高一物理竞赛讲义第5讲.教师版

精品文档 1欢迎下载 温馨寄语 截止到目前 我们已经把运动学的主要框架知识都学习完了 但是从学完知识到灵活运用 还有很 远的一段路程 大家应该重点从公式和物理量的推导 方法 模型的总结几个方面去反复复习 知识点睛 运动学思想方法总结 运动学思想方法总结 1 坐标系方法 坐标系是定量研究世界的一个非常重要的工具 利用坐标系可以很容易的定义 物理量 比如 位置 位移 轨迹 速度 加速度等等 分析物理量之间的关系 最大 最小 曲 率半径等等 坐标系方法除了我们学习过的正交分解和斜分解 还有以后会学习到的极坐标等等 要注 意根据不同的例题采用不同的方法 例题精讲 例 1 如图所示 冰球沿与冰山底边成的方向滚上山 上山初速度 它在冰 a60 0 10m sv 山上痕迹已部分消失 尚存痕迹如图所示 求冰山与水平面的夹角 冰球在冰山上 b 加速度为 gsin 方向沿着斜面向下 其中 g 为重力加速度 近似取 10m s2 解析 冰球在与冰山底边平行方向做匀速直线运动 0cos xvt 冰球在与冰山底边垂直方向做匀加速直线运动 2 1 sin 2 ygt 由 得 2 22 0 sin 2cos gx y v 代入数据得 1 arcsin30 2 例 2 如图所示 已知在倾角为的斜面上 以初速度及与斜面成角的方向发射一小球 斜 0 v 面与小球发生完全弹性碰撞 即小球的速度会被 镜面反射 问 第 5 讲 运动学综合 精品文档 2欢迎下载 小球恰能到原始出发点 问总时间为多少 t总 为了实现这个过程 必须满足什么条件 解析 小球若能回到出发点要求整个过程可逆 即在最右端可能有 两种情况 为最后一次与斜面碰撞角度为 90 即在碰后小球进入竖直直线运动 无论哪种情况 时间都满足 0 2cos sin v t g 总 只看垂直斜面速度 0 0 2sin cos 2sin21 2cos v n g t vn g 总 1234n 所以有时都可以满足 2 2 cos 21 sin 2 n n 例 3 摆线 一轮胎在水平地面上沿着一直线无滑动地滚动 这种情况下 轮胎边缘一点相对 于轮胎中心的线速度等于轮胎中心对地的速率 轮胎中心以恒定的速率向前移动 轮胎 0 v 的半径为 在时 轮胎边缘上的一点 A 正好和地面上的 O 点接触 试以 O 为坐标原R0t 点 在如图的直角坐标系中写出轮胎上 A 点的位矢 速度 加速度和时间的函数关系 并 写出 A 的轨迹方程 可以用参数方程描述 也就是说 可以引入一个新的自变量 x和y 都随着这个自变量的变化而变化 最常见的参数方程 就是以时间 t 为参数的 A A O x y 0 v 解析 sin 0 0 R tv Rtvx cos 0 R tv RRy 选讲内容 白努力家族大斗法 白努力家族 Bernoulli 家族 总共出过八个伟大的数学 物理 天文等等大师 还有很多画家 艺术家 白努力兄弟想比较一下谁更聪明 于是就相约解决最速降线问题 在当时比较牛逼的杂志上公开征集答案 他们各自提出了证明 杂志的主编 莱布尼茨也提出了证 明 还有一个陌生人发来了一个有英国邮戳的证明 肯定是牛顿 最后所有的证明中 Johann 的证明是最简洁明了了 如下 精品文档 3欢迎下载 JohannJohann Bernoulli sBernoulli s solutionsolution约翰白努力的证明 According to Fermat s principle The actual path between two points taken by a beam of light is the one which is traversed in the least time Johann Bernoulli used this principle to derive the brachistochrone curve by considering the trajectory of a beam of light in a medium where the speed of light increases following a constant vertical acceleration that of gravity g 2 The conservation law can be used to express the speed of a body in a constant gravitational field as where y represents the vertical distance the body has fallen By conservation of energy the speed of motion of the body along an arbitrary curve does not depend on the horizontal displacement Johann Bernoulli noted that the law of refraction gives a constant of the motion for a beam of light in a medium of variable density where