计量经济分析方法和建模—第05章时间序列模型ppt课件.ppt

1 第五章时间序列模型 关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在前面的章节讨论过了 本章着重于时间序列模型的估计和定义 这些分析均是基于单方程回归方法 第9章我们还会讨论时间序列的向量自回归模型 这一部分属于动态计量经济学的范畴 通常是运用时间序列的过去值 当期值及滞后扰动项的加权和建立模型 来 解释 时间序列的变化规律 2 5 1序列相关理论 第3章在对扰动项ut的一系列假设下 讨论了古典线性回归模型的估计 检验及预测问题 如果线性回归方程的扰动项ut满足古典回归假设 使用OLS所得到的估计量是线性无偏最优的 但是如果扰动项ut不满足古典回归假设 回归方程的估计结果会发生怎样的变化呢 理论与实践均证明 扰动项ut关于任何一条古典回归假设的违背 都将导致回归方程的估计结果不再具有上述的良好性质 因此 必须建立相关的理论 解决扰动项不满足古典回归假设所带来的模型估计问题 3 5 1 1序列相关及其产生的后果 对于线性回归模型 5 1 1 随机误差项之间不相关 即无序列相关的基本假设为 5 1 2 如果扰动项序列ut表现为 5 1 3 4 即对于不同的样本点 随机扰动项之间不再是完全相互独立的 而是存在某种相关性 则认为出现了序列相关性 serialcorrelation 由于通常假设随机扰动项都服从均值为0 同方差的正态分布 则序列相关性也可以表示为 5 1 4 特别的 如果仅存在 5 1 5 称为一阶序列相关 这是一种最为常见的序列相关问题 5 如果回归方程的扰动项存在序列相关 那么应用最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低估 因此 检验参数显著性水平的t统计量将不再可信 可以将序列相关可能引起的后果归纳为 使用OLS公式计算出的标准差不正确 相应的显著性水平的检验不再可信 如果在方程右边有滞后因变量 OLS估计是有偏的且不一致 在线性估计中OLS估计量不再是有效的 6 EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具 但首先必须排除虚假序列相关 虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而引起的 例如 在生产函数模型中 如果省略了资本这个重要的解释变量 资本对产出的影响就被归入随机误差项 由于资本在时间上的连续性 以及对产出影响的连续性 必然导致随机误差项的序列相关 所以在这种情况下 要把显著的变量引入到解释变量中 5 1 2序列相关的检验方法 7 EViews提供了以下几种检测序列相关的方法 1 D W 统计量检验Durbin Watson统计量 简称D W 统计量 用于检验一阶序列相关 还可估算回归模型邻近残差的线性联系 对于扰动项ut建立一阶自回归方程 5 1 6 D W 统计量检验的原假设 0 备选假设是 0 8 如果序列不相关 D W 值在2附近 如果存在正序列相关 D W 值将小于2 如果存在负序列相关 D W 值将在2 4之间 正序列相关最为普遍 根据经验 对于有大于50个观测值和较少解释变量的方程 D W 值小于1 5的情况 说明残差序列存在强的正一阶序列相关 9 Dubin Waston统计量检验序列相关有三个主要不足 1 D W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X 2 回归方程右边如果存在滞后因变量 D W检验不再有效 3 仅仅检验是否存在一阶序列相关 其他两种检验序列相关方法 Q 统计量和Breush GodfreyLM检验克服了上述不足 应用于大多数场合 10 2 相关图和Q 统计量 我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自相关和偏自相关系数 在本章5 2 4节给出相应的公式 以及Ljung BoxQ 统计量来检验序列相关 Q 统计量的表达式为 其中 rj是残差序列的j阶自相关系数 T是观测值的个数 p是设定的滞后阶数 5 1 7 11 p阶滞后的Q 统计量的原假设是 序列不存在p阶自相关 备选假设为 