高考二轮小专题-：圆锥曲线题型归纳

第 1 页 共 31 页 高考二轮小专题高考二轮小专题 圆锥曲线题型归纳 圆锥曲线题型归纳 基础知识基础知识 1 直线与圆的方程 2 椭圆 双曲线 抛物线的定义与标准方程公式 3 椭圆 双曲线 抛物线的几何性质等相关知识 渐近线 abcep 基本方法 基本方法 1 待定系数法 求所设直线方程中的系数 求标准方程中的待定系数 等等 abcep 2 齐次方程法 解决求离心率 渐近线 夹角等与比值有关的问题 3 韦达定理法 直线与曲线方程联立 交点坐标设而不求 用韦达定理写出转化完成 要注意 如果方程的 根很容易求出 就不必用韦达定理 而直接计算出两个根 4 点差法 弦中点问题 端点坐标设而不求 也叫五条等式法 点满足方程两个 中点坐标公式两个 斜率 公式一个共五个等式 5 距离转化法 将斜线上的长度问题 比例问题 向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题 比例问题 坐标问题 基本思想 基本思想 1 常规求值 问题需要找等式 求范围 问题需要找不等式 2 是否存在 问题当作存在当作存在去求 若不存在则计算时自然会无解 3 证明 过定点 或 定值 总要设一个或几个参变量 将对象表示出来 再说明与此变量无关 说明与此变量无关 4 证明不等式 或者求最值时 若不能用几何观察法 则必须用函数思想将对象表示为变量的函数 再解决 5 有些题思路易成 但难以实施 这就要优化方法优化方法 才能使计算具有可行性可行性 关键是积累 转化 的经验 6 大多数问题只要忠实 准确忠实 准确地将题目每个条件和要求表达出来 即可自然而然产生思路 一 求直线 圆锥曲线方程 离心率 弦长 渐近线等常规问题一 求直线 圆锥曲线方程 离心率 弦长 渐近线等常规问题 7 2015 高考重庆 理 10 设双曲线 a 0 b 0 的右焦点为 1 过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B C 22 22 1 xy ab 两点 过 B C 分别作 AC AB 的垂线交于点 D 若 D 到直线 BC 的距离小于 则该双曲线的渐近线斜 22 aab 率的取值范围是 A B 1 0 0 1 1 1 C D 2 0 0 2 2 2 答案 A 第 2 页 共 31 页 考点定位 双曲线的性质 名师点晴 求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于的不等式 根据已知条件和双曲线中 a b c 的关系 要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于的不等关系 解不等式可得所求范围 解题中要注 a b c a b 意椭圆与双曲线中关系的不同 a b c 10 2015 高考浙江 理 5 如图 设抛物线的焦点为 不经过焦点的直线上有三个不同的点 2 4yx FAB 其中点 在抛物线上 点在轴上 则与的面积之比是 CABCyBCF ACF A B C D 1 1 BF AF 2 2 1 1 BF AF 1 1 BF AF 2 2 1 1 BF AF 答案 A 考点定位 抛物线的标准方程及其性质 名师点睛 本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质 属于中档题 解题时 需结合平面几何中同高的三角形 面积比等于底边比这一性质 结合抛物线的性质 抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解 在平面几 何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质 是高考中小题的热点 在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习 12 2015 高考北京 理 10 已知双曲线的一条渐近线为 则 2 2 2 10 x ya a 30 xy a 答案 3 3 解析 双曲线的渐近线方程为 则 2 2 2 10 x ya a 1 yx a 303xyyx 0a 第 3 页 共 31 页 13 3 3 a a 考点定位 本题考点为双曲线的几何性质 正确利用双曲线的标准方程 求出渐近线方程 利用已给渐近线方程 求参数 名师点睛 本题考查双曲线的几何性质 重点考查双曲线的渐近线方程 本题属于基础题 正确利用双曲线的标 准方程 求出渐近线方程 求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的 1 改 0 利用已知渐近线方程 求 出参数的值 a 11 2015 高考新课标 2 理 11 已知 A B 为双曲线 E 的左 右顶点 点 M 在 E 上 ABM 为等腰三角形 且顶 角为 120 则 E 的离心率为 A B C D 5232 答案 D 解析 设双曲线方程为 如图所示 过点作 22 22 1 0 0 xy ab ab ABBM 0 120ABM M 轴 垂足为 在中 故点的坐标为 代入双曲线MNx NRt BMN BNa 3MNa M 2 3 Maa 方程得 即 所以 故选 D 2222 abac 22 2ca 2e 考点定位 双曲线的标准方程和简单几何性质 名师点睛 本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质 解直角三角形知识 