高中数学必修2--第二章《直线与平面的位置关系》知识点总结与练习

精品文档 1欢迎下载 第三节空间点 直线 平面间的位置关系 知识能否忆起 一 平面的基本性质 名称图示文字表示符号表示 公理 1 如果一条直线上的两 点在一个平面内 那 么这条直线在此平面 内 A l B l 且 A B l 公理 2 过不在一条直线上的 三点 有且只有一个 平面 公理 3 如果两个不重合的平 面有一个公共点 那 么它们有且只有一条 过该点的公共直线 P 且 P l 且 P l 二 空间直线的位置关系 1 位置关系的分类 Error Error 2 平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行 3 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 4 异面直线所成的角 或夹角 1 定义 设a b是两条异面直线 经过空间中任一点O作直线a a b b 把 a 与b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a与b所成的角 2 范围 0 2 三 直线与平面的位置关系 精品文档 2欢迎下载 位置关系图示符号表示公共点个数 直线l在平面 内l 无数个 直线l与平面 相交 l A 一个 直线l与平面 平行 l 0 个 四 平面与平面的位置关系 位置关系图示符号表示公共点个数 两个平面平行 0 个 两个平面相交 l 无数个 这些公共点均在交线l上 1 三个公理的作用 1 公理 1 的作用 检验平面 判断直线在平面内 由直线在平面内判断直线上 的点在平面内 2 公理 2 的作用 确定平面的依据 它提供了把空间问题转化为平面问题的条件 3 公理 3 的作用 判定两平面相交 作两相交平面的交线 证明多点共线 2 异面直线的有关问题 1 判定方法 反证法 利用结论即过平面外一点与 平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 如 图 2 所成的角的求法 平移法 平面的基本性质及应用 典题导入 精品文档 3欢迎下载 例 1 2012 湘潭模拟 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为AB的中点 F 为A1A的中点 求证 CE D1F DA三线共点 自主解答 EF綊CD1 1 2 直线D1F和CE必相交 设D1F CE P P D1F且D1F 平面AA1D1D P 平面AA1D1D 又P EC且CE 平面ABCD P 平面ABCD 即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点 而平面ABCD 平面AA1D1D AD P AD CE D1F DA三线共点 本例条件不变试证明E C D1 F四点共面 证明 E F分别是AB和AA1的中点 EF綊A1B 又A1D1綊B1C1綊BC 1 2 四边形A1D1CB为平行四边形 A1B CD1 从而EF CD1 EF与CD1确定一个平面 E C1 F D四点共面 由题悟法 1 证明线共点问题常用的方法是 先证其中两条直线交于一点 再证交点在第三条直 线上 2 证明点或线共面问题一般有以下两种途径 首先由所给条件中的部分线 或点 确 定一个平面 然后再证其余线 或点 均在这个平面内 将所有条件分为两部分 然后分 别确定平面 再证平面重合 以题试法 精品文档 4欢迎下载 1 1 2012 江西模拟 在空间中 下列命题正确的是 A 对边相等的四边形一定是平面图形 B 四边相等的四边形一定是平面图形 C 有一组对边平行的四边形一定是平面图形 D 有一组对角相等的四边形一定是平面图形 2 对于四面体ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 相对棱AB与CD所在直线异面 由顶点A作四面体的高 其垂足是 BCD三条高线的交点 若分别作 ABC和 ABD的边AB上的高 则这两条高所在的直线异面 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 解析 1 由 两平行直线确定一个平面 知 C 正确 2 由四面体的概念可知 AB与CD所在的直线为异面直线 故 正确 由顶点A作四面体的高 只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时 其垂足是 BCD的三条高线的交点 故 错误 当DA DB CA CB时 这两条高线共面 故 错误 设AB BC CD DA的中点依次为E F M N 易证四边形 EFMN为平行四边形 所以EM与FN相交于一点 易证另一组对棱中点的连线也过它们的交 点 故 正确 答案 1 C 2 异面直线的判定 典题导入 例 2 2012 金华模拟 在图中 G N M H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线GH MN是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 自主解答 图 中 直线GH MN 图 中 G H N三点共面 但M 面GHN 