计算机组成原理课件（第三版）第三章 运算方法和运算器

计算机组成原理 主编： 石磊 教授 郑州大学信息工程学院计算机系 2 第一章 概述 第二章 计算机中的数据表示 第三章 运算方法和运算器 第四章 存储器及存储系统 第五章 指令系统 第六章 中央处理器 第七章 总线系统 第八章 输入输出系统 第九章 计算机外部设备 第十章 计算机系统及发展 目录 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 3页 第 3章 运算方法和运算器 计算机组成原理 清华大学出版社教学目标 教学重点 教学过程 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 4页 教学目标 理解和掌握数据在运算器中的基本运算方法 理解运算器的核心部件 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 5页 教学重点 运算器的核心部件 定点数和浮点数四则运算 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 6页 教学过程 点数的加减运算 点乘法运算 点除法运算 点运算器的组成和结构 点算术运算方法和浮点运算器 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 7页 计算机进行算术运算的特点 (1)所有数据都是用二进制数位形式来表示的。 (2)在计算机内部数以编码形式即机器数来表示的。 (3)机器运算用电子设备实现，电子设备规模有限，因而机器运算要解决运算方法、数据表示格式及数据长度的选取、规定等问题。 (4)用计算机进行运算时，都要把复杂的运算，简化为一系列最基本的运算才能实现。计算机可以实现的基本运算有算术运算 (加、减、乘、除等 )和逻辑运算 (与、或、异或等 )。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 8页 点数的加减运算 码加减运算规则 码加减运算规则 本的二进制加法 /减法器 法运算及其加速方法 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 9页 码加减运算 对两个数进行加减运算时，计算机的实际操作时加还是减，不仅取决于指令的操作码，还取决于两个操作数的符号。 当原码加减运算时，符号位并不参加运算，只有两数的绝对值参加运算。首先要判断参加运算的两个操作数的符号，再根据操作的要求决定进行相加还是相减运算，最后还要根据两个操作数绝对值的大小决定结果的符号，整个运算过程比较复杂。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 10页 码加减运算 在大多数计算机中，通常只设置加法器而不设置减法器，减法运算将转换为加法运算来实现。原码运算时，用 |X|+|Y|补来代替 |X|-|Y|。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 11页 码加减运算 原码加减运算规则如下： 参加运算的操作数取其绝对值。 若做加法，则两数直接相加，若做减法，则将减数先 变一次补，再进行加法运算。 运算之后，可能有两种情况： 若有进位，结果为正，即得到正确的结果。 若无进位，结果为负，则应再变一次补，才能得到正确的结果。 结果加上符号位。 通常，把运算之前的变补称为前变补，运算之后的变补称为后变补。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 12页 码加减运算 在大多数计算机中，通常只设置加法器而不设置减法器，减法运算将转换为加法运算来实现。原码运算时，用 |X|+|Y|补来代替 |X|-|Y|。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 13页 补码加法 补码加法的公式是 x补 +y补 = + 补 在模 2意义下，任意两数的补码之和等于该两数之和的补码 这是 补码加法的理论基础 ，其结论也适用于定点整数 例： x 补 y 补 x 补 y 补 + 补 所以 例： x 补 y 补 x 补 y 补 + 补 所以 算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 16页 补码减法 负数的减法运算可以转化为加法来做，它可以和常规的加法运算使用同一加法器电路，从而简化了计算机的设计 数用补码表示时，减法运算的公式为 补 x补 -y补 x补 - 2 2 例 ： 已知 1 2 ： ， ， ， 例： + + x补 y补 x 补 补 补 所以 算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 19页 溢出概念与检验方法 两个正数相加 ,结果为负（即： 大于机器所能表示的最大正数 ） ,称为 上溢 。 两个负数相加 ,结果为正（即： 小于机器所能表示的最小负数 ),称为 下溢 。 运算出现溢出，结果就是错误的 例 求 。 解 : 补 补 补 补 补 两正数相加，结果为负，显然错误。 运算中出现了“ 上溢 ” 有进位 无进位 又例 求 。 解 : 补 补 补 补 补 正数相加，结果无溢出 无进位 无进位 例 求 。 解 : 补 补 补 补 补 负数相加，结果为正，显然错误。 运算中出现了“ 下溢 ” 无进位 有进位 又例 求 。 解 : 补 补 补 补 补 负数相加，结果为负，无 溢出。 有进位 有进位 进一步结论 ： 当最高有效位产生进位而符号位无进位时 ,产生 上溢 ； 当最高有效位无进位而符号位有进位时 ,产生 下溢 。 产生 “ 溢出 ” 的原因 ： 分析可知，当最高有效数值位的运算 进位 与符号位的运算 进位 不一致时，将产生运算 “ 溢出 ” “溢出”检测方法 为了判断 “ 溢出 ” 是否发生 ,可采用 两种 检测的方法 。 第一种方法 ： 采用 双符号位 法 , 称为 “ 变形补码 ” 或“ 模 4补码 ” ,可使模 2补码所能表示的数的范围扩大一倍 第二种溢出检测方法 ： 采用 “ 单符号位法 ” 。 