正确表示点的坐标 利用 点M 在双曲线上 列方程是解题关键 属于中档题 18 2015 高考新课标 2 理 20 本题满分 12 分 第 4 页 共 31 页 已知椭圆 直线 不过原点且不平行于坐标轴 与有两个交点 线段的 222 9 0 Cxym m lOlCABAB 中点为 M 证明 直线的斜率与 的斜率的乘积为定值 OMl 若 过点 延长线段与交于点 四边形能否为平行四边形 若能 求此时 的斜率 l 3 m mOMCPOAPBl 若不能 说明理由 答案 详见解析 能 或 47 47 解析 设直线 l ykxb 0 0 kb 11 A x y 22 B xy MM M xy 将代入得 故 ykxb 222 9xym 2222 9 20kxkbxbm 12 2 29 M xxkb x k 解得 因为 所以当 的斜率为 2 3 2 3 9 mk k k 1 47k 2 47k 0 3 ii kk 1i 2l 或时 四边形为平行四边形 47 47 OAPB 考点定位 1 弦的中点问题 2 直线和椭圆的位置关系 名师点睛 题中涉及弦的中点坐标问题 故可以采取 点差法 或 韦达定理 两种方法求解 设端点 的坐标 代入椭圆方程并作差 出现弦的中点和直线 的斜率 设直线 的方程同时和椭圆方程联立 利 A BABll 用韦达定理求弦的中点 并寻找两条直线斜率关系 根据 中结论 设直线方程并与椭圆方程联ABOM 立 求得坐标 利用以及直线 过点列方程求的值 M2 PM xx l 3 m mk 第 5 页 共 31 页 23 2015 高考安徽 理 20 设椭圆 E 的方程为 点 O 为坐标原点 点 A 的坐标为 22 22 10 xy ab ab 0a 点 B 的坐标为 点 M 在线段 AB 上 满足 直线 OM 的斜率为 0 b 2BMMA 5 10 I 求 E 的离心率 e II 设点 C 的坐标为 N 为线段 AC 的中点 点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 求 E 的方 0b 7 2 程 答案 I II 2 5 5 22 1 459 xy 考 点定位 1 椭圆的离心率 2 椭圆的标准方程 3 点点关于直线对称的应用 名师点睛 椭圆一直是解答题中考查解析几何知识的重要载体 不管对其如何进行改编与设计 抓住基础知识 考基本技能是不变的话题 解析几何主要研究两类问题 一是根据已知条件确定曲线方程 二是利用曲线方程研究 曲线的几何性质 曲线方程的确定可分为两类 若已知曲线类型 则采用待定系数法 若曲线类型未知时 则可利 用直接法 定义法 相关点法等求解 本题是第一种类型 要利用给定 28 2015 高考陕西 理 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 的半焦距为 原点到 22 22 1 xy ab 0ab c 第 6 页 共 31 页 经过两点 的直线的距离为 0c 0 b 1 2 c I 求椭圆的离心率 II 如图 是圆的一条直径 若椭圆经过 两点 求椭圆的方程 A 225 21 2 xy A 答案 I II 3 2 22 1 123 xy 解析 试题分析 I 先写过点 的直线方程 再计算原点到该直线的距离 进而可得椭圆的离心率 0c 0 b II 先由 I 知椭圆的方程 设的方程 联立 消去 可得和的值 进而 A 222 21 44 yk x xyb y 12 xx 12 x x 可得 再利用可得的值 进而可得椭圆的方程 k10A 2 b 试题解析 I 过点 的直线方程为 学优高考网 0c 0 b0bxcybc 则原点到直线的距离 22 bcbc d a bc 由 得 解得离心率 1 2 dc 22 22abac 3 2 c a II 解法一 由 I 知 椭圆的方程为 1 222 44xyb 依题意 圆心是线段的中点 且 2 1 A AB 10 易知 不与轴垂直 设其直线方程为 代入 1 得A x 2 1yk x 2222 1 4 8 21 4 21 40kxkkxkb 设则 1122 y B y A xx 22 1212 22 8 21 4 21 4 1 41 4 kkkb xxx x kk 由 得解得 12 4xx 2 8 21 4 1 4 kk k 1 2 k 从而 2 12 82x xb 第 7 页 共 31 页 于是 2 2 2 121212 15 AB 1 410 2 22 xxxxx xb 由 得 解得 AB 10 2 10 2 10b 2 3b 故椭圆的方程为 22 1 123 xy 解法二 由 I 知 椭圆的方程为 2 222 44xyb 考点 1 直线方程 2 点到直线的距离公式 3 椭圆的简单几何性质 4 椭圆的方程 5 圆的方程 6 直线 与圆的位置关系 7 直线与圆锥曲线的位置 名师点晴 本题主要考查的是直线方程 点到直线的距离公式 椭圆的简单几何性质 椭圆的方程 圆的方程 直线与圆的位置关系和直线与圆锥曲线的位置 属于难题 解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在 否则很容 易失分 解本题需要掌握的知识点是截距式方程 点到直线的距离公式和椭圆的离心率 即截距式方程 在轴上的截距 在轴上的截距 点到直线的距离1 xy ab xayb 000 x y 0lxyCA 椭圆 的离心率 00 22 xyC d A A 22 22 1 xy ab 0ab c e a 第 8 页 共 31 页 25 