因此直线GH与MN异面 图 中 连接MG GM HN 因此GH与MN共面 精品文档 5欢迎下载 图 中 G M N共面 但H 面GMN 因此GH与MN异面 所以图 中GH与MN异面 答案 由题悟法 1 异面直线的判定常用的是反证法 先假设两条直线不是异面直线 即两条直线平行 或相交 由假设的条件出发 经过严格的推理 导出矛盾 从而否定假设肯定两条直线异 面 此法在异面直线的判定中经常用到 2 客观题中 也可用下述结论 过平面外一点和平面内一点的直线 与平面内不过该 点的直线是异面直线 以题试法 2 已知m n l为不同的直线 为不同的平面 有下面四个命题 m n为异面直线 过空间任一点P 一定能作一条直线l与m n都相交 m n为异面直线 过空间任一点P 一定存在一个与直线m n都平行的平面 l m n m n与l都斜交 则m与n一定不垂直 m n是 内两相交直线 则 与 相交的充要条件是m n至少有一条与 相交 则四个结论中正确的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 B 错误 因为过直线m存在一个与直线n平行的平面 当点P在这个平 面内且不在直线m上时 就不满足结论 错误 因为过直线m存在一个与直线n平行的 平面 当点P在这个平面内时 就不满足结论 正确 否则 若m n 在直线m上取 一点作直线a l 由 得a n 从而有n 则n l 正确 异面直线所成角 典题导入 例 3 2012 大纲全国卷 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为BB1 CC1的中 点 那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为 自主解答 连接DF 则AE DF D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角 设正方体棱长为a 则D1D a DF a D1F a 5 2 5 2 精品文档 6欢迎下载 cos D1FD 5 2 a 2 5 2 a 2 a2 2 5 2 a 5 2 a 3 5 答案 3 5 由题悟法 求异面直线所成的角一般用平移法 步骤如下 1 一作 即找或作平行线 作出异面直线所成的角 2 二证 即证明作出的角是异面直线所成的角 3 三求 解三角形 求出所作的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角 以题试法 3 2012 唐山模拟 四棱锥P ABCD的所有侧棱长都为 底面ABCD是边长为 2 的 5 正方形 则CD与PA所成角的余弦值为 A B 25 5 5 5 C D 4 5 3 5 解析 选 B 如图所示 因为四边形ABCD为正方形 故 CD AB 则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角 PAB 在 PAB内 PB PA AB 2 利用余弦定理可知 5 cos PAB PA2 AB2 PB2 2 PA AB 5 4 5 2 2 5 5 5 小题能否全取 1 教材习题改编 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b A 异面 B 相交 C 不可能平行 D 不可能相交 解析 选 C 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线 但不可能为平行 直线 若b c 则a b 与a b是异面直线相矛盾 2 2012 东北三校联考 下列命题正确的个数为 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 精品文档 7欢迎下载 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 选 C 错误 正确 3 已知空间中有三条线段AB BC和CD 且 ABC BCD 那么直线AB与CD的位置 关系是 A AB CD B AB与CD异面 C AB与CD相交 D AB CD或AB与CD异面或AB与CD相交 解析 选 D 若三条线段共面 如果AB BC CD构成等腰三角形 则直线AB与CD相 交 否则直线AB与CD平行 若不共面 则直线AB与CD是异面直 线 4 教材习题改编 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是AB AD的中点 则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 解析 连接B1D1 D1C 则B1D1 EF 故 D1B1C为所求 又B1D1 B1C D1C D1B1C 60 答案 60 5 教材习题改编 平行六面体ABCD A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数 为 解析 如图 与AB和CC1都相交的棱有BC 与AB相交且与CC1 平行的棱有AA1 BB1 与AB平行且与CC1相交的棱有CD C1D1 故 符合条件的棱共有 5 条 答案 5 第四节直线 平面平行的判定及性质 精品文档 8欢迎下载 