解三角形题型总结

精品文档 第 1 页 共 20 页 1欢迎下载 解三角形题型分类解析 1 1 正弦定理及其变形 正弦定理及其变形 2 sinsinsin abc RR ABC 为三角形外接圆半径 12 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC 边化角公式 2 sin sin sin 222 abc ABC RRR 角化边公式 3 sin sin sina b cABC sinsinsin 4 sinsinsin aA aA bB bB cC cC 做题大法 1 边化角 遇到分式或等式如 切记必须为齐次式 BAba B A b sinsin sin sina 高考常考点 思考 若是否可行CBAbcsinsinsina 22 是否可化为 2 角化边形如这样的分式或等式baBA bB A sinsin a sin sin 思路总结 此为以上转换依据 sinsin ab AB 2 sin c R C 2 2 正弦定理适用情况 正弦定理适用情况 1 已知两角及任一边 2 已知两边和一边的对角一边的对角 需要判断三角形解的情况 已知a b和A 不解三角形 求B时的解的情况 ARsin2a BRsin2b BRsin2c 精品文档 第 2 页 共 20 页 2欢迎下载 如果 sinA sinB 则B有唯一解 如果 sinA sinB1 则B无解 3 3 余弦定理及其推论 余弦定理及其推论 222 222 222 2cos 2cos 2cos abcbcA bacacB cababC 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 bca A bc acb B ac abc C ab 4 4 余弦定理适用情况 余弦定理适用情况 1 已知两边及夹角 2 已知三边 5 5 常用的三角形面积公式 常用的三角形面积公式 1 高底 2 1 ABC S 2 两边夹一角 BcaAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 6 6 三角形中常用结论 三角形中常用结论 1 abc bca acb 即两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 2 sinsin ABCABabAB 在中 即大边对大角 大角对大边 3 在 ABC 中 A B C 所以 sin A B sinC cos A B cosC tan A B tanC 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin CBACBA 分类题解 分类题解 类型一 正弦定理类型一 正弦定理 1 计算问题 例 1 2013 北京 在 ABC 中 a 3 b 5 sinA 则 sinB 精品文档 第 3 页 共 20 页 3欢迎下载 例 2 已知ABC中 A 则 60 3a sinsinsin abc ABC 例 3 在锐角 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 2asinB b 求角 A 的大小 2 三角形形状问题 例 3 在中 已知分别为角 A B C 的对边 ABC a b c 1 试确定形状 B A bcos cosa ABC 2 若 试确定形状 cos cos aB bA ABC 4 在中 已知 试判断三角形的形状 ABC AbBatantan 22 精品文档 第 4 页 共 20 页 4欢迎下载 5 已知在中 且 试判断三角形的形状 ABC CcBbsinsin CBA 222 sinsinsin 例 4 2016 年上海 已知的三边长分别为 3 5 7 则该三角形的外接圆半径等于ABC 类型二 余弦定理类型二 余弦定理 1 1 判断三角形形状 锐角 直角 钝角判断三角形形状 锐角 直角 钝角 在 ABC中 若 则角是直角 222 abc C 若 则角是钝角 222 abc C 若 则角是锐角 222 abc C 例 1 在 ABC 中 若 a 9 b 10 c 12 则 ABC 的形状是 精品文档 第 5 页 共 20 页 5欢迎下载 2 求角或者边 例 2 2016 年天津高考 在 ABC中 若 BC 3 则AC 13AB120C 例 3 在 ABC中 已知三边长 求三角形的最大内角 3a 4b 37c 例 4 在 ABC中 已知 a 7 b 3 c 5 求最大的角和 sinC 3 3 余弦公式直接应用余弦公式直接应用 精品文档 第 6 页 共 20 页 6欢迎下载 例 5 在ABC中 若 求角A 222 abcbc 例 6 2013 重庆理 20 在 ABC中 内角A B C的对边分别是a b c 且a2 b2 ab c2 2 1 求C 例 7 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若 abc abcab 则角C 例 8 2016 年北京高考 在 ABC 中 222 2 acbac 1 求B 的大小 2 求2coscosAC 的最大值 精品文档 第 7 页 共 20 页 7欢迎下载 类型三 类型三 正弦 余弦定理基本应用正弦 余弦定理基本应用 例例1 2015 高考广东 理 11 设的内角 的对边分别为 若ABC ABCabc 则 3a 1 sin 2 B 6 C b 例例 2 2 则B等于 1 22 ac bca 例例 3 3 2015 高考天津 理 13 在 中 内角 所对的边分别为 已知ABC A B C a b c 的面积为 则的值为 ABC 3 15 1 2 cos 4 bcA a 例例 4 4 在 ABC 中 sin C A 1 sinB 求 sinA 3 1 精品文档 第 8 页 共 20 页 8欢迎下载 例例5 2015 高考北京 理 12 在中 则 ABC 4a 5b 6c sin2 sin A C 例例 6 6 若 ABC的三个内角满足sin sin sin5 11 13ABC 则 ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 变 在中 若 则角的度数为 ABC 7 5 3sin sin sin CBAC 例例 7 7 ABC的三个内角满则 A B C 1 2 3 则 a b c 例例8 设设的内角的内角的对边分别为的对边分别为 且 且 则则ABC A B C a b c 5 3 cos A 13 5 cos B3 b c 精品文档 第 9 页 共 20 页 9欢迎下载 类型四 与正弦有关的解的个数类型四 与正弦有关的解的个数 思路一 利用表格进行思路一 利用表格进行 a bsinA 一解 b sinA ab 一 解 思路二 利用大边对大角进行筛选思路二 利用大边对大角进行筛选 例 1 在 ABC中 bsinA