2015 高考重庆 理 21 如题 21 图 椭圆的左 右焦点分别为过的直线 22 22 10 xy ab ab 12 F F 2 F 交椭圆于两点 且 P Q 1 PQPF F2F1 P Q y x O 1 若 求椭圆的标准方程 12 22 22PFPF 2 若求椭圆的离心率 1 PFPQ e 答案 1 2 2 2 y 1 4 x 63 解析 试题解析 1 本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离 因此由椭圆定义可得长轴长 即参数的值 而由a 应用勾股定理可得焦距 即的值 因此方程易得 2 要求椭圆的离心率 就是要找到关于 1 PQPF c 的一个等式 题中涉及到焦点距离 因此我们仍然应用椭圆定义 设 则 a b c 1 PFm 2 2PFam 于是有 这样在中求得 22 2 22QFPQPFmamma 12 242QFaQFam 1 Rt PQF 在中可建立关于的等式 从而求得离心率 2 22 ma 12 Rt PFF a c 1 由椭圆的定义 学优高考网 12 2 PF PF 22224aa 故 2 设椭圆的半焦距为 c 由已知 因此 12 PFPF 即 22 22 1 212 2 FF PF PF 22222 3c 3c 从而 22 b1ac 故所求椭圆的标准方程为 2 2 y 1 4 x 第 9 页 共 31 页 2 解法一 如图 21 图 设点 P在椭圆上 且 则 00 y x 12 PFPF 22 222 00 00 22 y 1 x xyc ab 求得 2 22 00 2 y cb xab ac 由 得 从而 12 PF PF PQ 0 0 x 2 2 2 2 222222222 1 PF 2 c2222 cb ababa abaab ac 由椭圆的定义 从而由 有 1212 PF PF 2 QF QF 2aa 122 PF PQ PF QF 11 QF 42 PF a 又由 知 因此 12 PFPF 1 PF PQ 11 QF 2 PF 1 2 2 PF 4a 于是 22 2224 aaba 解得 2 14 1163 222 e 考点定位 考查椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 直线和椭圆相交问题 考查运算求解能力 名师点晴 确定圆锥曲线方程的最基本方法就是根据已知条件得到圆锥曲线系数的方程 解方程组得到系数 值 注意在椭圆中 c2 a2 b2 在双曲线中 c2 a2 b2 圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用 求椭 圆与双曲线的离心率的基本思想是建立关于 a b c 的方程 根据已知条件和椭圆 双曲线中 a b c 的关系 求 出所求的椭圆 双曲线中 a c 之间的比例关系 根据离心率定义求解 如果是求解离心率的范围 则需要建立关 于 a c 的不等式 第 10 页 共 31 页 2015 高考湖南 理 13 设是双曲线 的一个焦点 若上存在点 使线段的中点恰为FC 22 22 1 xy ab CPPF 其虚轴的一个端点 则的离心率为 C 答案 5 考点定位 双曲线的标准方程及其性质 名师点睛 本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质 属于容易题 根据对称性将条件中的信息进行 等价的转化是解题的关键 在求解双曲线的方程时 主要利用 焦点坐标 渐近线方程等性质 222 bac 也会与三角形的中位线 相似三角形 勾股定理等平面几何知识联系起来 2015 高考上海 理 9 已知点和的横坐标相同 的纵坐标是的纵坐标的倍 和的轨迹分别为双曲 Q Q2 Q 线和 若的渐近线方程为 则的渐近线方程为 1 C 2 C 1 C3yx 2 C 答案 3 2 yx 考 点定位 双曲线渐近线 名师点睛 1 已知渐近线方程 y mx 若焦点位置不明确要分或讨论 2 与双曲线 b m a a m b 共渐近线的可设为 3 若渐近线方程为 则可设为 22 22 1 xy ab 22 22 0 xy ab b yx a 4 相关点法求动点轨迹方程 22 22 0 xy ab 16 2015 高考山东 理 15 平面直角坐标系中 双曲线的渐近线与抛物线xoy 22 1 22 10 0 xy Cab ab 第 11 页 共 31 页 交于点 若的垂心为的焦点 则的离心率为 2 2 20Cxpy p O A BOAB 2 C 1 C 答案 3 2 解析 设 所在的直线方程为 则 所在的直线方程为 OA b yx a OB b yx a 解方程组 得 所以点 的坐标为 2 2 b yx a xpy 2 2 2 2 pb x a pb y a A 2 2 22 pbpb aa 抛物线的焦点 的坐标为 因为是 的垂心 所以 F0 2 p FABC 1 OBAF kk 所以 2 2 2 2 2 5 2 1 2 4 pbp bb a pb aa a 所以 22 2 22 93 1 42 cb ee aa 考点定位 1 双曲线的标准方程与几何性质 2 抛物线的标准方程与几何性质 名师点睛 本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质 意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分 析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力 