当最高有效位产生进位而符号位无进位时 ,产生 上溢 ； 当最高有效位无进位而符号位有进位时 ,产生 下溢 。 故： 溢出逻辑表达式为 ： V 中 : 进位。（显然：此逻辑关系可用异或门方便地实现） 在定点机中，当运算结果发生溢出时 ,机器通过逻 辑电路自动检查出溢出故障 ,并进行中断处理。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 26页 码加减运算规则 （ 1/4） 公式总结： X+Y补 =X补 +Y补 =X补 + 例 3X=Y= X+Y补 解： X补 =Y补 =X+Y补 = X补 +Y补 = 算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 27页 码加减运算规则 （ 2/4） 例 3X=Y= 解： X补 = 补 = = X补 + = 算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 28页 码加减运算规则 （ 3/4） 溢出及处理：补码加减运算可能溢出，为判断，采用变形补码形式 判断溢出的原则：以两位符号位表示数的符号。当两符号位不同时，溢出；两符号位相同时，无溢出。无论是否发生溢出，最高符号位代表真正的符号。 变形补码的加减法，同样是两个符号位都看作数值位参加运算，最高符号位产生的进位丢掉。 X+Y 变补 =X 变补 +Y 变补 变补 =X 变补 +变补 例 3X=Y= X+Y补 解： X变补 = Y 变补 = X+Y 变补 = X+Y补 = 算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 29页 码加减运算规则 （ 4/4） 例 3X=Y= X+Y补 解： X 变补 = Y 变补 = X+Y 变补 = 算结果的两符号位是 01，不相同，发生溢出，因第一符号位是 0，代表正数， 这种溢出为“正溢出”。 例 3X=Y= X+Y补 解： X 变补 = Y 变补 = X+Y 变补 = 果的两符号位是 10，不相同，发生溢出，因第一符号位是 1，代表负数， 所以称这种溢出为“负溢出”。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 30页 本的二进制加法 /减法器 在计算机中完成两个二进制数相加的基本加法器有半加器和全加器。半加器在完成两数相加时，不需要考虑低位进位。全加器用来完成两个二进制数相加，并且同时考虑低位的进位，即全加器完成三个一位数相加的功能。 设： 为第 i+1位产生的进位 则全加器以 、 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 31页 本的二进制加法 /减法器 图 3加器逻辑图 i i i i i+1 输 出 输 入 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 表 3加器真值表 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 32页 本的二进制加法 /减法器 全加器的表达式为： = 一位全加器内部逻辑图 B C i+1 A B C A i 算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 33页 本的二进制加法 /减法器 利用全加器可以实现两数的和或差 1、串行加法：从低位开始，每步只完成一位运算的加法。 串行加法器只需要一个全加器和一个进位触发器 计算两个 要 n+1步（ 1位符号位），或n+2步（ 2位符号位）运算。 高位运算只有等低位运算完成后才能进行，速度较慢 2、并行加法器：可在同一时刻完成 若采用变形补码表示一个机器数，则符号位需 2位，这时需要 n+2个加法器。 运算速度比串行进位加法器高很多，这是用足够多的硬件设备换来的。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 34页 本的二进制加法 /减法器 图 3波进位补码加法 /减法器 A A 0 1 0 1 0 溢出 控制 M=1 减 M=0 加 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 35页 法运算及其加速方法 在计算机技术发展过程中，人们提出了各种各样提高运算速度的方法： 、从计算机系统结构角度，提出了并行处理、流水线等方式； 、运算电路特别是用高速化的逻辑电路实现加法和移位功能； 、运算方法和逻辑结构的高速化。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 36页 法运算及其加速方法 1一级分组先行进位法 （ 1）相邻 4位加法器单元逻辑（第 i+开： i=i i I*，最后一项的前四个因子记为 则， 算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 37页 四位一组先行进位全加器 + + + i i 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 38页 一级分组先行进位及组间行波进位 14 1 (2 4 5 8 11 12 2 2 1 第 3组先行 进位加法器 第 2组先行 进位加法器 第 1组先行 进位加法器 第 0组先行 进位加法器 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 39页 法运算及其加速方法 2 二级分组先行进位法 仿一级分析法： + 1) + 3*(1 ) + 7* + 7*1 ) + 11* + 11*3*(1 ) 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 40页 法运算及其加速方法 图 4片 4位先行加法器构成的 16位快速进位加法器逻辑示意图 C 0 1 I+0 12 8 4 0 12 8 4 0 中组 (包括四小组 )加法器 5 10 I+2 14 15 一级先行进位 第 3组 一级先行进位 第 2组 一级先行进位 第 1组 一级先行进位 第 0组 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 41页 点乘法运算 实现乘除法运算的方案： 1、当使用乘除运算较多，速度要求高时，用硬件直接实现； 2、一般情况，配置乘除法选件； 3、对速度要求不高的机器，用软件实现。