段结束 L 时 此时梁 自由端和衬底刚好接触 两种理论下无量 纲载荷和无量纲初始间隙关系曲线如图 8 所示 小变 形理论下载荷的相对误差如图 9 所示 由图8可见 对于同样 的初始 间隙 大变形理论 的载荷略大于小变 形理论的载荷 因此 在一维模型中 用小变形理论计 算出的等效刚度偏小 这可能是一维模型计算 出的吸 一 r 2 6 中 国 民 航 大 学 学 报 2 0 0 9年 1 0月 合电压低于实验值 l8 1 的原因之一 柱 黑 旺 Il 无量纲初始间隙 g 图 8 第 1阶段结束 时载荷和初始 间隙关系曲线 F i g 8 Re l a tio n s h i p b e t we e n l o a d a n d i n i tia l g a p a t t h e e n d o f t h e fir s t s t a g e 嚣 罩 无量纲初始间隙 图 9 第 1阶段结束 时小变形理论 下载荷 相对误差和初始 间隙关系 曲线 Fi g 9 Re l a tiv e e r r o r o f l o a d o f s ma l l de fle c t i on t h e o r y a t t h e e n d o f t h e f i r s t s t ag e 第 2阶段结束时 梁 自由端和衬底问只有一点相 接触 而且梁 自由端转角为 0 两种理论下无量纲载 荷和无量纲初始间隙关系曲线如图 l 0所示 小变形 理论下 载荷的相对误差如图 1 1 所示 在微夹持器 中 夹持力 对梁而言就是支反力 是一重要指标 因 此这里给出无量纲支反力 和无量纲初始 间隙关系曲 线如图 1 2所示 支反力的相对误差如 图 l 3所示 在 本阶段 在给定的初始间隙范 围下 小变形理论下载 荷相对误差 的增加量很小 例如 对 于无量纲初始 间 隙 角 0 2 第 1阶段结束和第 2阶段结束时 小变形 理论下载荷的相对误差分别为 6 3 5 和 6 8 3 即在 整个第 2阶段 相对误差仅增加 了 0 4 8 第 2阶段 结束时 支反力约为梁上总载荷的 1 3 堰 柩 辱 词 无量纲初始间隙 g 图 1 O 第 2阶段结束时载荷和初始间隙关系曲线 Fi g 1 0 Re l a t i o ns h i p b e t ween l o a d a n d i ni tia l g a p a t t h e e n d o f t he s e c o n d s t a g e 在梁变形的第 3阶段 对于几种不同的初始 间 隙 大变形理论下无量纲载荷和无量纲接触范围关系 无量纲初始间隙 图 l 1 第 2阶段结束时小变形理论下载荷相对 误差和初始间隙关系 曲线 Fi g 1 1 Re l a tiv e e rr o r o f l o a d b y s m a l l d e fle c t i o n th e o ry a t t h e e n d o f t he s e c o n d s ta g e 豳f 无量纲初始 间隙g 图 l 2 第 2阶段结束时支反力和初始间隙关系曲线 Fi g 1 2 Re l a t i o ns h i p be t we e n r e a c tio n a n d i nitia l g a p a t t h e e nd o f th e s e c on d s t ag e 无量纲初始间隙 图 l 3 第 2阶段结束时小变形理论下支反力 相对误差和初始间隙关 系曲线 Fi g 1 3 Re l a tiv e e r r o r o f r e a c t i o n b y s ma l l d e fle c tio n th eo ry a t t h e e nd o f t h e s e c o nd s t a g e 曲线如图 1 4所示 因图较多 若将小变形理论下无量 纲载荷和无量纲接触范围关系曲线同时画出 不易区 别 小变形理论下载荷的相对误差如图 1 5所示 大 变形理论下无量纲支反力和无量 纲接触范围关 系曲 线如图 1 6所示 小变形理论下支反力 的相对误差如 图 1 7所示 在本阶段 随着接触范围的增加 小变形 理论下的载荷及支反力相对误差迅速增加 握 血l 无量纲接触范 围 图 1 4 第 3阶段载荷和接触范围关系曲线 Fi g 1 4 Re l a t i o ns h i p b e t we e n l o a d a n d c o n ta c t r e g i o n a t t h e t hi r d s t a g e 靛 第 2 7卷第 5期 曹天捷 均布载荷下变形受约束悬臂 梁弹性大 变形分析 2 7 嗤 嚣 霉 无量纲接触范围 图 l 5 第 3阶段小变形理论载 荷相对 误差和 接触 范围关系曲线 Fi g 1 5 Re l a tiv e e r r o r o f l o a d b y s m a l l de fle c tio n t he o r y a t t h e t h i r d s t ag e 无量纲接触范围 图 1 6 第 3阶段支反力和接触范围关系 曲线 F i g 1 6 Re l a t i o n s hi p b e t we e n r e a c t i o n a nd c o n