知识能否忆起 一 直线与平面平行 1 判定定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行 则直线与此平面平行 Error Error a 2 性质定理 文字语言图形语言符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平 行 则过这条直线的任 一平面与此平面的交线 与该直线平行 Error Error a b 二 平面与平面平行 1 判定定理 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 Error Error 2 两平面平行的性质定理 文字语言图形语言符号语言 性质定理 如果两个平行平面同时 和第三个平面相交 那 么它们的交线平行 Error Error a b 1 平行问题的转化关系 精品文档 9欢迎下载 判定性质 线 线 判定 性质线 面 判定 性质面 面 2 在解决线面 面面平行的判定时 一般遵循从 低维 到 高维 的转化 即从 线线平行 到 线面平行 再到 面面平行 而在性质定理的应用中 其顺序恰好相 反 但也要注意 转化的方向总是由题目的具体条件而定 决不可过于 模式化 3 辅助线 面 是求证平行问题的关键 注意平面几何中位线 平行四边形及相似中有 关平行性质的应用 线面平行 面面平行的基本问题 典题导入 例 1 2011 福建高考 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 点E为AD的中点 点F在CD上 若EF 平面AB1C 则线段EF的长度 等于 自主解答 因为直线EF 平面AB1C EF 平面ABCD 且平面 AB1C 平面ABCD AC 所以EF AC 又因为点E是DA的中点 所以F是DC的中点 由中 位线定理可得EF AC 又因为在正方体ABCD A1B1C1D1中 AB 2 所以AC 2 所以 1 22 EF 2 答案 2 本例条件变为 E是AD中点 F G H N分别是AA1 A1D1 DD1与D1C1的中点 若M 在四边形EFGH及其内部运动 则M满足什么条件时 有MN 平面A1C1CA 解 如图 GN 平面AA1C1C EG 平面AA1C1C 又GN EG G 平面EGN 平面AA1C1C 当M在线段EG上运动时 恒有MN 平面AA1C1C 由题悟法 解决有关线面平行 面面平行的基本问题要注意 精品文档 10欢迎下载 1 判定定理与性质定理中易忽视的条件 如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽 视 2 结合题意构造或绘制图形 结合图形作出判断 3 举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确 以题试法 1 1 2012 浙江高三调研 已知直线l 平面 P 那么过点P且平行于直线l 的直线 A 只有一条 不在平面 内 B 有无数条 不一定在平面 内 C 只有一条 且在平面 内 D 有无数条 一定在平面 内 解析 选 C 由直线l与点P可确定一个平面 且平面 有公共点 因此它们有 一条公共直线 设该公共直线为m 因为l 所以l m 故过点P且平行于直线l的直 线只有一条 且在平面 内 2 2012 潍坊模拟 已知m n l1 l2表示直线 表示平面 若 m n l1 l2 l1 l2 M 则 的一个充分条件是 A m 且l1 B m 且n C m 且n l2 D m l1且n l2 解析 选 D 由定理 如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行 那么 这两个平面平行 可得 由选项 D 可推知 直线与平面平行的判定与性质 典题导入 例 2 2012 辽宁高考 如图 直三棱柱 ABC A B C BAC 90 AB AC AA 1 点 2 M N分别为A B和B C 的中点 1 证明 MN 平面A ACC 2 求三棱锥A MNC的体积 锥体体积公式V Sh 1 3 其中S为底面面积 h为高 自主解答 1 证明 法一 连接AB AC 因为点 M N分别是A B和B C 的中点 所以点M为AB 的中点 精品文档 11欢迎下载 又因为点N为B C 的中点 所以MN AC 又MN 平面A ACC AC 平面A ACC 因此MN 平面A ACC 法二 取A B 的中点P 连接MP 而点M N分别为AB 与B C 的中点 所以 MP AA PN A C 所以MP 平面A ACC PN 平面A ACC 又MP PN P 因此平面MPN 平面A ACC 而MN 平面MPN 因此MN 平面A ACC 2 法一 连接BN 由题意得A N B C 平面A B C 平面 B BCC B C 所以A N 平面NBC 又A N B C 1 1 2 故VA MNC VN A MC VN A BC VA NBC 1 2 1 2 1 6 法二 VA MNC VA NBC VM NBC VA NBC 1 2 1 6 由题悟法 利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线 可先直观判断 平面内是否已有 若没有 