解斜三角形

1 / 13解斜三角形本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 解斜三角形知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c22bccosA；b2=c2+a22cacosB；c2=a2+b22abcosc.在余弦定理中，令 c=90，这时 cosc=0，所以 c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由可得cosA=；cosB=；cosc=.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；2 / 13（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.点击双基1.在ABc 中，若 2cosBsinA=sinc，则ABc 的形状一定是A.等腰直角三角形 B.直角三角形c.等腰三角形 D.等边三角形解析：由 2cosBsinA=sinc得a=c，a=b.答案：c2.下列条件中，ABc 是锐角三角形的是+cosA=B.0+tanB+tanc=3，c=3，B=30解析：由 sinA+cosA=得 2sinAcosA=0，A 为钝角.由0，cos， 0.B 为钝角.3 / 13由 tanA+tanB+tanc0，得 tan（A+B）（1tanAtanB）+tanc0.tanAtanBtanc0，A、B、c 都为锐角.由=，得 sinc=，c=或.答案：c3.ABc 中，a、b、c 分别为A、B、c 的对边，如果 a、b、c 成等差数列，B=30，ABc 的面积为，那么b等于+解析：a、b、c 成等差数列，2b=a+c.平方得a2+c2=4b22ac.又ABc 的面积为，且B=30，故由SABc=acsinB=acsin30=ac=，得 ac=6.a2+c2=4b212.由余弦定理，得 cosB=，解得 b2=4+2.又 b为边长，b=1+.答案：B4.已知（a+b+c） （b+ca）=3bc，则A=_.解析：由已知得（b+c）2a2=3bc，b2+c2a2=bc.=.A=.答案：5.在锐角ABc 中，边长 a=1，b=2，则边长 c的取值范围是_.4 / 13解析：若 c是最大边，则 cosc0.0，c.又cba=1，1c.答案：（1， ）典例剖析【例 1】ABc 的三个内角 A、B、c 的对边分别是a、b、c，如果 a2=b（b+c） ，求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2Rsinc，代入 a2=b（b+c）中，得 sin2A=sinB（sinB+sinc）sin2Asin2B=sinBsinc=sinBsin（A+B）（cos2Bcos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（AB）=sinBsin（A+B） ，因为 A、B、c 为三角形的三内角，所以 sin（A+B）0.所以 sin（AB）=sinB.所以只能有 AB=B，即 A=2B.评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由 a2=b（b+c） ，得5 / 13cosA=，cos2B=2cos2B1=2（）21=1=.所以 cosA=cos2B.因为 A、B 是ABc 的内角，所以 A=2B.（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?解：由题设 a2=b（b+c） ，得=，作出ABc，延长 cA到 D，使 AD=AB=c，连结 BD.式表示的即是=，所以BcDABc.所以1=D.又 AB=AD，可知2=D，所以1=2.因为BAc=2+D=22=21，所以 A=2B.评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.【例 2】已知锐角ABc 中，sin（A+B）=，sin（AB）=.（1）求证：tanA=2tanB；（2）设 AB=3，求 AB边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：sin（A+B）=，sin（AB）=，6 / 13=2.tanA=2tanB.（2）解：A+B，sin（A+B）=.tan（A+B）=，即=.将 tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B4tanB1=0，解得 tanB=（负值舍去）.得tanB=，tanA=2tanB=2+.设 AB边上的高为 cD，则 AB=AD+DB=+=.由 AB=3得cD=2+，所以 AB边上的高为 2+.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例 3】在ABc 中，a、b、c 分别是A、B、c 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且 a2c2=acbc，求A 的大小及的值.剖析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系，要求A，需找A 与三边的关系，故可用余弦定理.由 b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值.解法一：a、b、c 成等比数列，b2=ac.又 a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABc 中，由余弦定理得cosA=，A=60.在ABc 中，由正弦定理得 sinB=，7 / 13b2=ac，A=60，=sin60=.解法二：在ABc 中，由面积公式得 bcsinA=acsinB.b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB.=sinA=.