三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键 点评 常规求值问题的方法常规求值问题的方法 待定系数法 先设后求 关键在于找等式 二 二 是否存在是否存在 问题问题 29 2015 高考新课标 1 理 20 在直角坐标系中 曲线 C y 与直线 0 交与 M N 两点 xoy 2 4 x ykxa a 当 k 0 时 分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程 y 轴上是否存在点 P 使得当 k 变动时 总有 OPM OPN 说明理由 答案 或 存在0axya 0axya 解析 试题分析 先求出 M N 的坐标 再利用导数求出 M N 先作出判定 再利用设而不求思想即将 代入曲线 C 的方程整理成关于的一元二次方程 设出 M N 的坐标和 P 点坐标 利用设而不求思想 ykxa x 将直线 PM PN 的斜率之和用表示出来 利用直线 PM PN 的斜率为 0 即可求出关系 从而找出适合条件a a b 的 P 点坐标 试题解析 由题设可得 或 2 Ma a 2 2 Na 2 2 Ma 2 Na a 第 12 页 共 31 页 故在 处的到数值为 C 在处的切线方程为学优高考网 1 2 yx 2 4 x y x2 2aa 2 2 a a 即 2 yaa xa 0axya 故在 处的到数值为 C 在处的切线方程为 2 4 x y x2 2aa 2 2 a a 即 2 yaa xa 0axya 故所求切线方程为或 5 分0axya 0axya 存在符合题意的点 证明如下 设 P 0 b 为复合题意得点 直线 PM PN 的斜率分别为 11 M x y 22 N xy 12 k k 将代入 C 得方程整理得 ykxa 2 440 xkxa 1212 4 4xxk x xa 12 12 12 ybyb kk xx 1212 12 2 kx xab xx x x k ab a 当时 有 0 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补 ba 12 kk 故 OPM OPN 所以符合题意 12 分 0 Pa 考点定位 抛物线的切线 直线与抛物线位置关系 探索新问题 运算求解能力 名师点睛 对直线与圆锥曲线的位置关系问题 常用设而不求思想 即设出直线方程代入圆锥曲线方程化为关于 的一元二次方程 设出交点坐标 利用根与系数关系 将交点的横坐标之和与积一元二次方程的系数表示出来 x 然后根据题中的条件和所求结论 选择合适的方法进行计算 注意题中条件的合理转化 如本题中 将角 OPM OPN 相同转化为直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补 进而转化为直线 PM 的斜率与直线 PN 的 斜率之和为 0 再将其坐标化 即可列出方程 解析几何题思路固定 字母运算复杂 需要细心和耐心 30 2015 高考北京 理 19 已知椭圆 的离心率为 点和点C 22 22 10 xy ab ab 2 2 0 1P 都在椭圆上 直线交轴于点 A mn 0m CPAxM 求椭圆的方程 并求点的坐标 用 表示 CMmn 设为原点 点与点关于轴对称 直线交轴于点 问 轴上是否存在点 使得OBAxPBxNyQ 若存在 求点的坐标 若不存在 说明理由 OQMONQ Q 答案 1 2 存在点 2 2 1 2 x y 0 1 m M n Q 0 2 第 13 页 共 31 页 考 点 1 求椭圆方程 2 求直线方程及与坐标轴的交点 3 存在性问题 名师点睛 本题考查直线和椭圆的有关知识及解存在性命题的方法 本题属于中偏难问题 思维量和运算量均有 利用待定系数法求出椭圆方程 利用直线方程的斜截式写出直线方程 求出点 M N 的坐标 利用直角三角形内锐 角三角函数正切定义求出 根据二者相等 解出 Q 点坐标 说明存在点符合条件的点 Q t an t anO Q MO N Q 三 过定点 定值问题三 过定点 定值问题 26 2015 高考四川 理 20 如图 椭圆 E 的离心率是 过点 P 0 1 的动直线 与 22 22 1 0 xy ab ab 2 2 l 椭圆相交于 A B 两点 当直线 平行与轴时 直线 被椭圆 E 截得的线段长为 lxl2 2 1 求椭圆 E 的方程 第 14 页 共 31 页 2 在平面直角坐标系中 是否存在与点 P 不同的定点 Q 使得 QAPA QBPB 恒成立 若存在 求出点 Q 的xOy 坐标 若不存在 请说明理由 答案 1 2 存在 Q 点的坐标为 22 1 42 xy 0 2 Q 解析 1 由已知 点在椭圆 E 上 2 1 因此 22 222 21 1 2 2 ab abc c a 解得 2 2ab 所以椭圆的方程为 学优高考网 22 1 42 xy 2 当直线 与轴平行时 设直线 与椭圆相交于 C D 两点 lxl 如果存在定点 Q 满足条件 则 即 1 QCPC QDPD QCQD 所以 Q 点在 y 轴上 可设 Q 点的坐标为 0 0 y 当直线 与轴垂直时 设直线 与椭圆相交于 M N 两点 lxl 则 0 2 0 2 MN 由 有 解得或 QMPM QNPN 0 0 2 21 2 21 y y 0 1y 0 2y 所以 若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件 