则需作出该直线 常考虑三角形的中位线 平行四边形的对边 或过已知直线作一平面找其交线 以题试法 2 2012 淄博模拟 如图 在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1 中 E F分别是BD BB1的中点 1 求证 EF 平面A1B1CD 2 求证 EF AD1 解 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 连接B1D 在平面BB1D内 E F分别为BD BB1的中点 EF B1D 又 B1D 平面A1B1CD EF 平面A1B1CD EF 平面A1B1CD 2 ABCD A1B1C1D1是正方体 精品文档 12欢迎下载 AD1 A1D AD1 A1B1 又A1D A1B1 A1 AD1 平面A1B1D AD1 B1D 又由 1 知 EF B1D EF AD1 平面与平面平行的判定与性质 典题导入 例 3 如图 已知ABCD A1B1C1D1是棱长为 3 的正方体 点E 在AA1上 点F在CC1上 G在BB1上 且AE FC1 B1G 1 H是 B1C1的中点 1 求证 E B F D1四点共面 2 求证 平面A1GH 平面BED1F 自主解答 1 在正方形AA1B1B中 AE B1G 1 BG A1E 2 BG綊A1E 四边形A1GBE是平行四边形 A1G BE 又C1F綊B1G 四边形C1FGB1是平行四边形 FG綊C1B1綊D1A1 四边形A1GFD1是平行四边形 A1G綊D1F D1F綊EB 故E B F D1四点共面 2 H是B1C1的中点 B1H 3 2 又B1G 1 B1G B1H 2 3 又 且 FCB GB1H 90 FC BC 2 3 B1HG CBF B1GH CFB FBG 精品文档 13欢迎下载 HG FB GH 面FBED1 FB 面FBED1 GH 面BED1F 由 1 知A1G BE A1G 面FBED1 BE 面FBED1 A1G 面BED1F 且HG A1G G 平面A1GH 平面BED1F 由题悟法 常用的判断面面平行的方法 1 利用面面平行的判定定理 2 面面平行的传递性 3 利用线面垂直的性质 l l 以题试法 3 2012 北京东城二模 如图 矩形AMND所在的平面与直角梯 形MBCN所在的平面互相垂直 MB NC MN MB 1 求证 平面AMB 平面DNC 2 若MC CB 求证 BC AC 证明 1 因为MB NC MB 平面DNC NC 平面DNC 所以MB 平面DNC 又因为四边形AMND为矩形 所以MA DN 又MA 平面DNC DN 平面DNC 所以MA 平面DNC 又MA MB M 且MA MB 平面AMB 所以平面AMB 平面DNC 2 因为四边形AMND是矩形 所以AM MN 因为平面AMND 平面MBCN 且平面AMND 平面MBCN MN 所以AM 平面MBCN 因为BC 平面MBCN 所以AM BC 因为MC BC MC AM M 所以BC 平面AMC 因为AC 平面AMC 所以BC AC 精品文档 14欢迎下载 小题能否全取 1 教材习题改编 下列条件中 能作为两平面平行的充分条件的是 A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 解析 选 D 由面面平行的定义可知 一平面内所有的直线都平行于另一个平面时 两平面才能平行 故 D 正确 2 已知直线a b 平面 则以下三个命题 若a b b 则a 若a b a 则b 若a b 则a b 其中真命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 选 A 对于命题 若a b b 则应有a 或a 所以 不正确 对于命题 若a b a 则应有b 或b 因此 也不正确 对于命题 若a b 则应有a b或a与b相交或a与b异面 因此 也不 正确 3 教材习题改编 若一直线上有相异三个点A B C到平面 的距离相等 那么直线 l与平面 的位置关系是 A l B l C l与 相交且不垂直 D l 或l 解析 选 D 由于l上有三个相异点到平面 的距离相等 则l与 可以平行 l 时也成立 4 平面 平面 a b 则直线a b的位置关系是 解析 由 可知 a b的位置关系是平行或异面 答案 平行或异面 5 2012 衡阳质检 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是DD1的中点 则BD1与平面ACE 的位置关系为 解析 如图 连接AC BD交于O点 连接OE 因为OE BD1 而OE 平面 ACE BD1 平面ACE 所以BD1 平面ACE 精品文档 15欢迎下载 答案 平行 第五节直线 平面垂直的判定与性质 知识能否忆起 一 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义 直线l与平面 内的任意一条直线都垂直 就说直线l与平面 互相垂直 2 直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直 则该直线与此 平面垂直 Error Error l 推论 如果在两条平行直线 中 