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 42页 码一位乘法 （ 1/5） 算法描述 设 X原 = iX 1Y原 = iY 1乘积 Z原 = ( 运算步骤 (1) 从乘数的最低位开始，用乘数 ，若 B 的某个二进制位为 1，则得位积 A；如为 0，则得位积 0。 (2) 的所得的位积，因为位权不同，逐次向左移位，即在空间上按一定位数错开，这样逐位进行下去，直到乘数各位都乘完为止。 (3) 把经过移位对准的各次位积相加起来即得结果。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 43页 码一位乘法 （ 2/5） 缺点 (a)将多个数一次相加，机器难以实现。一般的加法器，只能把两个输入数相加，多个位积的同时输入是无法实现的。 (b)乘积位数增长一倍，即 2n，而机器字长只有 改进 (a)把一次求和操作，变成逐步累加求部分积的操作。 (b)将求积过程中逐位按权左移位积的操作，改为位积不动，而是上次部分积右移的操作。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 44页 码一位乘法 （ 3/5） 手算方法 例如 求 A= 机器算法 若用 0 2 2 2A + 2 和 AB=求得乘积位左移位左移位左移不移位乘数被乘数0 1 0 0 1 1 1 0 02221 1 0 11121 1 0 10200 0 0 00 1 1 1 0 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 45页 码一位乘法 （ 4/5） 例 3已知 X=Y= X Y原 解： X原 =Y原 =X| = |Y| = 原码一位乘法运算规则，求 X Y原 的数值部分。 |X| |Y| = 而 1 0 =1 最后求得 X Y原 = 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 46页 例 3 位乘法运算过程 +） 0. 0 0 0 0 +） 0. 0 0 0 0 +） 0. 1 0 1 1 +） 0. 1 0 1 1 0. 0 0 0 1 0. 0 1 1 0 0. 1 1 0 0 0. 0 0 1 0 0. 0 0 1 0 0. 0 1 0 1 0. 0 1 0 1 0. 1 0 1 1 0. 0 0 0 0 右移一位得部分积 数同时右移一位 右移一位得部分积 数同时右移一位 右移一位得部分积 数同时右移一位 右移一位得部分积 数同时右移一位 ，加 |X| ，加 0 ，加 0 ，加 |X| 设部分积初值 操作说明 乘 数 部 分 积 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 低 位 积 高 位 积 例 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 47页 原码一位乘法逻辑结构原理图 1 S R 分积 Z 乘数 Y 计数器 i Y/2Y / 2Z 乘法启动 n 1 s 1 , 2 被乘数 X 加数器 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 48页 码一位乘法 （ 5/5） 工作原理 （ I） 乘法开始时，“启动”信号使控制触发器 1”，于是开启时序脉冲 T。 （ 当乘数寄存器 1”时，部分积 在加法器中相加，其结果输出至 （ 旦打入控制脉冲 制信号 此同时， 计数器 （ 计数器 i=数器的溢出信号使触发器 0”，关闭时序脉冲 T， 乘法宣告结束。 若将 1连接起来，乘法结束时乘积的高 0，低 1， 由于移位而全部丢失。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 49页 码一位乘法 X 补 与真值的关系： 设 X补 = n，则有设 X补 = 2X 证明：当 X补 = 2X=X 当 X补 = 2+X=2X（根据定义） 由此可得： X =X补 2 - 0 n 即 ，真值 X=X补 ； ，真值 X= n 故可推出，当 （ n） =X（ 0 n） 以得到： X Y补 = X补 ( n) + 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 50页 码一位乘法 校正法的思想： 先将任意两个补码 X补 、 Y补 看作是一般的二进制数，仍按原码运算规则求得 X补 Y补 ，然后对其结果加以校正，而获得 X Y补 之值。 当乘数 原码乘法相似，只是在部分积相加、右移操作时， 按补码性质进行；当乘数为负时，先不考虑乘数的符号，将乘数补码的数值部分与被乘数相乘；最后进行校正操作，即加上 。 设 Y补 = n ，我们用一个公式表示补码校正法的算法规则： X Y补 = X补 ( n) + 时， X Y补 = X补 ( n) 当 时， X Y补 = X补 ( n) + 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 51页 码一位乘法 布斯夫妇提出，又称 对校正法的改进，不论乘数为正为负，符号位都参加运算，其运算规则统一。 假设 X、 X补 和 Y 补 = n，都是任意符号表示的数。求新的部分积，取决于两个比较位的数位，即 布斯乘法规则： （ 1）设置附加位 =0，部分积初值 补 =0。 （ 2）当 n0时，判 ，若 =00或 11，即相邻位相同时，上次部分积右移一位，直接得部分积。 若 =01，上次部分积加 X补 ，右移一位得新部分积 若 =10，上次部分积加 ，右移一位得新部分积 （ 3）当 n=0时，判 （对应于 运算规则同（ 1）只是不移位。即在运算的最后一步，乘积不再右移。