中考数学二轮复习专题练习（上）常用辅助线—构造等边三角形新人教版.docx

6.构造等边三角形1.公园里有一块形如四边形的草地，测得米，请你求出这块草地的面积？答案：见解析解析：延长交于，连结，是等边三角形，这块草地的面积为平方米2.如图：已知,点在线段上且；是线段上的动点,分别以为边在线段的同侧作等边和等边,连结,设的中点为；当点从点运动到点时,则点移动路径的长是_答案：3 解析：分别延长交于点，易证四边形为平行四边形，得出为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可解：如图，分别延长AE、BF交于点HAFPB60，AHPF，BEPA60，BHPE，四边形EPFH为平行四边形，EF与HP互相平分G为EF的中点，G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MNCD10226，MN3，即G的移动路径长为33.四边形，有，请你求_.答案：75解析：延长交于，连结，是等边三角形， 4.如图，四边形 中， 是对角线， 是等边三角形 ，则 的长为_.答案：4解析：首先以为边作等边，连接，利用全等三角形的判定得出 ，进而求出 的长即可解：如图，以为边作等边，连接 ， 在 和 中， ， 又 ， 在 中， ，于是 ，5.如图所示，在中，是内两点，平分，若，则的长度是_.答案：8解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出，进而得出 为等边三角形， 为等边三角形，从而得出 的长，进而求出答案解：延长 交 于 ，延长 交 于 ，作 于 ，平分 ， ， ，为等边三角形，为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，6.如图，六边形 中，每一个内角都是求这个六边形的周长为_.答案：116解析：凸六边形，并不是一规则的六边形，但六个角都是 ，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解解：如图，分别作直线 的延长线和反向延长线使它们交于点 六边形 的六个角都是120， 六边形 的每一个外角的度数都是60 都是等边三角形 六边形的周长为： 7.如图，已知 ， 平分 ，若 ，则 的长是_.答案：5解析：在 的延长线上取点 ，使 ，连接 ，则可证得 为等边三角形，再结合条件可证明 ，可得 ，再利用线段的和差可求得 ，则可求得 .解：在 的延长线上取点 ，使 ，连接， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ，在 和 中， ， ， ， ， ，8.如图，在 中， 是 内两点， 平分 ，若 ，则 _答案：62解析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出 ，进而得出 为等边三角形， 为等边三角形，从而得出 的长，进而求出答案解：延长 交 于 ，延长 交 于 ，作 ， ， 平分 ， ， ， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，故答案为629.如图，过边长为的等边 的边 上一点 ，作 于 为 延长线上一点，当 时，连 交 边于 ，则的长为_.（注：若答案不是整数，请化为小数）答案：0.5解析：过 作 交 于 ，得出等边三角形 ，推出 ，根据等腰三角形性质求出 ，证 ，推出 ，推出即可解：过 作 交 于 ， 是等边三角形， 是等边三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， 10.如图， 中， 平分 是 内两点，且 ，若 ，则_.答案：10解析：延长 交 于 ，延长 交 于 ，根据等腰三角形的性质得出 ，进而得出 为等边三角形，从而得出 的长，进而求出答案解：延长交 于 ，延长 交 于 ， 平分 ， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1011.如图，凸四边形 满足条件： 那么 _（填“大于”或“小于”或“等于”）答案：等于解析：延长 到点 ，使得 ，连接 和 ，根据已知条件和所作辅助线可得 与 均为等边三角形，证明 和 全等即可证明；解：延长 到点 ，使得 ，连接 和.又 ， 与 均为等边三角形 ,即 在 和 中， 故答案为：相等12.