则 Q 点的坐标只可能为 0 2 Q 下面证明 对任意的直线 均有 l QAPA QBPB 当直线 的斜率不存在时 由上可知 结论成立 l 当直线 的斜率存在时 可设直线 的方程为 A B 的坐标分别为 ll1ykx 1122 x yxy 联立得 22 1 42 1 xy ykx 22 21 420kxkx 第 15 页 共 31 页 其判别式 22 168 21 0kk 所以 1212 22 42 2121 k xxx x kk 因此 12 1212 11 2 xx k xxx x 易知 点 B 关于 y 轴对称的点的坐标为 22 Bxy 考点定位 本题考查椭圆的标准方程与几何性质 直线方程 直线与椭圆的位置关系等基础知识 考查推理论证 能力 运算求解能力 考查数形结合 化归与转化 特殊与一般 分类与整合等数学思想 名师点睛 高考中解几题一般都属于难题的范畴 考生应立足于拿稳第 1 题的分和第 2 小题的步骤分 解 决直线与圆锥曲线相交的问题 一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立 再根据根与系数的关系解答 本题是一 个探索性问题 对这类问题一般是根据特殊情况找出结果 然后再证明其普遍性 解决本题的关键是通过作 B 的对 称点将问题转化 2015 高考湖南 理 20 已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点 2 1 4Cxy F 22 2 22 1 0 yx Cab ab 与的公共弦的长为 1 C 2 C2 6 1 求的方程 2 C 2 过点的直线 与相交于 两点 与相交于 两点 且与同向Fl 1 CAB 2 CCDAC BD 第 16 页 共 31 页 若 求直线 的斜率 ACBD l 设在点处的切线与轴的交点为 证明 直线 绕点旋转时 总是钝角三角形 1 CAxMlFMFD 答案 1 2 i ii 详见解析 22 1 98 yx 6 4 解析 试题分析 1 根据已知条件可求得的焦点坐标为 再利用公共弦长为即可求解 2 i 设直线 2 C 1 0 62 的斜率为 则 的方程为 由得 根据条件可知 从而可以lkl1 kxy 2 1 4 ykx xy 2 16640 xkx AC BD 建立关于的方程 即可求解 ii 根据条件可说明 因此是锐角 kFA 22 11 1 110 24 xx FMy AFM 从而是钝角 即可得证180MFDAFM 试题解析 1 由 知其焦点的坐标为 也是椭圆的一焦点 1 C 2 4xy F 0 1 F 2 C 又与的公共弦的长为 与都关于轴对称 且的方程为 由此易 22 1ab 1 C 2 C2 6 1 C 2 Cy 1 C 2 4xy 知与的公共点的坐标为 联立 得 故的方程为 1 C 2 C 3 6 2 22 96 1 4ab 2 9a 2 8b 2 C 2 如图 22 1 98 xy f 11 A x y 22 B xy 33 C xy 44 D xy i 与同向 且 从而 即 于是AC BD BDAC AC BD 31 xx 42 xx 12 xx 34 xx 设直线 的斜率为 则 的方程为 由得 2 12 4xx 12 x x 2 34 4xx 34 x xlkl1 kxy 2 1 4 ykx xy 而 是这个方程的两根 由得 2 16640 xkx 1 x 2 x 12 4xxk 12 4x x 22 1 1 89 ykx xy 第 17 页 共 31 页 考 点定位 1 椭圆的标准方程及其性质 2 直线与椭圆位置关系 名师点睛 本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系 属于较难题 解决此 类问题的关键 1 结合椭圆的几何性质 如焦点坐标 对称轴 等 2 当看到题目中出现 222 cba 直线与圆锥曲线时 不需要特殊技巧 只要联立直线与圆锥曲线的方程 借助根与系数关系 找准题设条 件中突显的或隐含的等量关系 把这种关系 翻译 出来 有时不一定要把结果及时求出来 可能需要整 体代换到后面的计算中去 从而减少计算量 2015 高考上海 理 21 已知椭圆 过原点的两条直线和分别于椭圆交于 和 记 22 21xy 1 l 2 lA CD 得到的平行四边形的面积为 CDA S 第 18 页 共 31 页 1 设 用 的坐标表示点到直线的距离 并证明 11 x yA 22 C xyACC 1 l 1121 2Sx yx y 2 设与的斜率之积为 求面积的值 1 l 2 l 1 2 S 答案 1 详见解析 2 2S 解析 证明 1 直线 点到的距离 1 l 11 0y xx y C 1 l 1212 22 11 y xx y d xy 22 11 22 xyA A 所以 C1221 1 222 2 SSdx yx y A A 解 2 设 则 设 1 lykx 2 l 1 2 yx k 11 x yA 22 C xy 由 得 22 21 ykx xy 2 1 2 1 12 x k 同理 2 2 22 2 12 21 1 12 2 k x k k 由 1 2 2 12 12212112 22 212 21 22 2 1221 kk xxk Sx yx yxkxx x kk kkk 整理得 2S 考点定位 直线与椭圆位置关系 名师点睛 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 涉及弦长问题利用弦长公式解决 