5.4.2一元二次方程根的判别式

精品文档 1欢迎下载 中考要求中考要求 知识点A要求B要求 要求 一元二一元二 次方程次方程 了解一元二次方程的概念 会 将一元二次方程化为一般形式 并指出各项系数 了解一元二 次方程的根的意义 能由一元二次方程的概 念确定二次项系数中所 含字母的取值范围 会 由方程的根求方程中待 定系数的值 一元二一元二 次方程次方程 的解法的解法 理解配方法 会用直接开平方 法 配方法 公式法 因式分 解法解简单的数字系数的一元 二次方程 理解各种解法的依 据 能选择恰当的方法解一 元二次方程 会用方程 的根的判别式判别方程 根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次 方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定 系数的取值范围 会用配方法对代数式做简单的 变形 会应用一元二次方程解决简单的实际问题 知识点睛知识点睛 一 一元二次方程根的判别式的定义 运用配方法解一元二次方程过程中得到 显然只有当时 才能直接开 2 2 2 4 24 bbac x aa 2 40bac 平方得 2 2 4 24 bbac x aa 也就是说 一元二次方程只有当系数 满足条件时才有实 2 0 0 axbxca abc 2 40bac 数根 这里叫做一元二次方程根的判别式 2 4bac 二 判别式与根的关系 在实数范围内 一元二次方程的根由其系数 确定 它的根的情况 是否 2 0 0 axbxca abc 有实数根 由确定 2 4bac 设一元二次方程为 其根的判别式为 则 2 0 0 axbxca 2 4bac 方程有两个不相等的实数根 0 2 0 0 axbxca 2 1 2 4 2 bbac x a 方程有两个相等的实数根 0 2 0 0 axbxca 12 2 b xx a 方程没有实数根 0 2 0 0 axbxca 若 为有理数 且为完全平方式 则方程的解为有理根 abc 若为完全平方式 同时是的整数倍 则方程的根为整数根 2 4bbac 2a 说明 用判别式去判定方程的根时 要先求出判别式的值 上述判定方法也可以反过来使用 当方程有 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 精品文档 2欢迎下载 两个不相等的实数根时 有两个相等的实数根时 没有实数根时 0 0 0 在解一元二次方程时 一般情况下 首先要运用根的判别式判定方程的根的情况 有两 2 4bac 个 不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 当时 方程有两个相等的实数根 二 2 40bac 重根 不能说方程只有一个根 当时抛物线开口向上顶点为其最低点 0a 当时抛物线开口向下顶点为其最高点 0a 三 一元二次方程的根的判别式的应用 一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用 运用判别式 判定方程实数根的个数 利用判别式建立等式 不等式 求方程中参数值或取值范围 通过判别式 证明与方程相关的代数问题 4 借助判别式 运用一元二次方程必定有解的代数模型 解几何存在性问题 最值问题 例题精讲例题精讲 一 一元二次方程实数根个数的判定 例 1 不解方程 判断下列方程的根的情况 2 2340 xx 2 0axbx 0a 例 2 不解方程 判别一元二次方程的根的情况是 2 261xx A 有两个不相等的实数根 B 没有实数根 C 有两个相等的实数根 D 无法确定 例 3 已知 是不全为 0 的 3 个实数 那么关于的一元二次方程abcx 的根的情况 2222 0 xabc xabc A 有 2 个负根 B 有 2 个正根 C 有 2 个异号的实根 D 无实根 例 4 已知 为正数 若二次方程有两个实数根 那么方程的根abc 2 0axbxc 2222 0a xb xc 的情况是 A 有两个不相等的正实数根 B 有两个异号的实数根 C 有两个不相等的负实数根 D 不一定有实数根 例 5 若方程只有一个实数根 那么方程 2 2 2 1 0mxmxm 2 1 220mxmxm A 没有实数根 B 有 2 个不同的实数根 C 有 2 个相等的实数根 D 实数根的个数不能确定 精品文档 3欢迎下载 例 6 已知 方程没有实数根 且 求证 2 2250mxmxm 5m 有两个实数根 2 5220mxmxm 例 7 对任意实数 求证 关于的方程无实数根 mx 222 1 240mxmxm 例 8 求证 关于的一元二次方程有两个实数根 x 2 2 10 xm xm 例 9 设方程只有 3 个不相等的实数根 求的取值和相应的 3 个根 2 4xax a 例 10 已知实数 满足 求证 一元二次方程abcrp2pr 20pcbra 必有实根 2 20axbcc 例 11 已知关于的方程 有两个相等的实数根 x 2 1 10nxmx 求证 关于的一元二次方程 必有两个相等的实数根 y 222 440m ymymn 例 12 已知关于的二次方程与 求证 当时 这两x 2 11 0 xp xq 2 22 0 xp xq 1212 2 p pqq 个方程中至少有一个方程有实数 例 13 设 为互不相等的非零实数 求证 三个方程abc 2 20axbxc 2 20bxcxa 2 20cxaxb 不可能都有 2 个相等的实数根 例 14 当为何值时 关于的方程有实根 mx 22 4 2 1 10mxmx 例 15 为何值时 方程有实数根 k 2 1 23 3 0kxkxk 例 16 当 为何值时 方程有实根 ab 222 2 1 34420 xa xaabb 例 17 已知 判断关于的方程的根的情况 并给出必要的说明 0a bac x 2 0axbxc 例 18 如果方程 只有一个实数根 那么方程 2 2210mxmxm 2 1220mxmxm A 没有实数根 B 有个不同的实数根 C 有个相等的实数根 D 实数根的个数不能确定22 精品文档 4欢迎下载 例 19 若二次方程有实根 其中 