序列存在p阶自相关 如果Q 统计量在某一滞后阶数显著不为零 则说明序列存在某种程度上的序列相关 在实际的检验中 通常会计算出不同滞后阶数的Q 统计量 自相关系数和偏自相关系数 如果 各阶Q 统计量都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值 则接受原假设 即不存在序列相关 并且此时 各阶的自相关和偏自相关系数都接近于0 12 反之 如果 在某一滞后阶数p Q 统计量超过设定的显著性水平的临界值 则拒绝原假设 说明残差序列存在p阶自相关 由于Q 统计量的P值要根据自由度p来估算 因此 一个较大的样本容量是保证Q 统计量有效的重要因素 在EViews软件中的操作方法 在方程工具栏选择View ResidualTests correlogram Q statistics EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的Ljung BoxQ统计量 如果残差不存在序列相关 在各阶滞后的自相关和偏自相关值都接近于零 所有的Q 统计量不显著 并且有大的P值 13 例5 1 利用相关图检验残差序列的相关性 下面是这些检验程序应用的例子 考虑用普通最小二乘估计的简单消费函数的结果 14 浏览这些结果 系数在统计上是很显著的 并且拟合得很好 但是 如果误差项是序列相关的 那么估计OLS标准误差将是无效的 并且估计系数由于在方程右端有滞后因变量会发生偏倚和不一致 在这种情况下D W统计量作为序列相关的检验是不合适的 因为在方程右端存在着一个滞后因变量 选择View Residualtest Correlogram Q statistice会产生如下情况 15 16 虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计标准差所夹成的 如果自相关值在这个区域内 则在显著水平为5 的情形下与零没有显著区别 本例1 3阶的自相关系数都超出了虚线 说明存在3阶序列相关 各阶滞后的Q 统计量的P值都小于5 说明在5 的显著性水平下 拒绝原假设 残差序列存在序列相关 17 3 序列相关LM检验 与D W 统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相关不同 Breush GodfreyLM检验 Lagrangemultiplier 即拉格朗日乘数检验 也可应用于检验回归方程的残差序列是否存在高阶自相关 而且在方程中存在滞后因变量的情况下 LM检验仍然有效 LM检验原假设为 直到p阶滞后不存在序列相关 p为预先定义好的整数 备选假设是 存在p阶自相关 检验统计量由如下辅助回归计算 18 1 估计回归方程 并求出残差et 5 1 8 2 检验统计量可以基于如下回归得到 5 1 9 这是对原始回归因子Xt和直到p阶的滞后残差的回归 LM检验通常给出两个统计量 F统计量和T R2统计量 F统计量是对式 5 1 9 所有滞后残差联合显著性的一种检验 T R2统计量是LM检验统计量 是观测值个数T乘以回归方程 5 1 9 的R2 一般情况下 T R2统计量服从渐进的分布 19 在给定的显著性水平下 如果这两个统计量小于设定显著性水平下的临界值 说明序列在设定的显著性水平下不存在序列相关 反之 如果这两个统计量大于设定显著性水平下的临界值 则说明序列存在序列相关性 在软件中的操作方法 选择View ResidualTests SerialcorrelationLMTest 一般地对高阶的 含有ARMA误差项的情况执行Breush GodfreyLM 在滞后定义对话框 输入要检验序列的最高阶数 20 上一例子中相关图在滞后值3时出现峰值 Q统计量在各阶滞后值中都具有显著性 它显示的是残差中的显著序列相关 进行序列相关的LM检验 选择View ResidualTests SerialCorrelationLMTest 输入p 2产生如下结果 例5 2 关于残差序列相关的LM检验 1 21 此检验拒绝直至2阶的无序列相关的假设 Q 统计和LM检验都表明 残差是序列相关的 因此方程在被用于假设检验和预测之前应该重新定义 22 例5 3 关于残差序列相关的LM检验 2 考虑美国的一个投资方程 美国的GNP和国内私人总投资INV是单位为10亿美元的名义值 