往往会更简单 三角形面积 公式的选用也是解题关键 点评 证明定值问题的方法证明定值问题的方法 常把变动的元素用参数表示出来 然后证明计算结果与参数无关 也可先在特殊 条件下求出定值 再给出一般的证明 处理定点问题的方法处理定点问题的方法 常把方程中参数的同次项集在一起 并令各项的系数为零 求出定点 也可先取 参数的特殊值探求定点 然后给出证明 4 最值问题最值问题 17 2015 江苏高考 12 在平面直角坐标系中 为双曲线右支上的一个动点 若点到直线xOyP1 22 yxP 第 19 页 共 31 页 的距离大于 c 恒成立 则是实数 c 的最大值为 01 yx 答案 2 2 解析 设 因为直线平行于渐近线 所以点到直线的距离恒大 1 P x yx 10 xy 0 xy P 01 yx 于直线与渐近线之间距离 因此 c 的最大值为直线与渐近线之间距离 为 10 xy 0 xy 10 xy 0 xy 12 22 考点定位 双曲线渐近线 恒成立转化 名师点晴 渐近线是双曲线独特的性质 在解决有关双曲线问题时 需结合渐近线从数形结合上找突破口 与渐 近线有关的结论或方法还有 1 与双曲线共渐近线的可设为 2 若渐近线方程为 22 22 1 xy ab 22 22 0 xy ab 则可设为 3 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 4 b yx a 22 22 0 xy ab b 的一条渐近线的斜率为 可以看出 双曲线的渐近线和离心率的实质都 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 2 2 1 bca e aa 表示双曲线张口的大小 另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化 其实质是确定极端或极限位置 22 2015 高考山东 理 20 平面直角坐标系中 已知椭圆的离心率为 左 xoy 22 22 10 xy Cab ab 3 2 右焦点分别是 以为圆心以 3 为半径的圆与以为圆心以 1 为半径的圆相交 且交点在椭圆上 12 F F 1 F 2 FC 求椭圆的方程 C 设椭圆 为椭圆上任意一点 过点的直线交椭圆 于两点 射 22 22 1 44 xy E ab PCPykxm E A B 线 交椭圆于点 POEQ i 求的值 OQ OP ii 求面积的最大值 ABQ 答案 I II i 2 ii 2 2 1 4 x y 6 3 第 20 页 共 31 页 试题 解析 I 由题意知 则 又 可得 24a 2a 222 3 2 c acb a 1b 所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y II 由 I 知椭圆 E 的方程为 22 1 164 xy i 设 由题意知 因为 00 P xy OQ OP 00 Qxy 2 2 0 0 1 4 x y 又 即 所以 即 22 00 1 164 xy 22 2 0 0 1 44 x y 2 2 OQ OP ii 设 1122 A x yB xy 将代入椭圆 E 的方程 ykxm 可得 222 1484160kxkmxm 由 可得 0 22 4 16mk 则有 2 1212 22 8416 1414 kmm xxx x kk 所以 22 12 2 4 164 14 km xx k 第 21 页 共 31 页 因为直线与轴交点的坐标为 ykxm 0 m 所以的面积 OAB 22 22 2 2 1641 214 kmm Smxx k 22222 222 2 164 24 141414 kmmmm kkk 令 将 代入椭圆 C 的方程可得 2 2 14 m t k ykxm 222 148440kxkmxm 由 可得 0 22 14mk 由 可知 01t 因此 故 2 2424St ttt 2 3S 当且仅当 即 时取得最大值 1t 22 14mk 2 3 由 i 知 面积为 所以面积的最大值为 ABQ 3SABQ 6 3 考点定位 1 椭圆的标准方程与几何性质 2 直线与椭圆位置关系综合问题 3 函数的最值问题 名师点睛 本题考查了椭圆的概念标准方程与几何性质以及直线与椭圆的位置关系 意在考查学生理解力 分析 判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力 在得到三角形的面积的表达式后 能否利用 换元的方法 观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键 27 2015 高考湖北 理 21 一种作图工具如图 1 所示 是滑槽的中点 短杆可绕转动 长杆通OABONOMN 过处铰链与连接 上的栓子可沿滑槽 AB 滑动 且 当栓子在滑槽 AB 内NONMND1DNON 3MN D 作往复运动时 带动绕转动一周 不动时 也不动 处的笔尖画出的曲线记为 以为原点 NODNMCO 所在的直线为轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 ABx 求曲线 C 的方程 设动直线 与两定直线和分别交于两点 若直线 总与曲线有且只有一个l 1 20lxy 2 20lxy P QlC 公共点 试探究 的面积是否存在最小值 若存在 求出该最小值 若不存在 说明理由 OQP BADO M N x D O M N y 第 22 页 共 31 页 