高中立体几何知识总结

1 / 14高中立体几何知识总结立体几何知识总结简单几何体的侧面积及体积：柱锥台的侧面积：其中（掌握侧面展开图）柱锥台的体积：其中球的表面积、体积：， 。 （球中的勾股定理：）空间位置关系：1、 ， ，面面2、空间平行关系的判定：（1）两直线平行的判定：平行于同一直线的两直线平行；线面平行，经过此线的平面与原平面的交线与此线平行；两平面平行，被第三平面截得的两交线互相平行；垂直于同一平面的两直线平行。（2）线面平行的判定：平面外的一直线与平面内的一直线平行，则它与此平面平行；两平面平行，一平面内任一直线都平行于另一平面。（3）面面平行的判定：一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则此二平面平行；垂直于同一直线的两平面平行。3、空间垂直关系的判定：（1）两直线垂直的判定：2 / 14夹角是直角的两直线垂直；线面垂直，则此线垂直于此面内任一直线；三垂线定理、逆定理。（2）线面垂直的判定：一直线若垂直于平面内的两条相交直线，则垂直于此平面；两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一直线也垂直于此平面；一直线垂直于两平行平面中的一个，则垂直于另一个；两平面垂直，则一平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。（3）面面垂直的判定：相交成直二面角的两平面垂直；一平面经过另一平面的一条垂线，则此二平面垂直。1、过平面外的两点，且与此平面垂直的平面有（）(A)一个；(B)无数个(c)不存在；(D)一个或无数个。2、已知直线（）(A)(B)(c)(D)3、满足以下哪个条件的几何体是长方体（）(A)侧面都是矩形的直棱柱；(B)侧面都是长方形的四棱3 / 14柱；(c)底面是矩形的直棱柱；(D)对角面（过不相邻两侧棱）是矩形的四棱柱。4、在三棱锥 P-ABc 的四个面中，最多有几个直角三角形（）(A)1 个(B)2 个(c)3 个(D)4 个5、球面上有三个点 A,B,c，且 AB=3，Bc=4，Ac=5，球心到平面 ABc 的距离为球半径的一半，那么此球的半径是（）(A)(B)(c)(D)6、长方体共顶点的三个面面积分别为，则它的外接球的表面积和体积分别为_、_。7、圆台的上下底面积分别为，侧面积为，这个圆台的体积是_；8、已知直线，给出下列命题：；。其中，正确命题的序号有_。9、设表示两个平面，是外的一条直线，给出三个结论：；。以其中两个为条件，另一个为结论可以构成三个命题，请写出其中的一个真命题：_。10、圆心角是 120半径为 3 的扇形所围成的圆锥面，其表面积是_，其容积是_。4 / 1411、将如图由两个等腰三角形构成的直角梯形，沿 BD 折成直二面角，在折后图形中，给出：cD平面 ADc；cAD 是二面角 c-AB-D 的平面角；DA平面 ABc。其中正确的命题有_。12、如图正四棱锥 V-ABcD 中，Ac 交 BD 于点 m，若Ac=6，Vc=5，求此正四棱锥的体积及侧面积。13、如图正方体中，E、F、G 分别是棱 Bc、cD、cc1 的中点，求证：（1）平面 EFG/平面 AB1D1；（2）平面 AB1D1平面 AA1c1c。5 / 1414、四棱锥 P-ABcD 的底面是菱形，Pc平面ABcD，E 是 PA 的中点，求证：（1）Pc/平面 BDE；（2）平面 BDE平面ABcD。6 / 1415、P 是矩形 ABcD 所在平面外一点，PA平面ABcD，E、F 分别是 AB、PD 的中点，又.求证：（1）AF/平面 PEc；（2）平面 PEc平面PcD。16、四棱锥 P-ABcD 的底面是平行四边形，m、N 分别是AB、Pc 的中点，mNAB。求证：（1）mN/平面 PAD；（2）平面 PAD平面PDc。7 / 14*17（06 广东高考题） 、如图、分别是、的直径，与两圆所在的平面均垂直， ，是的直径，,.(I)求二面角的大小；(II)求直线与所成的角的余弦值。8 / 14空间向量与立体几何一基本方法：利用向量证明平行线线平行（面面平行）方法：线面平行方法：利用共面向量定理，如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x,y，使=x+y利用向量求距离点到平面的距离方法 1：直接作出距离，然后用向量进行计算方法 2：已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则到平面的距离=.两条异面直线距离：方法：、为异面直线， 、间的距离为：.其中与、均垂直， 、分别为两异面直线上的任意两点3、利用向量求角（1）异面直线所成角：向量和的夹角(或者说其补角)等于异面直线 a和 b 的夹角.（2）直线和平面所成的角（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.9 / 14（3）求二面角的大小。方法 1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向） 方法 2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角方法 3：（法向量法） 、分别是平面和平面的法向量，那么(或者其补角)与二面角-l-的大小相等。二、分类训练(一)求距离例 1：如图，正四棱锥的高，底边长。求(1)异面直线和之间的距离.(2)点 o 到平面 SBc 的距离(3)直线 AD 与平面 SBc 的距离解：10 / 14基础训练：1.长方体中则与间的距离为()(A)1(B)(c)(D)22.如图,在三棱锥 A-BcD 中,Ac底面BcD,BD,则点 c到平面 ABD 的距离是()3.已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.11 / 14(二)求角度例 2.在正方体 ABcD-A1B1c1D1 中，E、F 分别是 AB、c1D1的中点，求平面 EB1FD 与 ADD1A1 所成的二面角的余弦值。基础训练：1.在正方体 ABcDA1B1c1D1 中,m,N 分别为棱 AA1 和 B 的中点,若为直线 cm 与所成的角,则=()12 / 142.有块直角三角板ABc,Bc 边在桌面上,当三角板和桌面成 45角时,AB 边与桌面所成角的大小()3已知正四棱锥 S-ABcD 的底边长为 4,高为 6,点 m 是高So 的中点,点 G 是侧面 SBc 的重心，求直线 mG 与底面 ABcD所成的角。(三)。综合应用13 / 141.(04 浙理)在正三棱柱 ABcA1B1c1 中,已知 AB=1,D 在棱上,且 BD=1,若 AD 与平面所成的角为,则=()2.三棱锥 P-ABc 中,PA、PB、Pc 所成的角均为 60,点 A 到 PB 的距离为，则点 A 到平面 PBc 的距离为（）3.长方体 ABcD-A1B1c1D1 中， ，AB=2，E 为 AB 的中点，则到平面的距离4四棱柱 ABcDA1B1c1D1 中，E，F，G，H 分别是棱c1c1，c1D1，D1D，Dc 的中点，N 是 Bc 的中点，点 m 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 m 满足条件时，有平面B1BDD1。5.已知斜三棱柱 ABcA1B1c1 中，ABAc1，AA12，o 是 B1c 和 Bc1 的交点（）用基向量、 、表示向量；（）求异面直线 Ao 与 Bc 所成的角；（）判定平面 ABc 与平面 BB1c1c 是否垂直？并说明理由6正三棱柱 ABcA1B1c1，m 是 A