价格指数P为GNP的平减指数 1972 100 利息率R为半年期商业票据利息 回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投资 它们是通过将名义变量除以价格指数得到的 分别用小写字母gnp inv表示 实际利息率的近似值r则是通过贴现率R减去价格指数变化率p得到的 样本区间 1963年 1984年 应用最小二乘法得到的估计方程如下 23 t 1 32 154 25 R2 0 80D W 0 94从D W 值来看 这个模型存在正的序列相关 但是 看起来还不是强的正序列相关 24 图5 1回归方程残差图 图5 1回归方程残差图 图5 1回归方程残差图从残差图5 1可以看到残差序列的变化有相似的波动 所以 再采取上面介绍的其他检验序列相关的方法检验残差序列的自相关性 25 下面采用LM统计量进行检验 p 2 得到结果如下 LM统计量显示 在5 的显著性水平拒绝原假设 回归方程的残差序列存在序列相关性 因此 回归方程的估计结果不再有效 必须采取相应的方式修正残差的自相关性 当然 对于这个例子 我们也可以用Q 统计量进行检验 而且效果更为直观 更有利于实际建模 但是这涉及到序列自相关和偏自相关系数的理论 26 5 1 3扰动项存在序列相关的线性回归方程的估计与修正 线性回归模型扰动项序列相关的存在 会导致模型估计结果的失真 因此 必须对扰动项序列的结构给予正确的描述 以期消除序列相关对模型估计结果带来的不利影响 通常可以用AR p 模型来描述一个平稳序列的自相关的结构 定义如下 5 1 10 5 1 11 27 其中 ut是无条件误差项 它是回归方程 5 1 10 的误差项 参数 0 1 2 k是回归模型的系数 式 5 1 11 是误差项ut的p阶自回归模型 参数 1 2 p是p阶自回归模型的系数 t是相应的扰动项 并且是均值为0 方差为常数的白噪声序列 它是因变量真实值和以解释变量及以前预测误差为基础的预测值之差 下面将讨论如何利用AR p 模型修正扰动项的序列相关 以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知参数 28 1 修正一阶序列相关最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR 1 模型 为了便于理解 先讨论一元线性回归模型 并且具有一阶序列相关的情形 即p 1的情形 5 1 12 5 1 13 把式 5 1 13 带入式 5 1 12 中得到 5 1 14 29 然而 由式 5 1 12 可得 5 1 15 再把式 5 1 15 代入式 5 1 14 中 并整理 5 1 16 令 代入式 5 1 16 中有 5 1 17 如果已知 的具体值 可以直接使用OLS方法进行估计 如果 的值未知 通常可以采用Gauss Newton迭代法求解 同时得到 0 1的估计量 30 2 修正高阶序列相关通常如果残差序列存在p阶序列相关 误差形式可以由AR p 过程给出 对于高阶自回归过程 可以采取与一阶序列相关类似的方法 把滞后误差逐项代入 最终得到一个扰动项为白噪声序列 参数为非线性的回归方程 并且采用Gauss Newton迭代法求得非线性回归方程的参数 例如 仍讨论一元线性回归模型 并且残差序列具有3阶序列相关的情形 即p 3的情形 31 按照上面处理AR 1 的方法 把扰动项的滞后项代入原方程中去 得到如下表达式 5 1 20 通过一系列的化简后 仍然可以得到参数为非线性 扰动项 t为白噪声序列的回归方程 运用非线性最小二乘法 可以估计出回归方程的未知参数 0 1 1 2 3 32 我们可以将上述讨论引申到更一般的情形 对于非线性形式为f xt 的非线性模型 若残差序列存在p阶序列相关 5 1 21 5 1 22 也可用类似方法转换成误差项 t为白噪声序列的非线性回归方程 以p 1为例 5 1 23 使用Gauss Newton算法来估计参数 33 3 在Eviews中的操作过程 选择Quick EstimateEquation或Object NewObject Equation打开一个方程 输入方程变量 最后输入ar 1 ar 2 ar 3 针对例5 1定义方程为 34 需要注意的是 输入的ar 