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1 / 4参数方程在解题中的广泛应用一、探求几何最值问题有时在求多元函数的几何最值有困难，我们不妨采用参数方程进行转化，化为求三角函数的最值问题来处理。例 1 在ABC 中，A,B,C 所对的边分别为a、b、c，且 c=10,，P 为ABC 的内切圆的动点，求点 P 到顶点 A、B、C 的距离的平方和的最大值和最小值。解由，运用正弦定理，可得：sinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B由 AB，可得 2A=-2B。A+B=，则ABC 为直角三角形。又 C=10,，可得：a=6,b=8,r=2如图建立坐标系，则内切圆的参数方程为所以圆上动点 P 的坐标为，从而=80-8cos因 02，所以例 2 过抛物线的焦点作倾角为 的直线交抛物线于2 / 4A、B 两点，设 0，当 取什么值时，AB取最小值。解抛物线的普通方程为=2px，其焦点为。设直线 l 的参数方程为：代入抛物线方程2px 得：又0当 =时，AB取最小值 2p。二、解析几何中证明型问题运用直线和圆的标准形式的参数方程中参数的几何意义，能简捷地解决有关与过定点的直线上的动点到定点的距离有关的问题。例 3 在双曲线中，右准线与 x 轴交于 A，过 A 作直线与双曲线交于 B、C 两点，过右焦点 F 作 AC 的平行线，与双曲线交于 M、N 两点，求证：FMFN=ABAC。证明设 F 点坐标为，A 点坐标为。又，设 AC 的倾角为 ，则直线 AC 与 MN 的参数方程依次为：12 下一页将、代入双曲线方程，化简得：3 / 4同理，将、代入双曲线方程整理得：FMFN=FMFN=ABAC。双曲线的一条准线与实轴交于 P 点，过 P 点引一直线和双曲线交于 A、B 两点，又过一焦点 F 引直线垂直于 AB和双曲线交于 C、D 两点，求证：FCFD=2PAPB。证明由已知可得。设直线 AB 的倾角为 ，则直线AB的参数方程为代入，可得：据题设得直线 CD 方程为代入，得：，从而得，即得FCFD=2PAPB。三、探求解析几何定值型问题在解析几何中点的坐标为，有二个变元，若用参数方程则只有一个变元，则对于有定值和最值时，参数法显然比较简单。例 5 从椭圆上任一点向短轴的两端点分别引直线，求这两条直线在 x 轴上截距的乘积。解化方程为参数方程：4 / 4设 P 为椭圆上任一点，则 P。于是，直线 BP 的方程为：直线的方程为：令 y=0 代入 BP,的方程，分别得
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