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.闯关训练夯实基础1.在ABc 中， “A30”是“sinA”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件c.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：在ABc 中，A300sinA1sinA；sinA30A150A30.答案：B2.如图，ABc 是简易遮阳棚，A、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成 40角，为了使遮阴影面 ABD面积最大，遮阳棚 ABc与地面所成的角为解析：作 cE平面 ABD于 E，则cDE 是太阳光线与地面8 / 13所成的角，即cDE=40，延长 DE交直线 AB于 F，连结cF，则cFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为 .要使 SABD最大，只需 DF最大.在cFD 中，=.DF=.cF 为定值，当 =50时，DF 最大.答案：c3.在ABc 中，角 A、B、c 所对的边分别是 a、b、c，若三角形的面积 S=（a2+b2c2） ，则c 的度数是_.解析：由 S=（a2+b2c2）得absinc=2abcosc.tanc=1.c=.答案：454.在ABc 中，若c=60，则=_.解析：=.（*）c=60，a2+b2c2=2abcosc=ab.a2+b2=ab+c2.代入（*）式得=1.答案：15.在ABc 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是=20，A=45，c=80=30，c=28，B=60=14，b=16，A=45=12，c=15，A=120解析：由 a=14，b=16，A=45及正弦定理，得=，所以9 / 13sinB=.因而 B有两值.答案：c培养能力6.在ABc 中，角 A、B、c 所对的边分别为 a、b、c，依次成等比数列，求 y=的取值范围.解：b2=ac，cosB=（+）.0B，y=sinB+cosB=sin（B+）.B+，sin（B+）1.故 1y.7.已知ABc 中，2（sin2Asin2c）=（ab）sinB，外接圆半径为.（1）求c；（2）求ABc 面积的最大值.解：（1）由 2（sin2Asin2c）=（ab）sinB得 2（）=（ab）.又R=，a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosc=.又0c180，c=60.（2）S=absinc=ab=2sinAsinB=2sinAsin（120A）=2sinA（sin120cosAcos120sinA）10 / 13=3sinAcosA+sin2A=sin2Asin2Acos2A+=sin（2A30）+.当 2A=120，即 A=60时，Smax=.8.在ABc 中，Bc=a，顶点 A在平行于 Bc且与 Bc相距为a的直线上滑动，求的取值范围.解：令 AB=kx，Ac=x（k0，x0） ，则总有sinB=，sinc=（图略） ，且由正弦定理得 sinB=sinA，所以a2=kx2sinBsinc=kx2sinA，由余弦定理，可得cosA=（k+sinA） ，所以 k+=sinA+2cosA=.所以k2k+10，所以k.所以的取值范围为， .探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过 A点到市中心 o点后转向东北方向 oB，现要修建一条铁路 L，L 在 oA上设一站 A，在 oB上设一站 B，铁路在 AB部分为直线段，现要求市中心 o与 AB的距离为 10km，问把 A、B 分别设在公路上离中心 o多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在AoB 中，设 oA=a，oB=b.因为 Ao为正西方向，oB 为东北方向，所以AoB=135.11 / 13则|AB|2=a2+b22abcos135=a2+b2+ab2ab+ab=（2+）ab，当且仅当 a=b时， “=”成立.又 o到 AB的距离为 10，设oAB=，则oBA=45.所以 a=，b=，ab=，当且仅当 =2230时， “=”成立.所以|AB|2=400（+1）2，当且仅当 a=b，=2230时， “=”成立.所以当 a=b=10时，|AB|最短，其最短距离为 20（+1） ，即当 AB分别在 oA、oB 上离 o点 10km处，能使|AB|最短，最短距离为 20（1）.思悟小结1.在ABc 中，A+B+c=，sin=cos，cos=sin，tan=cot.2.A、B、c 成等差数列的充分必要条件是B=60.3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanc=tanAtanc.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：12 / 13化边为角；化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.教师下载中心教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.拓展题例【例 1】已知 A、B、c 是ABc 的三个内角，y=cotA+.（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.（2）求 y的最小值.解：（1）y=cotA+=cotA+=cotA+=cotA+cotB+cotc，13 / 13任意交换两个角的位置，y 的值不变化.（2）cos（Bc）1，ycotA+=+2tan=（cot+3tan）=.故当 A=B=c=时，ymin=.评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在ABc 中，求证：cotA+cotB+c