ta c t r e g i o n a t t h e t hi r d s t ag e 摹 蔷 罡 无量纲接触 范围 图 1 7 第 3阶段小变形理论下支反力相对误差和初始间隙关系 曲线 Fi g 1 7 Re l a t i v e e r r o r o f r e a c t i on b y s m a l l de fle c t i o n t h e o r y a t t h e t hi r d s tag e 3 结语 建立 了分析均布载荷作用下受约束悬臂梁 的弹 性大变形三阶段模型 文中给出了各个阶段弹性大变 形梁 的边界条件 提出了各阶段求解梁弹性大变形 的 三重二分法 实例 中 对于梁在各 阶段 的弹性大变形 问题进行了分析计算 并和小变形理论的计算结果进 行了比较 分析计算结果包括 第 1 阶段结束时 大变 形理论 和小变形理论计算 出的无量纲载荷 和无量纲 初始间隙关系 曲线 小变形理论下载荷 的相对误差 曲 线 第 2阶段结束时 两种理论下无量纲载荷和无量 纲初始间隙关系曲线 小变形理论下载荷的相对误差 曲线 无量纲支反力和无量纲初始间隙关系曲线 小 变形理论计算出的支反力相对误差 梁变形的第 3阶 段时 几种不同的初始间隙下大变形理论无量纲载荷 和无量纲接触范嗣关 系曲线 小变形理论载荷的相对 误差 大变形理论无量纲支反力和无量纲接触范围关 系曲线 小变形理论支反力的相对误差等 计算结果 表明 在梁变形的第 1阶段 小变形理论 的计算结果 相对误差 随着初始 间隙的增大而迅速增大 在本文给 定 的初始 间隙范嗣 内 在梁变形 的第 2阶段 中 小变 形理论的计算结果相对误差变化不大 在梁变形 的第 3阶段 小变形理论计算结果的相对误差随着接触范 围的增大迅速增大 参考文献 1 B I S S HO P P K E D R UC K E R D C L a r g e d e fl e c t i o n o f c a n t i l e v e r b e a m s J 1 Q u a r t e r l y o f Ap p l i e d Ma t h e ma t i c s 1 9 4 5 3 2 7 2 2 7 5 2 B AR T E N H J O n t h e d e fl e c t i o n o f a c a n t i l e v e r b e a m J Q u a rt e H y o f Ap p l i e d Ma t h e ma t i c s 1 9 4 4 2 1 6 8 1 7 1 3 B A R T E N H J O n t h e d e fl e c t i o n o f a c a n t i l e v e r b e a m J Q u a r t e r l y o f Ap p l i e d Ma t h e ma t i c s 1 9 4 5 3 2 7 5 2 7 6 4 伍小强 余同希 悬臂梁弹塑性大挠度全过程的分析 J 力学学报 1 9 8 6 1 8 6 5 1 6 5 2 5 5 栾丰 余 同希 悬臂梁在倾斜载荷作用下的弹塑性大挠度分析 J 应用数学 与力学 1 9 9 1 1 2 6 5 1 5 5 2 2 6 周 凤玺 李世荣 梁的 弹塑性大挠度变 形分析l J 兰州理工 大学学 报 2 0 0 7 3 3 1 1 7 0 1 7 2 7 R OH D E F V L a r g e d e fl e c t i o n o f a c a n t i l e v e r b e a m w i t h u n i f o r ml y d i s t r i b u t e d l o a d J I Q u a r t e r l y o f A p p l i e d Ma t h e ma t i c s 1 9 5 3 1 1 3 3 7 3 3 8 8 C H I E N WE I Z A N G S e c o n d o r d e r a p p r o x i ma t i o n s o l u t i o n o f n o n l i n e a r l a r g e d e fl e c t i o n p r o b l e ms o f Yo n g j i a n g R a i l w a y B r i d g e i n N i n g b o J J A p p l i e d Ma t h e m a t i c s a n d Me c h a n i c s 2 0 0 2 2 3 5 4 9 3 5 0 6 9 H E X I A O T I N G C HE N S H A N L I N B ip a r a me t r i c p e rt u r b a t i o n s o l u t i o n s o f l arg e d e fl e c t i o n p r o b l e m o f c a n t i l e v e r b e a m s J A p p l i e d Ma t h e m a t i c s a n d Me c h a n i c s 2 0 0 6 2 7 4 4 5 3 4 6 0 f l O 1 J E NK I NS J A