空间点到直线距离的多种解法

精品文档 1欢迎下载 空间点到直线距离的多种解法 摘 要 在空间解析几何中 空间点 直线 平面之间的关系是学习的重点 点和直线的 位置关系包括两种 点在直线上 点在直线外 当点在直线外时 点到直线距离的计算随之 出现 关于解决点到直线距离的问题 涵盖了空间解析几何中两点间距离 向量运算 直线 方程 平面方程等诸多知识点 本文将对一具体例题 介绍点到直线距离的多种解法 关键词 点 直线 距离 向量 平面 解法 例 求点 A 2 4 1 到直线 L 的距离 3 2 22 1 zyx 1 运用向量积的计算及向量积的几何意义 已知直线方程 直线外一点 A 直线上 111 xxyyzz XYZ 000 xyz 一点 以 和构成平行四边形 这里 为直线的方向向量 111 xyzvA v 显然直线外一点 A 到直线的距离 d 就是这平行四边形的对应于以为底的高 v 即 d v vA 222 101010101010 ZYX YX yyxx XZ xxzz ZY zzyy 解 如图 1 过点 A 作直线 L 的垂线 垂足为 B 设 1 0 2 为 L 上任一点 2 2 3 v 为 L 的方向向量 以 和为两边构成平行四边形vA S 显然点 A 到直线 L 的距离就是vA AB 这平行四边形的对应于以为底的高v 即 3AB v S v vA 2 22 222 322 22 43 23 31 32 14 2 运用平面方程 参数方程及线面交点的方法 由点法式得到过线外一点 A 且与直线垂直的平面方程 将直线方程 精品文档 2欢迎下载 转化成参数方程 由此设出垂足 B 坐标 又因 111 xxyyzz XYZ 1 1 1 xXtx yYty zZtz 为垂足 B 在平面方程上 即可得出 B 点坐标 再由两点间距离公式得出点到直线 的距离 解 先求过点 A 与直线 L 垂直的平面方程 用点法式 得 2 x 2 2 y 4 3 z 1 0 即 2x 2y 3z 9 0 将直线 L 方程用参数方程表示为 23 2 12 tz ty tx 由此设垂足 B 的坐标为 2t 1 2t 3t 2 因 B 在垂面上得 4t 2 4t 9t 6 9 0 即 t 1 所以点 B 坐标为 1 2 1 所以 3AB 222 11 24 12 3 运用两点间距离公式及参数方程的方法 将直线方程转化成参数方程 可设出直线上任一点 111 xxyyzz XYZ 坐标 由两点间距离公式得出的表达式 用取最小值的方法即得 A A 出点到直线的距离 解 由直线 L 的参数方程可设 L 上任一点 23 2 12 tz ty tx 的坐标为 2t 1 2t 3t 2 由两点距离公式得 A 222 13 42 32 ttt 263417 2 tt 9117 2 t 可得当 t 1 时 最小值为 3 A 精品文档 3欢迎下载 所以点到直线距离为 3 4 运用两向量垂直 数量积为零的结论 由直线方程可设出垂足 B 的坐标 显然 由 111 xxyyzz XYZ vAB 0 得到点 B 的坐标 由两点距离公式得到点到直线的距离 vAB 解 由直线 L 的参数方程 可设垂足 B 的坐标为 2t 1 2t 3t 2 直线 L 的方向向量 2 2 3 v 2t 3 2t 4 3t 1 AB 显然 得 0AB v ABv 即 2 2t 3 2 2t 4 3 3t 1 0 得 t 1 所以点 B 坐标为 1 2 1 即 3AB 222 11 24 12 5 运用向量及三角函数的方法 连接直线上的点与线外点 A 得到与直线的夹角 则 cos vA vA sin d sin即得点到直线的距离 2 1 cos A 解 如图 1 3 4 1 2 2 3 A v cos vA vA 26 17 sin 2 1 cos 26 3 A 222 1 43 26 sin 3ABA 6 利用点到平面距离公式的方法 确定线外点 A 和直线所确定的平面并作出一个过直线且垂直于点和直线所 精品文档 4欢迎下载 确定平面的另一平面 所求 d 即为点到作出平面的距离 解 如图 2 设点 A 和直线 L 所确定的平面为 过直线 L 且垂直于的平面为 于是所求距离 d 即为点 A 到平面的距离 设平面的法向量为 则 n n v 另一方面 为平面的法向量 n n n 因此 而 n n v n vA 所以 n vA v AvvvvA 3 2 23 2 21 4 3 1 4 33 2 23 2 2 17 2 2 1 不妨取 得平面的方程为n 2 2 1 x 1 2y 2 z 2 0 即 x 2y 2z 3 0 d 3 222 221 312422 7 运用点与点关与直线对称的方法 找出直线外一点 A 的对称点 可知 0 得到一个式子 1 又因 A vAA 中点在直线上可得到另一个式子 2 解出由 1 2 两式所组成的方程A A 组 即得的坐标 由 d 得出点到直线的距离 A 2 A A 解 设点 A 关于直线 L 的对称点为 则 0 zyxA vAA 即 0 zyx 134222 又的中点在直线 L 上A A 2 1 2 4 2 2zyx a 精品文档 5欢迎下载 即 3 2 2 1 2 2 4 2 1 2 2 zyx 解 式组成的方程组 得 的坐标为 A 3 0 0 A A 4 4 2 d 3 222 442 2 1 2 A A 8 运用求极限的方法 对于直线上任一点 由直线方程得出的坐标 111 xxyyzz XYZ 得到的表达式 利用取极小值的方法 即得点到直线的距离 AM 解 设为直线 L 上一点 由知点坐标为 3 2 22 1 zyx 2 43 1 y yy AM 222 1 2 43 4 21 y yy 2617 4 17 2 yy 对于因 0 故 x 有极小值 2617 4 17 2 yyx 4 17 极小值为抛物线顶点的纵坐标 2617 4 17 2 yyx x 9 有极小值 3 AM d 3 9 运用球面和直线相切的方法 以直线外一点为中心作一球面并与直线相切 中心到切点的距离即半径也 就是点到直线的距离 解 设球面方程为 2 222 142dzyx 精品文档 6欢迎下载 v A 0134222 111 zyx 1 又为球面上一点 2 2 1 2 1 2 1 142dzyx 2 又 3 2 22 1 111 zyx 3 由消去得 d 3 1 2 3 111 zyx 所以点到直线距离为 3 参考文献 1 吕林根 许子道 解析几何 高等教育出版社 2006 5 2 焦曙光 点到直线的距离 高等