为奇数 证明 此方程的两个根都是无理数 2 220 xpxq pq 例 20 是否存在质数 使得关于的一元二次方程有有理数根 pq x 2 0pxqxp 二 一元二次方程中字母参数的确定 例 21 的何值时 关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 有两个kx 2 450 xxk 相等的实数根 没有实数根 例 22 为给定的有理数 为何值时 方程的根为有理数 mk 22 4 13240 xm xmmk 例 23 已知方程有实数根 求的范围 22 21 10m xmx m 例 24 关于的方程有实数根 则整数的最大值是 x 2 6860axx a 例 25 若方程有实数根 求 正整数 22 2 1 450 xaxaa a 例 26 当为何值时 方程有实根 a b 222 2 134420 xa xaabb 例 27 为何值时 方程有实数根 k 2 1 23 3 0kxkxk 例 28 已知关于的方程有两个相等的实数根 且 为实数 则x 22 1 210 2 xab xbb ab 32ab 例 29 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 求的取值范围 x 2 12 2110k xkx k 例 30 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 那么的取值范围是 x 2 690kxx k A B C D 1k 0k 10kk 且1k 例 31 关于的方程有两个不相等的实数根 则的取值范围为 x 2 210 xkx k 例 32 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 求的取值范围 x 2 10 xmxm m 精品文档 5欢迎下载 例 33 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 则k的取值范是 x 2 210kxx 例 34 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 那么 的取值范围x 22 21 10k xkx k 是 例 35 已知关于的方程有两个不相等的实数根 化简 x 22 2 1 50 xmxm 2 1 44mmm 例 36 当在什么范围内取值 方程有且只有两相异实根 a 2 5xxa 例 37 已知一元二次方程有两个不相等的实数根 则的最大整数值为 22 42 40 xkxk k 例 38 已知关于的方程有两个不相等的实数根 x 22 21 10k xkx 12 xx 求的取值范围 k 是否存在实数 使方程的两实数根互为相反数 如果存在 求出的值 如果不存在 请说明kk 理由 例 39 已知关于的方程有两个不相等的实数根 x 22 210mm xmx 求的取值范围 m 若为整数 且 是上述方程的一个根 求代数式的值 m3m a 2 2 21 233 4 a aa 例 40 使得关于的一元二次方程无实数根的最小整数 x 2 2 4 60 x kxx k A 1B 2 C 3 D 4 例 41 已知 为整数 关于的二次方程有两个不相等的实数解 mnx 2 7 30 xm xn 有两个相等的实数根 没有实数根 求 的值 2 4 60 xm xn 2 4 10 xmxn mn 例 42 若关于的方程和都没有实数根 是实数 问式子x 2 20 xpxq 2 20 xqxp pq 是否总有意义 说明理由 问是否可以是整数 若可以 当为整数时 求 qp pq pq pq 的值 若不可以为整数 说明理由 ppqqpq qp pq 例 43 已知是一元二次方程的一个实数根 则的取值范围为 2 4bac 2 00axbxca ab A B C D 1 8 ab 1 8 ab 1 4 ab 1 4 ab 精品文档 6欢迎下载 三 一元二次方程与三角形三边关系的综合 例 44 三角形两边的长是 和 第三边的长是方程的根 则该三角形的周长为 34 2 12350 xx 例 45 方程的两个根是等腰三角形的底和腰 则这个三角形的周长为 2 9180 xx 例 46 已知 是直角三角形的两边 第三边的长满足方程 则的值为 a3 2 9200 xx a 这样的直角三角形有 个 例 47 已知的三边满足 试确定的形状 ABC a b c8bc 2 1252bcaa ABC 例 48 如果一直角三角形的三边长分别为 那么 关于的方程abc90B x 的根的情况是 22 1 2 1 0a xcxb x A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定 例 49 已知 分别是三角形的三边 则方程的根的情况是 abc 2 20ab xcxab A 没有实数根B 可能有且只有一个实数根 C 有两个相等的实数根D 有两个不相等的实数根 例 50 已知 分别是的三边长 求证 方程没有实数abcABC 222222 0b xbcaxc 根 例 51 在等腰中 的对边分别为 已知 和是关于的方ABC A B C abc3a bcx 程的两个实数根 求的周长 2 1 20 2 xmxm ABC 例 52 已知 分别是的三边长 当时 关于的一元二次方程abcABC 0m x 有两个相等的实数根 求证 是直角三角形 22 20c xmb xma mx ABC 例 53 关于的一元二次方程有两个相等的实数根 则以 为三边的x 2 0 4 ac ac xbx abc 三角形的形状是 例 54 已知 是的三边的长 且方程有两个相等的实数abcABC 2 2 0 xbc xab ca 根 试判断这个三角形的形状 精品文档 7欢迎下载 例 55 已知 是的三边 其中 且关于的方程有两个相等abcABC 1a 4c x 2 40 xxb 的实数根 试判断的形状 ABC 例 56 如果关于的方程 其中 均为正数 x 0 xaxbxbxcxcxa abc 有两个相等的实数根 证明 以 为长的线段能够组成一个三角形 并指出三角形的特abc 征 例 57 已知关于方程 2