vm is the constant and represents the angle of the trajectory with respect to the vertical The equations above allow us to draw two conclusions 1 At the onset when the particle speed is nil the angle must be nil Hence the brachistochrone curve is tangent to the vertical at the origin 2 The speed reaches a maximum value when the trajectory becomes horizontal and the angle 90 To keep things simple we can assume that the particle or the beam with coordinates x y departs from the point 0 0 and reaches maximum speed after a falling a vertical distance D So Rearranging terms in the law of refraction and squaring gives which can be solved for dx in terms of dy 精品文档 4欢迎下载 Substituting from the expressions for v and vm above gives which is the differential equation of an inverted cycloid generated by a circle of diameter D 例 4 一根长为 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面内转动 如图所示 杆最lO 初在水平位置 杆上距为处放有一小物体 可视为质点 杆与其上小物体最初均处于Oa 静止状态 若此杆突然以匀角速绕轴转动 设碰撞时细杆与水平面夹角为求追上 O B 细杆时与的关系 仅仅考虑比较小的情况 解析 对这一问题首先如下分析 当细杆以角速绕同转动时 的速度为零 杆上与接触处 OBO 则具有线速度 因而两者分离 作自由落体运动 由于的a BB 速度不断增大 有可能追上细杆而与之碰撞 设碰撞时细杆与水 平面夹角为 则随的增大而增大 当超过某一数值时 就可能碰不上而与 BB 之碰撞 所以本题要按这第一种情况进行讨论 求追上细杆时与的关系 B 设经过时间 后与细杆在处相碰 见图 1 则有BtD 2 1 tan 2 BDagt t 如给定的值 由此二式可求出相应的的值 由于杆长的限制 要发生碰撞 值必须满足一定条件 由图L 1 可知 此条件为 arccos m a L 根据这一条件和曲线 可以求出相应的的取值应符合的条 件 由式 消去 得或 t 2 2 2 tan g a 2tan g a 知识点睛 2 变换参考系 很多物理量在变换参考系的时候会有奇怪的性质发生 常见的有 位移 速 度 变换到某些参考系之后 有的非圆周运动变成了圆周运动 某些不规则运动变成了竖直或者水 平的运动 从而可以迅速解题 例题精讲 例 5 曲杆传动算得上机械史上一项伟大的发明 如图是汽缸中曲柄传动的应用 其变往复运动 为圆周运动 现在把这个实物简化为右图的模型 设汽缸正以速度v向下运动 角度如图 所示 圆盘的半径为r 计算圆盘转动的角速度 精品文档 5欢迎下载 解析 cos 90cos 0 vr 所以 sin cos r v 例 6 缠在线轴上的线绕过滑轮后 以恒定速度被拉出 如图所示 B 0 v 这时线轴沿水平面无滑动滚动 求线轴中心点的速度随线与水平O 方向的夹角的变化关系 线轴的内 外半径分别为和 rR 解析 线轴的运动可以看作是速度为的平动和角速度为的转动的合成 v 而且因为线轴不沿水平面滑动 有 v R 而点速度沿线方向的投影为 A 0 cosrvv 由 得 0 cos v R v rR 例 7 如图所示装置 设杆以角速度绕转动 其端则系以绕过滑轮的绳 绳子的末OA OAB 端挂一重物 已知 当时 求物体的速度 MOBh OBA M 解析 如右图所示 设 点绕轴转动的速度可表示为 90BAO AO A v A vOA 将分别为沿方向的速度 因点与绳系在一起 故有一分速 A vBA M vA A v 度 和与垂直的速度 则 M v M v v cos MA vv 在中 由正弦定理得 ABO sin 90sincos hOAh 由此得 此即物体的速度 绳上各点沿绳方向的速度大sin M vh M 小均与物体的速度大小相同 M 解法二 解法二 相对角速度法 想象杆子是静止不动的 墙转动过来 则直接有 相对角速度法 想象杆子是静止不动的 墙转动过来 则直接有 sin M vh 知识点睛 3 过程问题 小量分析 微元方法 微元法是高中竞赛必学的一个基本方法 它蕴含着微积 分的基本思想之一 通过分析小量之间的关系来求得宏观的结论 应用微元方法的时候一定要注意 