最小二乘复频域法(PolyMax)

精品文档 1欢迎下载 最小二乘复频域法最小二乘复频域法 PolyMaxPolyMax SX1201069 虞刚 PolyMax模态识别方法 属于多自由度时域识别法 也称作多参考点最小二乘 复频域法 Polyreference least squares complex frequency domain method 是最小二乘复频域法 LSCF 的多输入形式 是一种对极点和模态参预因子进行 整体估计的多自由度法 一般首先通过实验建立稳态图 以判定真实的模态频率 阻尼和参预因子 建立可以线性化的直交矩阵分式模型 然后基于正则方程缩 减最小二乘问题 得到压缩正则方程 于是模态参数可以通过求解最小二乘问题 得到 该方法集合了多参考点法和LSCF方法的优点 可以得出非常清晰的稳态图 并 且密集空间可以被分离出来 尤其在模态较密集的系统 动力总成系统 或者 FRF数据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立清晰的稳态图 识别出高度密集 的模态 对每一个模态的频率 阻尼和振型都有很好的识别精度 是国际最新发 展并流行的基于传递函数的模态分析方法 其基本思想如下 1 建立频率响应函数模型 多参考点最小二乘复频域识别技术 PRLSCF 或 PolyMAX 要以频响函数矩阵 作为识别的初始数据 其数学模型采用右矩阵分式模型来描述 在频域中 系 统输出 其中为输出点数 和全部输入的关系可用右矩阵o 0 2 1No 0 N 分式模型 RMFD 来描述 右矩阵分式模型的表达式为 1 1 DUH oo 式中 理论频响函数的第行 是输入点数 即激励数 i Nl o CH o i N 分子多项式行向量 i Nl o CU 分母多项式矩阵 ii NN o CD 且和可以表示成如下形式 o U o D N r orro BZU 0 0 2 1No 2 精品文档 2欢迎下载 N r rro AZD 0 3 式中 多项式阶次N 其中分母系数矩阵和分子系数行向量是待估计的参数 所 ii NN r RA i Nl or RB 有这些系数合并为一个矩阵 T TT N T 1 4 其中 i NN oN o o o R B B B 11 0 ii NNN N o R A A A 11 0 5 式 2 和式 3 中出现的多项式基函数 一般地 有以下两种选择 r Z 对于连续时域模型 可取为 j s r i Z 6 式中 缩放因子 用来提高方程的数值状况 2 1 i N s 对于离散时域模型 可取为 s rTj r eZ 7 式中 采样周期 s T 通常采用离散时域模型 精品文档 3欢迎下载 2 参数的线性化 通过试验测量出的频率响应函数矩阵 用表 io NN f CH i N fo CH 1 示实测频响矩阵的第行 那么关于参数矩阵o fo NfNo 2 1 2 1 的非线性最小二乘 NLS 目标函数可表示为 o f N o N f f NLS o H f NLS onls tr 11 8 式中 矩阵的复共扼转置 H 矩阵的迹 即矩阵的主对角元素之和 tr 通过对式 8 求极小值 便可以得到频率响应函数矩阵的右分式矩阵模型各系 数的估计值 即矩阵的估计值 式 8 中的加权非线性最小二乘误差函数被定义 fofofofofofofof NLS o HDUWHHW 1 9 上式中是一个加权函数 一般地 为了提高估计的质量 我们采用 of W var of of of H W H 10 式中 方差 可用相关函数求取 也可使用公式 var 1 var of of W H 11 来做加权函数的 这两种加权函数都考虑了测量频响函数数据的好坏 测得频 响的方差越小 对目标函数的贡献越大 精品文档 4欢迎下载 非线性误差函数可以经过一个近似的处理为一个线性的问题 实际上 通 过对右乘 则可以得到一个关于参数为线性的方程 此加 NLS of f D 权线性最小二乘 LS 方程误差为 LS of 12 1 0 LSNLS ofoff ofofofoff N ofrforrfor r D WUDHD WzBzHA 这样式 12 关于参数为线性 将所有频率点装配成一列 它1 2 f fN 可用矩阵形式来表示 1 f LS o ooLS oooo LS oN XYJ 13 其中 11111 1 1 f ffff ooN NN o oNoNNNN Wzzz XC Wzzz 14 15 111111 1 1 fi fffff ooNo NNN o oNoNNNNoN WzzzH YC WzzzH 式中 Kronecker 积 3 缩减标准方程 加权线性最小二乘估计表达式为 精品文档 5欢迎下载 1 1 o o N H LSLS LSoo o N oooTT oT o oo tr RS tr ST 16 式中 11 Re NNH ooo RXXR 11 Re i NNNH ooo SX YR 11 Re ii NNNNH ooo TY YR 同时 目标函数 16 等价于 Re TH LS trJ J 17 式中 是 Jacobian 矩阵 被如下定义J 11 221 00 0 00 ofoi oo N NNNN