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27 03 2020 1 第四章自振频率和振型的实用计算 27 03 2020 2 4 1能量法求第一频率 Rayleigh法 此外 根据简谐振动的特点可知 在体系通过静力平衡位置的瞬间 速度最大 动能具有最大值 动位移为零 应变能为零 当体系达到最大振幅的瞬间 变形能最大 速度为零 动能为零 对这两个特定时刻 根据能量守恒定律得 0 Umax Tmax 0 根据能量守恒和转化定律 当不考虑阻尼自由振动时 振动体系在任何时刻的动能T和应变能U之和应等于常数 U T C 常数 27 03 2020 3 求Umax Tmax 求频率 如梁上还有中质量mi Yi是集中质量mi处的位移幅值 27 03 2020 4 设位移幅值函数Y x 必须注意以下几点 1 必须满足运动边界条件 铰支端 Y 0 固定端 Y 0 Y 0 尽量满足弯矩边界条件 以减小误差 剪力边界条件可不计 2 所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近 如正好与第n主振型相似 则可求的 n的准确解 但主振型通常是未知的 只能假定一近似的振型曲线 得到频率的近似值 由于假定高频率的振型困难 计算高频率误差较大 故Rayleigh法主要用于求 1的近似解 27 03 2020 5 3 相应于第一频率所设的振型曲线 应当是结构比较容易出现的变形形式 曲率小 拐点少 4 通常可取结构在某个静荷载q x 如自重 作用下的弹性曲线作为Y x 的近似表达式 此时应变能可用相应荷载q x 所作的功来代替 即 27 03 2020 6 2 假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y x 例4 1试求等截面简支梁的第一频率 1 假设位移形状函数为抛物线 满足边条且与第一振型相近 3 假设 正是第一振型的精确解 精确解 27 03 2020 7 例4 2求楔形悬臂梁的自振频率 设梁截面宽度为 高度h h0 x l 解 设位移形状函数 满足 Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高 其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线 就是迫使梁按照这种假设的形状振动 这就相当于给梁加上了某种约束 增大了梁的刚度 致使频率偏高 当所设振型越接近于真实 则相当于对体系施加的约束越小 求得的频率越接近于真实 即偏高量越小 27 03 2020 8 集中质量法 在计算无限自由度体系的自振频率时 可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量 关于质量的集中方法有多种 最简单的是静力等效的集中质量法 等效原则 使集中后的重力与原来的重力互为静力等效 即两者的合力相等 作法 将杆分为若干段 将每段质量集中于其质心或集中于两端 该法即可求基频 也可求较高频率 使用各类结构 集中质量的数目越多结果越精确 但工作量也就越大 4 2集中质量法 27 03 2020 9 例4 3 0 7 0 1 3 1 0 05 4 8 0 7 27 03 2020 10 对于对称刚架 可分别用不同的集中质量方案求出对称振动和反对称振动的自振频率 最小频率对应着反对称振型 27 0