已知：如图，等边 中， 是 边上一动点，作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 （1）设 ，求 与 之间的函数关系式；（2）当点 和点 重合时，求线段 的长；（3）当点 和点不重合，但线段 延长线相交时，求它们与线段 围成的三角形周长的取值范围答案：见解析解析：（1）由已知等边 中，可得每个角都是 ，由作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ；作 ，垂足为 ，得三个直角三角形且都有 的角，据此用 可表示出 ，相继表示出 ，求出与之间的函数关系式（2）由已知可列出方程组结合已知求出 的长（3）当线段 相交时，根据已知得到它们与线段围成的三角形三个角都是 解：（1） 是等边三角形， 又 ， ， （2）由方程组 得 当点和点重合时， （3）设线段 的延长线相交于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，且当点和点 重合时， 最短为.且当点和点 重合时， 最长为 13.如图，在四边形 中， ，连接 交于点 （1）若 ， 为线段 上一点，且 ，连接 ，求点 到 的距离（2）证明： 答案：见解析解析：（1）由条件可以证明，可以得出 ， ，求出 ，由勾股定理可以求出 ，由 可以求得 的值，在 中由勾股定理可以求出 的值，从而求出 的值，过点 作 于 ，利用三角形的面积相等建立等量关系就可以求出结论（2）要证 ，延长 到 ，使 ，则求 即可由 ，得 是等边三角形，进而得 又有 ，则 是等边三角形，所以得 ，则 解：（1） ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，在 中由勾股定理得 过点 作 于点 ， 即点 到 的距离（2）证明：延长 到点 ，使 ，连接 ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，又 ， ， ，即 14.已知：如图，在等边三角形 中，点 是 边上的一个动点（ 与 不重合），延长 到 ，使 ，连接 交 于点 （1）求证： ；（2）若 的边长为 ，设 ，求 与 的函数关系式，写出自变量的取值范围答案：见解析解析：（1）过 作 交 于 ，则 为等边三角形，得 ，而 ，得到 ，易证得 ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由（1）得 ，得到 ，易得 ，而 ，即有 ，即可得到 与 间的函数关系式解：（1）证明：过 作 交 于， ，又在等边三角形 中， ， ， 是等边三角形， ，又 ， ， ， ，在 和 中， ， ， ， ， ； （2）由（1）得 ， ，由（1）得 是等边三角形， ，又 ， ，即15.如图，在四边形 中， （1）求 的度数（2）求四边形 的面积答案：见解析解析：（1）连接 ，根据 ，得出 是等边三角形，求得 ，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形 是直角三角形，从而求得 ；（2）根据四边形的面积等于三角形 和三角形 的和即可求得；解：（1）连接 ， ， 是等边三角形， ，则 ， ， ， ；（2）16.已知：如图，四边形 中， （1）连接 的形状是？（2）求证： 答案：见解析解析：（1）根据全等三角形的判定定理“有一内角为 的等腰三角形是等边三角形”推知 是等边三角形（2）如图，以 为边向形外作等边 ，连接 构造全等三角形（ ），然后根据全等三角形的性质、勾股定理证得结论解：（1）如图，连接 ， 是等边三角形；故答案是：等边三角形；（2）如图，以 为边向形外作等边，连接由（1）知，是等边三角形，则 ，在 与 ， ， ， ， ， 在 中，有 ，即 17.如图，在 中， 是三角形外一点，且 求证： _答案：60解析：首先延长 至 ，使 ，连接 ，由 ，易得 是等边三角形，继而证得 ，则可证得： 证明：延长 至 ，使 ，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，在 和 中， ， ， 18.如图，凸六边形 的六个角都是 ，边长 ，求出这个六边形的周长为_ .答案：46解析：凸六边形，并不是一规则的六边形，但六个角都是 ，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解解：如图，分别作直线 的延长线使它们交于点 因为六边形的六个角都是，所以六边形的每一个外角的度数都是 所以三角形 、三角形 、三角形 、三角形 都是等边三角形所以 所以 ， ， 所以六边形的周长为 19.如图，在六边形中， （1）试说明 为等边三角形；（2）请探索 之间的关系（等量关系或位置关系）并说明理由答案：见解析解析：（1）根据多边形的内角和定理求出 ，求出 ，得出等边三角形 ，推出 ，同理求出 是等边三角形，推出 ，求出 ，即可求出答案解：（1）作直线 、直线 、直线 和 交于 和 交于 和 交于 ， ， ， ， ， ，为等边三角形（2） ，理由是： ， ， ， 是等边三角形， ，同理 ， ， ， 为等边三角形， ， ， ，