有一条垂直于平 面 那么另一条直线 也垂直这个平面 Error Error b 3 直线与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的两 条直线平行 Error Error a b 二 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言符号语言 精品文档 16欢迎下载 判定定理 一个平面过另一个平面 的垂线 则这两个平面 垂直 Error Error 2 平面与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言 性质定理 两个平面垂直 则一个 平面内垂直于交线的直 线垂直于另一个平面 Error Error l 1 在证明线面垂直 面面垂直时 一定要注意判定定理成立的条件 同时抓住线 线 线面 面面垂直的转化关系 即 2 在证明两平面垂直时 一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中 不存在 则可通过作辅助线来解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 3 几个常用的结论 1 过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2 过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直 垂直关系的基本问题 典题导入 例 1 2012 襄州模拟 若m n为两条不重合的直线 为两个不重合的平面 给出下列命题 若m n都平行于平面 则m n一定不是相交直线 若m n都垂直 于平面 则m n一定是平行直线 已知 互相垂直 m n互相垂直 若m 则 n m n在平面 内的射影互相垂直 则m n互相垂直 其中的假命题的序号是 自主解答 显然错误 因为平面 平面 平面 内的所有直线都平行 所以 内的两条相交直线可同时平行于 正确 如图 1 所示 若 l 且n l 当 精品文档 17欢迎下载 m 时 m n 但n 所以 错误 如图 2 显然当m n 时 m不垂直于n 所以 错误 答案 由题悟法 解决此类问题常用的方法有 依据定理条件才能得出结论的 可结合符合题意的图 形作出判断 否定命题时只需举一个反例 寻找恰当的特殊模型 如构造长方体 进行 筛选 以题试法 1 2012 长春模拟 设a b是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列四 个命题 若a b a b 则b 若a a 则 若a 则 a 或a 若a b a b 则 其中正确命题的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 D 对于 由b不在平面 内知 直线b或者平行于平面 或者与平面 相交 若直线b与平面 相交 则直线b与直线a不可能垂直 这与已知 a b 相矛 盾 因此 正确 对于 由a 知 在平面 内必存在直线a1 a 又a 所以有 a1 所以 正确 对于 若直线a与平面 相交于点A 过点A作平面 的交线的垂线m 则m 又 则有a m 这与 直线a m有公共点A 相矛盾 因此 正确 对于 过空间一点O分别向平面 引垂线a1 b1 则有a a1 b b1 又a b 所以a1 b1 所以 因此 正确 综上所述 其中正确命题的个数为 4 直线与平面垂直的判定与性质 典题导入 例 2 2012 广东高考 如图所示 在四棱锥P ABCD中 AB 平面PAD AB CD PD AD E是PB的中点 F是DC上的 点且DF AB PH为 PAD中AD边上的高 1 2 1 证明 PH 平面ABCD 精品文档 18欢迎下载 2 若PH 1 AD FC 1 求三棱锥E BCF的体积 2 3 证明 EF 平面PAB 自主解答 1 证明 因为AB 平面PAD PH 平面PAD 所以PH AB 因为PH为 PAD中AD边上的高 所以PH AD 因为PH 平面ABCD AB AD A AB AD 平面ABCD 所以PH 平面ABCD 2 如图 连接BH 取BH的中点G 连接EG 因为E是PB的中点 所以EG PH 且EG PH 1 2 1 2 因为PH 平面ABCD 所以EG 平面ABCD 因为AB 平面PAD AD 平面PAD 所以AB AD 所以底面ABCD为直角梯形 所以VE BCF S BCF EG FC AD EG 1 3 1 3 1 2 2 12 3 证明 取PA中点M 连接MD ME 因为E是PB的中点 所以ME綊AB 1 2 又因为DF綊AB 所以ME綊DF 所以四边形MEFD是平行四边形 所以EF MD 1 2 因为PD AD 所以MD PA 因为AB 平面PAD 所以MD AB 因为PA AB A 所以MD 平面PAB 所以EF 平面PAB 由题悟法 证明直线和平面垂直的常用方法有 1 利用判定定理 2 利用判定定理的推论 a b a b 3 利用面面平行的性质 a a 4 利用面面垂直的性质 当两个平面垂直时 在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 以题试法 精品文档 