NN XY XY JC XY 18 为使值最小 将对系数矩阵和求导 并令其为零 LS LS o 20 LSooo o RS 1 2 o oN 19 1 20 o N T LSooo o ST 20 由式 19 得到 把它代入式 20 得 1 ooo R S 1 1 20 o N T oooo o TS R SM 21 精品文档 6欢迎下载 其中 111 1 2 o ii N NNNNT oooo o MTS R SR 由式 19 和 20 得到标准方程 经过整理 此标准方程的表达式为 11 1 22 2 12 1 00 00 22Re0 00 oo o o o H NN N N TTT No o RS RS JJ RS SSST 22 式 21 即为 缩减 标准方程 其中矩阵维数为 M 11 ii NNNN 比标准方程式 22 中的的维数要 Re H J J 11 oioi NNNNNN 小的多 4 求解缩减标准方程 通过求解 缩减 标准方程 便可得到分母系数矩阵 根据线性方程组 的求解理论 先对系数矩阵施加一个约束 假如 设定系数矩阵中的一个 系数矩阵块等于正则常数矩阵 例如设系数矩阵的最后一个矩阵块 在这种前提下 缩减标准方程变为 1 i N NI A XB 23 其中 1 1 ii AMN NN N 1 1 1 iii BMN N N NNN 系数矩阵的最小二乘估计为 1 i LS N X XA B I 24 一旦求得了 那么通过就可得到所有的分子系数这种方 LS 1 ooo R S LS o 法考虑了标准方程的结构特性 比直接求解方程 22 要快得多 确定了分母 精品文档 7欢迎下载 系数矩阵后 通过求解的伴随矩阵的特征值和特征向量 这样就可以得到 了系统的极点和相应的模态参与因子 方程如下 0121 000 0000 000 TTTT NN I VV I AAAA 25 上式中 矩阵的最后行就是模态参与因子 对角阵的 oo N N N N VC V i N 角元记录为 由不稳定的数学极点和稳定的物理结构点两部分组成 记稳 1 2 io iN N 定的物理结构极点为 通过对这些物理结构极进行转换 便可得出结 r s T r e 构的固有频率和模态阻尼比 关系式如下 r r 或 rrrr i 2 1 rrrrrr i 26 5 计算频率点和阻尼比点 根据信号与系统基本理论中对系统稳定性的描述 系统的全部极点落于 域左半平面 不包括虚轴 且满足有界输入有界输出原则 系统是稳定的 s 复特征矩阵中的复特征值总是以共轭对的形式出现 同时也包含实数 虚轴 上 在求解频率点和阻尼比点时 对于每个共轭对只取其中一个进行分 i i 析 且不考虑实数 复特征矩阵中的对角元 由式 26 用 i s T i e i 描 ReIm ii i 述 则 ReImcossin iis i si si s iTTiTT iiisis ieeeeTiT 27 精品文档 8欢迎下载 ReIm i s T ii ie 28 Im arctan Re i is i T 29 所以 1 ln ii s T 30 Im1 arctan Re i i si T 31 由此可求得频率和阻尼比 i i 22 iii i i i 32 在求得的频率和阻尼比包含有结构的固有频率和模态阻尼比 因此 i i r r 必须对所有求得的和进行有效的分析和选取 以确定系统真实的固有频率 i i 和阻尼比 建立稳态图就是一种行之有效的方法 6 建立稳态图 在模态分析中 稳态图是帮助实验者分离结构物理极点和数学极点的一个 有力工具 如图 1 所示 通过逐渐增大多项式的阶次 且进行相应的重复性N 分析计算可以建立起稳态图 精品文档 9欢迎下载 1 002 05e 3Linear Hz 79 0e 6 16 7e 3 Amplitude g N ovovoosv oovovovosv oovovoooss oovvvvooosv oovo osvooosv oosovosooov ss oo ovo osoooovss oooovvosoooov ss oooosvoso vovos vs o ooo vsosvovvos vs ooooovvoo sooosvsvso oooovoovooovsvv vso ooooovsvo voov vvss vv s ooovvooovvovvvsv v vv s oooosvooosovsv vsv sv v o ooov vvoovovvvvvsv vv so oooovovov ooo vvoov vvv oo o oo voovv sovvovvvv vvv ooo oo sovovo oovvvvvv vsvo o ooo soovovvovvvvvvs sv vs o ooovo oovvvvovvvvsvs vs sv ooooo oss vos so ovovvvvvs vv vo ov oov vsovvovvvsovvvso vv ss vs 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 对于不同的值 由式 25 得到相应的极点 极点再通过转换N i s T i e 得出相应