1 ar 2 ar 3 分别代表3个滞后项的系数 因此 如果我们认为残差仅仅在滞后2阶和滞后4阶存在自相关 其他滞后项不存在自相关 即则估计时应输入 cscgdpcs 1 ar 2 ar 4 EViews在消除序列相关时给予很大灵活性 可以输入模型中想包括的各个自回归项 例如 如果有季度数据而且想用一个单项来消除季节自回归 可以输入 cscgdpcs 1 ar 4 35 ARMA估计选择 如前所述 带有AR或MA的模型用非线性最小二乘法估计 非线性估计方法对所有系数估计都要求初值 有时当迭代次数最大值达到时 方程终止迭代 尽管还未达到收敛 从前一步初值重新开始方程 使方程从中止处开始而不是从开始处开始 也可以试试不同的初值来保证估计是全部而不是局部平方误差最小 可以通过提供初值加速估计过程 36 为控制ARMA估计初值 在方程定义对话框单击options 在EViews提供的选项中 有几项设置初值的选择 EViews缺省方法是OLS TSLS 这种方法先进行没有ARMA项的预备估计 再从这些值开始非线性估计 另一选择是使用OLS或TSLS系数的一部分作为初值 可以选择0 3 0 5 0 8或者可以将所有初值设为零 用户确定初值选项是UserSupplied 在这个选项下 EViews使用C系数向量中的值 为设置初值 双击图标 为C系数向量开一窗口 进行编辑 37 为适当地设置初值 需对EViews如何为ARMA设置系数多些了解 EViews使用C系数向量 它按下列规则为变量安排系数 1 变量系数 以输入为序 2 定义的AR项 以输入为序 3 SAR MA SMA系数 按阶数由高到底 38 例如 下面两种定义将有同样规格的系数YcXma 2 ma 1 sma 4 ar 1 Ysma 4 car 1 ma 2 Xma 1 也可使用程序指令安排C向量值paramc 1 50c 2 0 8c 3 0 2c 4 0 6c 5 0 1c 6 0 5初值 常数是50 X系数的初值是0 8 ar 1 ma 2 ma 1 sma 4 系数的初值分别是0 2 0 6 0 1 0 5 估计后 可在方程表达式Representation选项见到系数安排 也可以从估计方程中填写C向量 选择pros update coefsfromequations 39 例5 4 用AR p 模型修正回归方程残差序列的自相关 例5 1中检验到带有滞后因变量的回归方程的残差序列存在明显的序列自相关 而且从相关图看到 可以采用AR 3 模型来修正回归方程的残差序列的自相关性 回归估计的结果如下 40 再对新的残差序列进行LM检验 最终得到的检验结果如下 41 含有AR项模型的估计输出 当估计某个含有AR项的模型时 在解释结果时一定要小心 在用通常的方法解释估计系数 系数标准误差和t 统计量时 涉及残差的结果会不同于OLS的估计结果 要理解这些差别 记住一个含有AR项的模型有两种残差 第一种是无条件残差 通过原始变量以及估计参数 算出 在用同期信息对yt值进行预测时 这些残差是可以观测出的误差 但要忽略滞后残差中包含的信息 42 第二种残差是估计的一期向前预测误差 如名所示 这种残差代表预测误差 对于含有AR项的模型 基于残差的回归统计量 如R2 回归标准误差 和D W值都是以一期向前预测误差为基础的 含有AR项的模型独有的统计量是估计的AR系数 43 对于简单AR 1 模型 是无条件残差的序列相关系数 对于平稳AR 1 模型 在 1 极端负序列相关 和 1 极端正序列相关 之间 一般AR p 平稳条件是 滞后算子多项式的根的倒数在单位圆内 EViews在回归输出的底部给出这些根 InvertedARRoots 如果存在虚根 根的模应该小于1 44 另外 EViews可以估计带有AR误差项的非线性回归模型 例如 将例5 4中的模型变为如下的非线性模型 估计如下带有附加修正项AR 3 的非线性方程 单击Quick EstimateEquation 打开一个方程 用公式法输入cs c 1 gdp c 2 c 3 cs 1 ar 1 c 4 ar 2 c 5 ar 3 c 6 45 输出结果显示为 46 5 2平稳时间序列建模 本节将不再仅仅以一个回归方程的残差序列为研究对象 而是直接讨论一个平稳时间序列的建模问题 在现实中很多问题 如利率波动 