19欢迎下载 2 2012 启东模拟 如图所示 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN CD 2 若 PDA 45 求证 MN 平面PCD 证明 1 连接AC AN BN PA 平面ABCD PA AC 在 Rt PAC中 N为PC中点 AN PC 1 2 PA 平面ABCD PA BC 又BC AB PA AB A BC 平面PAB BC PB 从而在 Rt PBC中 BN为斜边PC上的中线 BN PC 1 2 AN BN ABN为等腰三角形 又M为AB的中点 MN AB 又 AB CD MN CD 2 连接PM MC PDA 45 PA AD AP AD 四边形ABCD为矩形 AD BC AP BC 又 M为AB的中点 AM BM 而 PAM CBM 90 PAM CBM PM CM 又N为PC的中点 MN PC 由 1 知 MN CD PC CD C MN 平面PCD 面面垂直的判定与性质 典题导入 例 3 2012 江苏高考 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 A1B1 A1C1 D E分别是棱BC CC1上的点 点D不同于点C 且 AD DE F为B1C1的中点 求证 1 平面ADE 平面BCC1B1 2 直线A1F 平面ADE 自主解答 1 因为ABC A1B1C1是直三棱柱 所以CC1 平面 ABC 精品文档 20欢迎下载 又AD 平面ABC 所以CC1 AD 又因为AD DE CC1 DE 平面BCC1B1 CC1 DE E 所以AD 平面BCC1B1 又AD 平面ADE 所以平面ADE 平面BCC1B1 2 因为A1B1 A1C1 F为B1C1的中点 所以A1F B1C1 因为CC1 平面A1B1C1 且A1F 平面A1B1C1 所以CC1 A1F 又因为CC1 B1C1 平面BCC1B1 CC1 B1C1 C1 所以A1F 平面BCC1B1 由 1 知AD 平面BCC1B1 所以A1F AD 又AD 平面ADE A1F 平面ADE 所以A1F 平面ADE 由题悟法 1 判定面面垂直的方法 1 面面垂直的定义 2 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 转化为线面垂直或线线垂直 转化方法 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂 直 以题试法 3 2012 泸州一模 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为 菱形 BAD 60 Q为AD的中点 1 若PA PD 求证 平面PQB 平面PAD 2 若点M在线段PC上 且PM tPC t 0 试确定实数t的值 使得PA 平面MQB 解 1 因为PA PD Q为AD的中点 所以PQ AD 连接BD 因为四边形ABCD为菱形 BAD 60 所以AB BD 所以BQ AD 因为BQ 平面PQB PQ 平面PQB BQ PQ Q 所以AD 平面PQB 精品文档 21欢迎下载 因为AD 平面PAD 所以平面PQB 平面PAD 2 当t 时 PA 平面MQB 1 3 证明如下 连接AC 设AC BQ O 连接OM 在 AOQ与 COB中 因为AD BC 所以 OQA OBC OAQ OCB 所以 AOQ COB 所以 所以 即 AO OC AQ CB 1 2 AO AC 1 3 OC AC 2 3 由PM PC 知 所以 所以AP OM 1 3 CM CP 2 3 CM CP OC AC 因为OM 平面MQB PA 平面MQB 所以PA 平面MQB 小题能否全取 1 教材习题改编 已知平面 直线l 若 l 则 A 垂直于平面 的平面一定平行于平面 B 垂直于直线l的直线一定垂直于平面 C 垂直于平面 的平面一定平行于直线l D 垂直于直线l的平面一定与平面 都垂直 解析 选 D A 中平面可与 平行或相交 不正确 B 中直线可与 垂直或斜交 不正确 C 中平面可与直线l平行或相交 不正确 2 2012 厦门模拟 如图 O为正方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD的中心 则下列直线中与B1O垂直的是 A A1D B AA1 C A1D1 D A1C1 解析 选 D 易知A1C1 平面BB1D1D 又B1O 平面BB1D1D A1C1 B1O 3 已知 是两个不同的平面 m n是两条不重合的直线 则下列命题中正确的是 A 若m n 则m n B 若m m n 则n C 若m n 则m n D 若 n m n 则m 解析 选 C 对于选项 A 若m n 则m n 或m n是异面直线 所以 A 精品文档 22欢迎下载 错误 对于选项 B n可能在平面 内 所以 B 错误 对于选项 D m与 的位置关系还可 以是m m 或m与 斜交 所以 D 错误 由面面垂直的性质可知 C 正确 4 如图 已知PA 平面ABC BC AC 则图中直角三角形的个数为 解析 由线面垂直知 图中直角三角形为 4 个 答案 4 5 教材习题改编 如图 