答案 存在最小值 8 22 1 164 xy 解析 设点 依题意 0 2 D tt 00 N xyM x y 学优高考网 第 21 题解答图 x D O M N y P Q 且 2MDDN 1DNON 所以 且 00 2 txyxt y 22 00 22 00 1 1 xty xy 即且 0 0 22 2 txxt yy 0 2 0 t tx 由于当点不动时 点也不动 所以 不恒等于 0 DNt 于是 故 代入 可得 0 2tx 00 42 xy xy 22 00 1xy 22 1 164 xy 即所求的曲线的方程为 C 22 1 164 xy 1 当直线 的斜率不存在时 直线 为或 都有 ll4x 4x 1 448 2 OPQ S 2 当直线 的斜率存在时 设直线 l 1 2 l ykxmk 由 消去 可得 22 416 ykxm xy y 222 14 84160kxkmxm 因为直线 总与椭圆有且只有一个公共点 lC 所以 即 2222 644 14 416 0k mkm 22 164mk 又由 可得 同理可得 20 ykxm xy 2 1212 mm P kk 2 1212 mm Q kk 由原点到直线的距离为和 可得OPQ 2 1 m d k 2 1 PQ PQkxx 第 21 题图 1第 21 题图 2 第 23 页 共 31 页 考点 椭圆的标准方程 几何性质 直线与圆 椭圆的位置关系 最值 名师点睛 本题以滑槽 长短杆为背景 乍一看与我们往年考的很不一样 但是只要学生仔细读题均能找到椭圆 的 那么第一问就迎刃而解了 第二问仍然为圆锥曲线的综合问题 abc 直线与圆锥曲线位置关系的判断 有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查 一直是高考考查的重点 特别是焦点弦和中点弦等问题 涉及中点公式 根与系数的关系以及设而不求 整体代入 的技巧和方法 也是考查数学思想方法的热点题型 解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况 计算要准确 21 2015 高考浙江 理 19 已知椭圆上两个不同的点 关于直线对称 2 2 1 2 x y AB 1 2 ymx 1 求实数的取值范围 m 2 求面积的最大值 为坐标原点 AOB O 第 24 页 共 31 页 答案 1 或 2 6 3 m 6 3 m 2 2 试题分析 1 可设直线 AB 的方程为 从而可知有两个不同 1 yxb m 2 2 1 2 1 x y yxb m 的解 再由中点也在直线上 即可得到关于的不等式 从而求解 2 令 可ABm 1 t m 将表示为 的函数 从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值 从而求解 AOB t 试题解析 1 由题意知 可设直线 AB 的方程为 由 学优高考网0m 1 yxb m 2 2 1 2 1 x y yxb m 消去 得 直线与椭圆有两y 22 2 112 10 2 b xxb mm 1 yxb m 2 2 1 2 x y 个不同的交点 将 AB 中点代入直线 2 2 4 220b m 2 22 2 22 mbm b M mm 方程解得 由 得或 2 令 1 2 ymx 2 2 2 2 m b m 6 3 m 6 3 m 则 且 O 到直线 AB 166 0 0 22 t m 42 2 2 3 22 2 1 1 2 tt ABt t 第 25 页 共 31 页 的距离为 设的面积为 2 2 1 2 1 t d t AOB S t 当且仅当时 等号成立 故 22 1112 2 2 2222 S tAB dt 2 1 2 t AOB 面积的最大值为 2 2 考点定位 1 直线与椭圆的位置关系 2 点到直线距离公式 3 求函数的最值 名师点睛 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系等知识点 在直线与椭圆相交背景下求三角形面积的 最值 浙江理科数学试卷在 2012 年与 2013 年均有考查 可以看出是热点问题 将直线方程与椭圆方程联 立消去一个字母后利用韦达定理以及点到直线距离公式建立目标函数 将面积问题转化为求函数最值问 题 是常规问题的常规考法 应熟练掌握 同时 需提高字母运算的技巧 点评 最值问题的方法最值问题的方法 几何法 配方法 转化为二次函数的最值 三角代换法 转化为三角函数的最值 利用 切线的方法 利用均值不等式的方法等 五 求参数范围问题 五 求参数范围问题 常用思路 寻找不等式 将各限制条件都列出 再求交集 不要遗漏限制条件 常用建立不等式的途径 1 直线与曲线有交点时判别式大于等于零 2圆锥曲线中变量 X Y 的取值范围 3点与曲线的位置关系 如弦的中点在曲线内部 4已知题设中有的范围 5正弦函数 余弦函数的有界性 6均值不等式 7焦半径的取值范围 8函数的值域 9三角形图形中两边之和大于第三边 4 2015 高考新课标 1 理 5 已知 M 是双曲线 C 上的一点 是 C 上的两个焦点 00 xy 2 2 1 2 x y 12 F F 若 则的取值范围是 12 0MFMF 0 y A B 3 3 3 3 3 6 3 6 C D 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 答案 A 5 2015 高考湖北 理 8 