收益率变化及汇率变化等通常是一个平稳序列 或者通过差分等变换可以化成一个平稳序列 本节中介绍的ARMA模型 autoregressivemovingaveragemodels 可以用来研究这些经济变量的变化规律 这样的一种建模方式属于时间序列分析的研究范畴 47 如果随机过程的均值和方差 自协方差都不取决于t 则称ut是协方差平稳的或弱平稳的 注意 如果一个随机过程是弱平稳的 则ut与ut s之间的协方差仅取决于s 即仅与观测值之间的间隔长度s有关 而与时期t无关 一般所说的 平稳性 含义就是上述的弱平稳定义 5 2 1平稳时间序列的概念 48 5 2 2ARMA模型 1 自回归模型AR p p阶自回归模型记作AR p 满足下面的方程 5 2 4 其中 参数c为常数 1 2 p是自回归模型系数 p为自回归模型阶数 t是均值为0 方差为 2的白噪声序列 49 2 移动平均模型MA q q阶移动平均模型记作MA q 满足下面的方程 5 2 5 其中 参数 为常数 参数 1 2 q是q阶移动平均模型的系数 t是均值为0 方差为 2的白噪声序列 50 3 ARMA p q 模型 5 2 6 显然此模型是模型 5 2 4 与 5 2 5 的组合形式 称为混合模型 常记作ARMA p q 当p 0时 ARMA 0 q MA q 当q 0时 ARMA p 0 AR p 51 5 2 3ARMA模型的平稳性 1 AR p 模型的平稳性条件为了理解AR p MA q 和ARMA p q 模型的理论结构 简单的算子理论是必不可少的 对于AR p 模型 5 2 7 设L为滞后算子 则有 特别地 则式 5 2 7 可以改写为 5 2 8 52 若设 令 5 2 9 则 z 是一个关于z的p次多项式 AR p 模型平稳的充要条件是 z 的根全部落在单位圆之外 式 5 2 7 可以改写为滞后算子多项式的形式可以证明如果AR p 模型满足平稳性条件 则式 5 2 10 可以表示为如下MA 的形式 5 2 10 53 5 2 11 其中且 假定平稳性条件满足 将式 5 2 7 两端取期望可以求得均值或 5 2 13 5 2 12 5 2 14 54 式 5 2 11 表示ut可以由一个白噪声序列的线性组合表示出来 现在可以看到 任何一个AR p 模型均可以表示为白噪声序列的线性组合 事实上 式 5 2 11 是沃尔德分解定理 Wold定理 的特例 沃尔德分解定理 Wold定理 任何零均值协方差平稳过程ut可表示成如下形式其中 t是白噪声序列 对于任意的j t的值与 t j无关 t称为ut的确定性分量 而称为线性非确定性分量 5 2 15 55 2 MA q 模型的可逆性考察MA q 模型若的根全部落在单位圆之外 则式 5 2 16 的MA算子称为可逆的 5 2 16 56 5 2 17 比较式 5 2 16 和式 5 2 17 可知 5 2 18 运用MA算子的逆运算 式 5 2 16 可写成AR 的形式 尽管不可逆时也可以表征任何给定的数据 但是一些参数估计和预测算法只有模型可逆时才有效 57 3 ARMA p q 模型的平稳性条件ARMA p q 模型包括了一个自回归模型AR p 和一个移动平均模型MA q 或者以滞后算子多项式的形式表示 5 2 19 5 2 20 58 若令则ARMA p q 模型 5 2 19 平稳的充要条件是 z 的根全部落在单位圆之外 在式 5 2 20 的两边除以 可以得到其中 5 2 21 5 2 22 5 2 23 59 ARMA模型构造了一种更为复杂的白噪声序列的线性组合 近似逼近一个平稳序列 可以看出ARMA模型的平稳性完全取决于自回归模型的参数 而与移动平均模型参数无关 60 在Eviews中确定ARMA形式 1 ARMA项 模型中AR和MA部分应使用关键词ar和ma定义 在上面AR定义中 我们已见过这种方法的例子 这对MA也同样适用 例如 估计一个2阶自回归和1阶动平均过程ARMA 2 1 应将AR 1 MA 1 AR 2 和其它解释变量一起包含在回归因子列表中 ycgovar 1 ar 2 ma 1 61 如果采用公式法输入方程 则要将AR和MA项系数明确列出 形式为 LS c 1 ar 1 c 2 ar 2 c 3 ma 1 c 4 下面说明EViews是如何估计一个ARMA p q 模型的 