已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六 边形 PA 平面ABC PA 2AB 则下列命题正确的有 PA AD 平面ABC 平面PBC 直线BC 平面PAE 直 线PD与平面ABC所成角为 30 解析 由PA 平面ABC PA AD 故 正确 中两平面不垂 直 中AD与平面PAE相交 BC AD 故不正确 中PD与平面ABC所成角为 45 答案 高考真题 1919 20122012 安徽 安徽 如图 长方体中 底面是正方形 是的 1111 DCBAABCD 1111 DCBAOBD 中点 是棱上任意一点 E 1 AA 证明 1BDEC 如果 2 求 的长 ABAE2AE2 1 ECOE 1 AA 19 19 本题考察空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系判定 利用勾股定 理求线段的长等基础知识和基本技能 考查空间想象能力 推理论证能力和运算 求解能力 证明 证明 连接AC A1B1 由底面是正方形知 BDAC 因为AA1 平面ABCD BD平面ABCD 所以AA1BD 又由AA1 AC A 所以BD平面AA1C1C 精品文档 23欢迎下载 再由EC1平面AA1C1C知 BDEC1 第第 1919 题图 题图 解 解 设AA1的长是h 连接OC1 在 Rt OAE中 AE AO 22 故 222 2 2 4OE 在 Rt EA1C1中 111 2 2 2AEhAC 故 222 1 2 2 2 ECh 在 Rt OCC1中 2OC 1 CCh 222 1 2 OCh 因为 所以 即 1 OEEC 222 1 OEECOC 2222 4 2 2 2 2 hh 解得 3 2h 所以的长为 1 AA3 2 18 20132013 安徽安徽 如图 四棱锥的底面是边长为 2 的菱形 已知PABCD ABCD60BAD 2 6PBPDPA 证明 PCBD 若为的中点 求三菱锥的体积 EPAPBCE 解析 精品文档 24欢迎下载 1 证明 连接交于点 BD ACO PBPD POBD 又是菱形 ABCDBDAC 而 面 ACPOO BD PAC BDPC 2 由 1 面 BDPAC 45sin326 2 1 2 1 PACPEC SS 3 2 2 36 1111 3 2322 P BECB PECPEC VVSBO 考点定位 考查空间直线与直线 直线与平面的位置 三棱锥体积等基础知识和基本技 能 考查空间观念 推理论证能力和运算能力 19 2011 安徽 如图 为多面体 平面与平面垂直 点在线段上 ABEDFCABEDACFDOAD OAB OAC ODE ODF 都是正三角形 1OA 2OD 证明直线 BCEF 求棱锥的体积 FOBED 19 本小题满分 13 分 本题考查空间直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关 系 空间直线平行的证明 多面体体积的计算 考查空间想象能力 推理论证能力和运算 求解能力 精品文档 25欢迎下载 I 证明 设G是线段DA与EB延长线的交点 由于 OAB 与 ODE 都是正三角形 所 以 OG OD 2 OBDE 2 1 同理 设是线段 DA 与 FC 延长线的交点 有 G 2 ODGO 又由于 G 和都在线段 DA 的延长线上 所以 G 与重合 G G 在 GED 和 GFD 中 由 和 OC 可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中点 OBDE 2 1 DF 2 1 所以 BC 是 GEF 的中位线 故 BC EF II 解 由 OB 1 OE 2 而 OED 是边长为 2 的正三 2 3 60 EOB SEOB知 角形 故 3 OED S 所以 2 33 OEDEOBOEFD SSS 过点 F 作 FQ DG 交 DG 于点 Q 由平面 ABED 平面 ACFD 知 FQ 就是四棱锥 F OBED 的高 且 FQ 所以3 2 3 3 1 OBEDOBEDF SFQV 19 2010 安徽 如图 在多面体 ABCDEF 中 四边形 ABCD 是正方形 AB 2EF 2 EF AB EF FB BFC 90 BF FC H 为 BC 的中点 求证 FH 平面 EDB 求证 AC 平面 EDB 求四面体 B DEF 的体积 本小题满分 13 分 本题考查空间线面平行 线面垂直 面面垂直 体积的计 算等基础知识 同时考查空间想象能力与推理论证能力 精品文档 26欢迎下载 证 设 AC 与 BD 交于点 G 则 G 为 AC 的中点 连 EG GH 由于 H 为 BC 的 中点 故 GH AB 且 GH AB 又 EF AB 且 EF AB 1 2 1 2 EF GH 且 EF GH 四边形 EFHG 为平行四边形 EG FH 而 EG 平面 EDB FH 平面 EDB 证 由四边形 ABCD 为正方形 有 AB BC 又 EF AB EF BC 而 EF FB EF 平面 BFC EF FH AB FH 又 BF FC H 为 BC 的中点 FH BC FH 平面 ABCD FH AC 又 FH EG AC EG 又 AC BD EG BD G AC 平面 ED