将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长 1 e 1 Ca b ab 0 m m 度 得到离心率为的双曲线 则 2 e 2 C 第 26 页 共 31 页 A 对任意的 B 当时 当时 a b 12 ee ab 12 ee ab 12 ee C 对任意的 D 当时 当时 a b 12 ee ab 12 ee ab 12 ee 答案 D 解析 依题意 2 22 1 1 a b a ba e 2 22 2 1 ma mb ma mbma e 因为 由于 maa abm maa amabbmab ma mb a b 0 m0 a0 b 所以当时 所以 ba 10 a b 10 ma mb ma mb a b 22 ma mb a b 12 ee 当时 而 所以 所以 ba 1 a b 1 ma mb ma mb a b 22 ma mb a b 12 ee 所以当时 当时 ab 12 ee ab 12 ee 考点定位 双曲线的性质 离心率 名师点睛 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法 分类讨论的时应做到 分类不重不漏 标准要统一 层次 要分明 能不分类的要尽量避免或尽量推迟 决不无原则地讨论 6 2015 高考四川 理 10 设直线 l 与抛物线相交于 A B 两点 与圆相切于点 2 4yx 2 22 50 xyrr M 且 M 为线段 AB 的中点 若这样的直线 l 恰有 4 条 则 r 的取值范围是 A B C D 1 3 1 4 2 3 2 4 答案 D 解析 显然当直线 的斜率不存在时 必有两条直线满足题设 当直线 的斜率存在时 设斜率为 设llk 则 相减得 由于 所以 11221200 A x yB xyxx M xy 2 11 2 22 4 4 yx yx 121212 4 yyyyxx 12 xx 即 圆心为 由得 所以 1212 12 2 2 yyyy xx 0 2ky 5 0 CCMAB 0 00 0 0 1 5 5 y kkyx x 即点 M 必在直线上 将代入得 因为点 M 在圆 00 25 3x x 3x 3x 2 4yx 2 0 12 2 32 3yy 上 所以 又 由于斜率不存在 2 22 50 xyrr 22222 000 5 412416xyrry 2 0 44y 故 所以不取等号 所以 选 D 0 0y 2 0 4416 24yr 第 27 页 共 31 页 x y 1 2 3 4123456789 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 A B CF O M 考点定位 直线与圆锥曲线 不等式 名师点睛 首先应结合图形进行分析 结合图形易知 只要圆的半径小于 5 那么必有两条直线 即与 x 轴垂直的 两条切线 满足题设 因此只需直线的斜率存在时 再有两条直线满足题设即可 接下来要解决的问题是当直线的 斜率存在时 圆的半径的范围是什么 涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题 常常采用 点差法 在本题 中利用点差法可得 中点必在直线上 由此可确定中点的纵坐标的范围 利用这个范围即可得到 r 的取值3x 0 y 范围 考 点定位 双曲线的标准方程 向量数量积坐标表示 一元二次不等式解法 名师点睛 本题考查利用向量数量积的坐标形式将表示为关于点 M 坐标的函数 利用点 M 在双曲线上 12 MFMF 消去x0 根据题意化为关于的不等式 即可解出的范围 是基础题 将表示为的函数是解本 0 y 0 y 12 MFMF 0 y 题的关键 24 2015 高考天津 理 19 本小题满分 14 分 已知椭圆的左焦点为 离心率为 22 22 1 0 xy ab ab 0 Fc 点 M 在椭圆上且位于第一象限 直线被圆截得的线段的长为 c 3 3 FM 4 22 4 b xy 4 3 FM 3 I 求直线的斜率 FM II 求椭圆的方程 III 设动点在椭圆上 若直线的斜率大于 求直线 为原点 的斜率的取值范围 PFP2OPO 第 28 页 共 31 页 答案 I II III 3 3 22 1 32 xy 2 32 2 3 333 解析 I 由已知有 又由 可得 2 2 1 3 c a 222 abc 22 3ac 22 2bc 设直线的斜率为 则直线的方程为 由已知有FM 0 k k FM yk xc 解得 2 22 2 22 1 kccb k 3 3 k II 由 I 得椭圆方程为 直线的方程为 两个方程联立 消去 整理得 22 22 1 32 xy cc FM yk xc y 解得或 因为点在第一象限 可得的坐标为 由 22 3250 xcxc 5 3 xc xc MM 2 3 3 cc 解得 所以椭圆方程为 2 2 2 34 3 0 33 FMccc 1c 22 1 32 xy III 设点的坐标为 直线的斜率为 得 即 与椭圆方程联立P x yFPt 1 y t x 1 yt x 1 x 消去 整理得 又由已知 得 解得 22 1 1 32 yt x xy y 222 23 1 6xtx 2 2 62 2 3 1 x t x 或 3 1 2 x 10 x 设直线的斜率为 得 即 与椭圆方程联立 整理可得 OPm y m x 0 ymx x 2 2 22 3 m x 当时 有 因此 于是 得 3 1 2 x 1 0yt x 0m 2 22 3 m x 2 2 3 33 m