a b 则此三角形有 A 一解 B 两解 C 无解 D 不确定 例 2 在中 分别根据下列条件解三角形 其中有两解的是 ABC A B 7 a14 b 30A25 b30 c 150C C D 4 b5 c 30B6 a3 b 60B a bsin A a bsin A bsin A a ba b 无解一解两解一解 精品文档 第 10 页 共 20 页 10欢迎下载 例例 3 3 在中 ABC 有几个 则满足此条件的三角形 45 0 3 a o Ab 类型五 与类型五 与有关的问题有关的问题 CBA 例 1 在 ABC中 sinA 2cosBsinC 则三角形为 变 在 ABC 中 已知 那么 ABC 一定是 BCBCcos sin 2sin 例 2 在中 角 对应的边分别是 已知 ABC ABCabc cos23cos1ABC I 求角的大小 A II 若的面积 求的值 ABC 5 3S 5b sinsinBC 精品文档 第 11 页 共 20 页 11欢迎下载 例 3 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知 3acos C 2ccos A tan A 1 3 求B 例4 在 ABC中 a b c分别为内角A B C的对边 且 b sinC 2cc sinB 2b2asinA 求 A 的大小 求的最大值 sinsinBC 类型六 边化角 角化边类型六 边化角 角化边 注意点注意点 换完第一步观察是否可以约分 能约分先约分换完第一步观察是否可以约分 能约分先约分 怎么区分边化角还是角化边呢 若两边都是正弦首先考虑角化边 若 sin cos 都存在时首先考虑边化角 精品文档 第 12 页 共 20 页 12欢迎下载 例 1 在在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足 csinA acosC 求角 C 的大小 例 2 在 ABC中 内角A B C所对的边分别是a b c 若 3a 2b 则的 2sin2B sin2A sin2A 值为 例 3 ABC中 sin2A sin2B sin2C 则 ABC为 A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形 例 4 2011 全国 ABC的内角A B C的对边分别为a b c asin A csin C asin C bsin B 2 1 求B 2 若A 75 b 2 求a c 例 5 2016 年四川高考 在 ABC中 角A B C所对的边分别是a b c 且 coscossinABC abc 精品文档 第 13 页 共 20 页 13欢迎下载 I 证明 sinsinsinABC II 若 求 222 6 5 bcabc tan B 例 6 2016 年浙江高考 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 已知 b c 2a cos B I 证明 A 2B II 若 ABC 的面积 求角A的大小 2 4 a S 例 7 的内角所对的边分别为 ABC CBA cba I 若成等差数列 证明 cba CACA sin2sinsin II 若 成等比数列 求的最小值 cba Bcos 精品文档 第 14 页 共 20 页 14欢迎下载 类型七 面积问题类型七 面积问题 面积公式 面积公式 例 1 设ABCA的内角 A B C所对边的长分别是 a b c 且 b 3 c 1 ABC 的面积为求 cosA 与 a 的值 2 例 2 在 ABC 中 角 A B C的对边分别为 3 a b c B 4 cos 3 5 Ab 求sinC的值 求ABC 的面积 例 3 的内角 所对的边分别为 向量与C A A Cabc 3mab 平行 cos sinn A 精品文档 第 15 页 共 20 页 15欢迎下载 I 求 A II 若 求的面积7a 2b C A 例 4 在中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且满足ABC 1 求 ABC 的面积 2 若 c 1 求 a 的值 例 5 2013 浙江 在锐角 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 2asinB b 求角 A 的大小 若 a 6 b c 8 求 ABC 的面积 精品文档 第 16 页 共 20 页 16欢迎下载 例 6 2016 年全国 I 高考 的内角A B C的对边分别为a b c 已知ABC 2cos coscos C aB bAc I 求C II 若的面积为 求的周长 7 cABC 3 3 2 ABC 题型八 图形问题题型八 图形问题 例 1 如图所示 货轮在海上以 40 km h 的速度沿着方位角 指从正北方向顺时针转到目标 方向线的水平转角 为 140 的方向航行 为了确定船位 船在B点观测灯塔A的方位角为 110 航行半小时后船到达C点 观测灯塔A的方位角是 65 则货轮到达C点时 与灯塔 A的距离是多少 例 2 2015 高考湖北 理 13 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到处A 时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上 行驶 600m 后到达处 测得此山顶在西30 B 偏北的方向上 仰角为 则此山的高度 m 75 30 CD 精品文档 第 17 页 共 20 页 17欢迎下载 正弦定理 余弦定理水平测试题正弦定理 余弦定理水平测试题 一 选择题 1 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若a2 c2 b2 ac 则角B的值为 3 A B C 或 D 或 6 3 6 5 6 3 2 3 2 已知锐角 ABC的面积为 3 BC 4 CA 3 则角C的大小为 3 A 75 B 60 C 45 D 30 3 2010 上海高考 若 ABC的三个内角满足 sin A sin B sin C 5 11 13 则 ABC A 一定是锐角三角形 B 一定是直角三角形 C 一定是钝角三角形 D 可能是锐角三角形 也可能是钝角三角形 4 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍 那么它的顶角的余弦值为 A B C D 5 18 3 4 3 2 7 8 5 2010 湖南高考 在 ABC中 角A B C所对的边长分别为a b c 若 C 120 c a 则 2 A a b B a b C a b D a与b大小不能确定 二 填空题 6 ABC中 a b c分别是角A B C所对的边 已知a b 3 C 30 则A 3