高考数学--导数中二次求导的运用

精品文档 1欢迎下载 高考数学高考数学 导数中二次求导的运用导数中二次求导的运用 理 2010 全国卷一第 20 题 已知函数 1 ln1f xxxx 若 求的取值范围 2 1xfxxax a 证明 1 0 xf x 解析 解析 先看第一问 首先由可知函数的定义域为 1 ln1f xxxx f x 0 易得 1 1 ln11lnfxxxx xx 则由可知 化简得 2 1xfxxax 2 1 ln1xxxax x 这时要观察一下这个不等式 显然每一项都有因子 而又大于 2 lnxxxax xx 零 所以两边同乘可得 所以有 在对求导有 1 x ln xxa lnaxx lng xxx 即当 时 0 在区间上为增函数 当 1 1gx x 0 x1 gx g x 0 1 时 当 时 0 在区间上为减函数 1x 0g x 1x gx g x 1 所以在时有最大值 即 又因为 g x1x ln11g xxxg lnaxx 所以 1a 应该说第一问难度不算大 大多数同学一般都能做出来 再看第二问 要证 只须证当 时 当 时 即 1 0 xf x 0 x1 0f x 1x f x0 可 由上知 但用去分析的单调性受阻 我们可以尝试再对 1 lnfxx x fx f x 求导 可得 显然当 时 当 1 lnfxx x 2 11 fx xx 0 x1 0fx 1 时 即在区间上为减函数 所以有当 x fx 0 1 lnfxx x 1 0 时 我们通过二次求导分析的单调性 得出当 x1 11fxf fx 0 x 时 则在区间上为增函数 即 此时 则有1 1fx f x 0 1 10f xf 成立 1 0 xf x 精品文档 2欢迎下载 下面我们在接着分析当 时的情况 同理 当 时 即在1x1x fx 0 fx 区间上为增函数 则 此时 为增函数 所以 1 11fxf f x 易得也成立 10f xf 1 0 xf x 综上 得证 1 0 xf x 下面提供一个其他解法供参考比较 下面提供一个其他解法供参考比较 解 则 1 lnfxx x ln1xfxxx 题设等价于 2 1xfxxax ln xxa 令 则 lng xxx 1 1gx x 当 时 当时 是的最大值点 0 x1 gx 01x 0gx 1x g x 所以 11g xg 综上 的取值范围是 a 1 由 知 即 11g xg ln10 xx 当 时 0 x1 1 lnln1lnln1f xxxxxxxx x 11 lnln10 xx xx 因为 0 所以此时 1x 1 0 xf x 当时 1x 11 lnln1lnln10f xxxxxxx xx 所以 1 0 xf x 比较上述两种解法 可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂 思路来得自然流 畅 难度降低 否则 另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论 而且运用了一些代 数变形的技巧 解法显得偏而怪 同学们不易想出 不妨告诉同学们一个秘密 熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密 武器 精品文档 3欢迎下载 理 2010 安徽卷第 17 题 设为实数 函数 a 22 x f xexa xR 求的单调区间与极值 f x 求证 当 且 时 aln2 1 x0 x e 2 21xax 解析 解析 第一问很常规 我们直接看第二问 首先要构造一个新函数 如果这一着就想不到 那没辙了 然后求导 结果见下表 2 21 x g xexax 继续对求导得 22 x gxexa gx 2 x gxe 0 ln2 ln2 ln2 gx 0 gx 减极小值增 由上表可知 而 ln2gxg 由 知 ln2 ln22ln2222ln222ln2 1geaaa aln2 1 所以 即在区间上为增函数 ln2 g 0 gx 0 g x 0 于是有 而 g x 0g 02 0020 10gea 故 即当 且 时 g x0aln2 1 x0 x e