单击Quick EstimateEquation打开一个方程 输入LScar 1 ma 1 即可 62 2 季节ARMA项 对于带有季节因素的季度数据 BoxandJenkins 1976 建议使用季节自回归SAR和季节动平均SMA SAR p 定义为带有p阶滞后的季节自回归项 估计中使用的滞后多项式是AR项和SAR项定义的结合 与此类似 SMA q 定义为带有q阶滞后的季节动平均 估计中使用的滞后多项式是MA项和SMA项定义的结合 存在SAR项则允许建立一个滞后多项式 例如 没有季节项的2阶AR过程 63 例如 没有季节项的2阶AR过程 用滞后算子 则上式可表示为 可以通过回归自变量的ar 1 ar 2 项来估计这个过程 对于季度数据 可以加入sar 4 来表示季节因素 定义方程 ycxar 1 ar 2 sar 4 估计误差结构为 64 等价于 参数和季节因素相联系 注意 这是对系数有非线性约束的AR 6 模型 在另一个例子中 无季节性的二阶MA过程如下 可以通过包含ma 1 和ma 2 来估计二阶MA过程 65 对季度数据 可以添加sma 4 考虑季节性 例如定义方程 ycxma 1 ma 2 sma 4 估计模型为 等价于 参数和季节因素相联系 这是对系数有非线性约束的MA 6 模型 还可以在方程说明中同时包括SAR SMA项 66 例5 5 利用AR 1 模型描述上证指数的变化规律 本例取我国上证收盘指数 时间期间 1991年1月 2003年3月 的月度时间序列S作为研究对象 用AR 1 模型描述其变化规律 首先对其做变化率 srt 100 St St 1 St 1 t 1 2 T 这样便得到了变化率序列 一般来讲 股价指数序列并不是一个平稳的序列 而通过变换后的变化率数据 是一个平稳序列 可以作为我们研究 建模的对象 记上证股价指数变化率序列为sr 建立如下模型 67 回归结果为 68 图5 2实线是上证股价指数变化率序列sr 虚线是AR 1 模型的拟合值 从图5 2可以看出我国上证股价指数变化率序列在1991年 1994年之间变化很大 而后逐渐变小 基本在3 上下波动 近年来波动平缓 并且大多在3 下面波动 拟合曲线基本代表了这一时期的均值 69 5 2 4ARMA模型的识别 在实际研究中 所能获得的只是经济指标的时间序列数据 根据经济指标的样本特征 来推断其总体 真实 特征 这一节将引入自相关系数 autocorrelations 简称AC 和偏自相关系数 partialautocorrelations 简称PAC 这两个统计量去识别ARMA p q 模型 1 自相关系数时间序列ut滞后k阶的自相关系数由下式估计 5 2 26 70 其中是序列的样本均值 这是相距k期值的相关系数 称rk为时间序列ut的自相关系数 自相关系数可以部分的刻画一个随机过程的性质 它告诉我们在序列ut的邻近数据之间存在多大程度的相关性 通常的 AR p 模型的自相关系数是随着k的增加而呈现指数衰减或者震荡式的衰减 具体的衰减形式取决于AR p 模型滞后项的系数 71 2 偏自相关系数偏自相关系数是指在给定ut 1 ut 2 ut k的条件下 ut与ut k之间的条件相关性 其相关程度用偏自相关系数 k k度量 在p阶滞后下估计偏相关系数的计算公式如下 5 2 27 72 其中 rk是在k阶滞后时的自相关系数估计值 这是偏相关系数的一致估计 要得到 k k的更确切的估计 需要进行回归 5 2 28 5 2 29 因此 滞后k阶的偏相关系数是当ut对ut 1 ut k作回归时ut k的系数 称之为偏相关是因为它度量了k期间距的相关而不考虑k 1期的相关 73 如果这种自相关的形式可由滞后小于k阶的自相关表示 那么偏相关在k期滞后下的值趋于零 一个纯的p阶自回归过程AR p 的偏相关系数在p阶截尾 而纯的动平均函数的偏相关过程渐进趋于零 因此 如果我们能求出关于 k k的估计值 用以检验其显著性水平 就能够确定时间序列ut的自相关的阶数 3 MA模型的识别MA q 模型 5 2 30 74 其中 t是均值为0 方差为 2的白噪声序列 而自协方差 k 计算可得 75 进而得到 5 2 33 上式表明对MA q 模型 当k q时 rk 0 ut与ut k不相关 这种性质通常称为截尾 即MA q 模型的自相关函数在q步以后是截尾的 