哪些量可以忽略 二阶小量 哪些量是不可以忽略的 一阶小量 4 求极值 物理竞赛中用到的方法主要有 矢量几何方法求极值 二次函数极值 一元二次方程的 求极值 微元法求极值 均值定理求极值 利用导数求极值等等 0 精品文档 6欢迎下载 知识点睛 例 8 体会一下什么是包络线 就是一个曲线可以把我们给定的图形围起来 请分析下面的图形 的包络线 女王的冲击波 精品文档 7欢迎下载 例 9 二次世界大战中物理学家曾经研究 当大炮的位置固定 以同一速度沿各种角度发射 0 v 问 当飞机在哪一区域飞行之外时 不会有危险 换句话讲 求一个虚线 这个虚线包围了 所有可能被打到得范围 这个线我们叫做包络线 解析 结论是这一区域为一抛物线 此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线 此抛物线为 在大炮上方处 以平抛物体的轨迹 2 2 v h g 0 v 证明如下 0 2 0 cos 1 sin 2 xvt yvtgt 消掉 得到t 2222 2222 000 1 tantantan 2cos22 ggg yxxxxx vvv 处理方法有很多种 第一种 当做一个关于的方程来处理 tan 则一定有解 并且在有重根的时候有可能取到包络线 因为包络线以内的任意点都有两种 打击方式 得到 此际包络线 22 2 22 00 0 22 gxgx xy vv 22 0 2 0 22 vgx y gv 第二种 可以看出 当任意给定一个 都有一个y的最大值 这个最大的 m y满足的点 m yx就x 一定是包络线上的点 把y当做一个关于tan 的函数 求 m y 当 2 0 tan 2 vb agx 时候可以取到极值 也就是 精品文档 8欢迎下载 2 22 22 00 22 00 22 0 2 0 22 22 m vvgg yxxx gxvgxv vgx gv 于是就得到了包络线的数学表达式 例 10 设湖岸为一直线 有一小船自岸边的点沿与湖MNA 岸成角方向匀速向湖中央驶去 有一人自点同时15 A 出发 他先沿岸走一段再入水中游泳去追船 已知人在岸 上走的速度为 在水中游泳的速度 1 4m sv 为 试问船速至多为多少 此人才能追上船 2 2m sv 解析 解法一 由等效法求解 如图 设人在点刚好追上船 则人可能走很多途径 如 BACB ADB 等等在这些路径中 费时最少者即对应着允许的最大船速 如图 在湖岸这边AEB 作 自 各点分别向引垂线 设刚好为一直线 30NAP CDEAPCKDHBDH 和 设想图中的下侧也变成是湖水区域 则人由点游泳至点的时间与人在岸EFMNKC 上由点走至点的时间是相等的 因为 而 故人按题给情况经路AC 12 2vv 2ACKC 径所用的时间和假想人全部在水中游过路径等时 同理 与上述的ACB KCB 另两条实际路径等时的假想路径是和 由于在这些假想路径中 HDB FEB 速度大小都一样 故通过的路径最短费时最少 显然通过 直线费时最少 HDB 由以上分析知 人沿等效路径刚好在点追上船时 HDBB 对应着允许船速的最大值 设其为 则有 v 2 ABBH vv 由于为等腰直角三角形 故 故得AHB 2ABBH 2 22 2 m svv 解法二 由微元法求解 如图 设人在点刚好能追上船 且在人到达点的各种BB 实际路径中 以自处入水游泳所用的总时间最少 则若D 自点左侧附近的某点入水 必在点右侧有一入水点DCD 与之对应 使得在点和点入水两种情况下刚好追到ECE 船所用的总时间相等 在段上取 则应有人走BCBFBE 段和游段所用的时间相等 即 CECF 12 CECF vv 当点无限靠近点时 点必同时向点靠拢 由图可见此时将近似有 故CDEDEFBC 所以 由于此时点是无限靠近点的 故与接近重合 1 cos 2 CF CE 60 CDBCBD 即 60BDN 由上得出 当人自某点入水沿与岸成角方向游泳刚好追到船时 此情况下对应的船60 速为人能追上船的最大允许速度 设其为 如图 过相遇点作交于 vBBKBD MNK 因为 所以 60 2DKDB 又由于 则人游段与走段的距离所用的时间相等 故人自出发到在点追 12 2vv DBDKB 上船的时间等于他由点走到点的时间 即 AK 1 ABAK vv 在中 由正弦定理有 所以ABK sin301 sin1352 AB AK 精品文档 9欢迎下载 1 2 2 m s 2 v v 例 11 回忆这个题目 思考各种方法 三只小蜗牛所在位置形成一个等边三角形 三角形 的边长为 60cm 第一只蜗牛出发向第二只蜗牛爬去 同时 第二只向第三只爬去 第三只 向第一只爬去 每只蜗牛爬行的速度都是 5cm min 在爬行的过程中 每只蜗牛都始终保 持对准自己的目标 经过多长时间蜗牛们会相遇 相遇的时候 它们各自爬了多少路程 课后思考题 它们经过的路线可以用怎样的方程来描述 若将蜗牛视为质点 那么它 们在相遇前 绕着它们的最终相遇点转了多少圈 解析 解法一 相对速度法 将蜗牛 2 的速度矢量在指向蜗牛 1 的方向和与之垂直的方向上分解 见图 则两只蜗牛彼 此靠近的相对速度为 因此它们将在 60cm 7 5cm min 8 min 13 7 5cm min 22 vvv 后相遇 事实上 8 min 后三