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 52页 码一位乘法 例 3X补 =Y补 =X Y 补 解： 补 = X Y 补 = 算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 53页 表 3 3+) 1 1 0 1 1 1 +) 0 0 1 0 0 1 +) 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 右移一位得部分积 右移一位得 右移一位得 =10， + =11，右移一位得 =01， +X补 =10， + =11，最后一步不移位 设部分积初值 ，附加位 =0 操作说明 乘 数 附加位 部 分 积 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 低 位 积 高 位 积 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 54页 码两位乘法 为了提高乘法的执行速度 ， 可以选用两位乘法的方案 。 所谓两位乘法 ， 就是每次处理乘数中的两位 ， 从而使乘法的速度提高了一倍 。 为了简单起见 ， 这里只介绍补码两位乘法 。 可以根据前面介绍的 即把补码两位乘理解为将 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 55页 假定上次乘法的部分积表示为 Z补，本次的部分积表示为 Z 补 ，则有： Z补 =2Z补 +（ - X补 Z 补 =2 Z补 +（ X补 =22Z补 +（ - X补 +（ X补 =2Z补 +（ - X补 +2（ X补 =2Z补 +（ + 2X补 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 56页 判断位 操 作 说 明 0 0 0 原部分积 +0，右移两位 0 0 1 原部分积 +X补 ，右移两位 0 1 0 原部分积 +X补 ，右移两位 0 1 1 原部分积 +2X补 ，右移两位 1 0 0 原部分积 +2 ，右移两位 1 0 1 原部分积 + ，右移两位 1 1 0 原部分积 + ，右移两位 1 1 1 原部分积 +0，右移两位 表 3补码两位乘法操作 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 57页 被乘数和部分积取 3个符号位，当乘数的数值位 数取 2个符号位，共需做 n/2+1次累加， n/2次移位（最后一次不移位）；当 数只需 1个符号位，共需 (n+1)/2次累加和移位，但最后一次仅移一位。 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 58页 例 3知 X=Y= X Y。 解： X补 =B， Y补= ， 0A 。 2X补 =2 = 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 59页 A C 附加位 说明 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 + 2 - X 补1 1 1 . 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 . 0 0 1 1 0 1 0 2 1 1 1 . 1 1 0 0 1 1 0 + 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 . 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 . 1 1 1 1 0 0 1 + X 补0 0 0 . 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 . 0 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 . 0 0 0 1 0 1 1 + - X 补1 1 1 . 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 . 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 . 1 1 0 1 1 0 0 1 . 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 , + 2 - X 补 部分积右移两位 1 1 1 , + 0 部分积右移两位 0 0 1 , + X 补 部分积右移两位 1 1 0 , + - X 补 最后一次右移一位 所以 X Y补 = Y=算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 60页 至此，介绍了原码、补码一位乘法和补码两位乘法，对于初学者来说，往往会在运算次数、符号位取多少位、符号位是否参加运算等问题上出错，为了帮助大家记忆，特将这 3种乘法运算的上述问题统一列于表3 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 61页 乘法类型 符号位 累加次数 移位 参与运算 部分积 乘数 方向 次数 每次位数 原码一位乘法 否 2 0 n 右 n 1 补码一位乘法 是 2 1 n+1 右 n 1 补码两位乘法 是 3 2( n/2+1 右 n/2 2 1( (n+1)/2 右 (n+1)/2 2(最后一次移 1位 ) 表 3乘法运算总结 计算机组成原理 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 62页 列乘法器 为了进一步提高乘法运算的速度，可采用高速乘法模块组成的阵列乘法器。设有两个不带符号的二进制整数 102102 101010)( 22)( 第三章运算方法和运算器 2016年 3月 14日 第 63页 例 3 例如： m=n=5时， P 9 P 8 P 7 P 6 P 5 P 4