76 MA q 的偏自相关系数的具体形式随着q的增加变得越来越复杂 很难给出一个关于q的一般表达式 但是 一个MA q 模型对应于一个AR 模型 因此 MA q 模型的偏自相关系数一定呈现出某种衰减的形式是拖尾的 故可以通过识别一个序列的偏自相关系数的拖尾形式 大致确定它应该服从一个MA q 过程 77 4 AR模型的识别可以不加证明的给出AR p 过程的自相关系数 5 2 34 其中 1 2 p是AR p 模型的特征多项式 5 2 35 的p个特征根 g1 g2 gp为任意给定的p个常数 78 由此可知 AR p 模型的自相关系数会由于g1 g2 gp及k取值的不同 呈现出不同的衰减形式 可能是指数式的衰减 也可能是符号交替的震荡式的衰减 例如 对于AR 1 模型 其自相关系数为 当r1 0时 rk呈指数式的衰减 当r1 0时 rk呈震荡式的衰减 因此 可以通过自相关系数来获得一些有关AR p 模型的信息 如低阶AR p 模型系数符号的信息 但是 对于自回归过程AR p 自相关系数并不能帮助我们确定AR p 模型的阶数p 所以 可以考虑使用偏自相关系数 k k 以便更加全面的描述自相关过程AR p 的统计特征 79 这里我们通过简单的证明给出AR p 模型的偏自相关系数 对于一个AR p 模型 5 2 36 将式 5 2 36 两边同时乘以ut k k 1 2 p 再对方程两边取期望值并除以序列ut的方差得到如下关于系数 1 2 p的线性方程组 5 2 37 80 其中 r1 r2 rp分别为序列ut的1 2 p阶自相关系数 然后求解方程组 5 2 37 计算出一组解 1 2 p 就可得到的偏自相关系数为 k k k k 1 2 p 且对于一个AR p 模型 k k的最高阶数为p 也即AR p 模型的偏自相关系数是p阶截尾的 因此 可以通过识别AR p 模型的偏自相关系数的个数 来确定AR p 模型的阶数p 进而设定正确的模型形式 并通过具体的估计方法估计出AR p 模型的参数 81 例5 6利用自相关和偏自相关系数识别ARMA模型并检验序列相关性 例5 1考察了美国1947年第1季度 1995年第1季度的消费和GDP之间的关系 发现残差存在序列相关 并且例5 4用AR 3 模型修正了残差的序列相关性 但是 我们并没有说明是通过怎样的方法来判断残差服从一个AR 3 模型 这个例子将借助Q 统计量 自相关系数和偏自相关系数图 说明如何判断模型的阶数 回归方程 82 83 图5 3原方程的残差图 从残差图5 3可以观察到 残差序列基本是平稳的 这一点还可以用5 3 2节介绍的单位根检验来验证 下面计算残差序列的自相关系数和偏自相关系数 84 图5 4原方程的残差序列的相关图 85 自相关系数呈震荡式递减 偏自相关系数除了1 2和3阶显著不为0以外 其他各项均接近于0 因此 我们可以猜测残差序列的自相关结构可以用AR 3 模型来纠正 模型建立如下 86 图5 5修正序列相关后的回归方程的相关图 87 5 模型的识别与建立我们引入了自相关系数和偏自相关系数这两个统计量来识别ARMA p q 模型的系数特点和模型的阶数 但是 在实际操作中 自相关系数和偏自相关系数是通过要识别序列的样本数据估计出来的 并且随着抽样的不同而不同 其估计值只能同理论上的大致趋势保持一致 并不能精确的相同 因此 在实际的模型识别中 自相关系数和偏自相关系数只能作为模型识别过程中的一个参考 并不能通过它们准确的识别模型的具体形式 88 例5 7利用消费价格指数研究模型识别和建模 本例将用ARMA模型模拟1990年1月 2004年12月的居民消费价格指数CPI 上年同月 100 的变化规律 实际上用后面学到的单位根检验可知CPI序列是一个非平稳的序列 但是它的一阶差分序列 CPI是平稳的 首先观察 CPI序列的自相关系数和偏自相关系数的图形 89 图5 6 CPI序列的相关图 90 从图5 6可以看出 CPI序列的自相关系数是拖尾的 偏自相关系数在1阶结尾 由前面的知识可以判断 CPI序列基本满足AR 1 过程 建模得到 91 图5 7左边是CPI序列的实际值和拟合值 右边是残差序列 由图5 7可以观察到AR 1 模型比较好的拟合了CPI序列 回归方程的残差序列基本上也是一个零均值的平稳序列 92 图5 8 CPI序列方程残差序列的相关图 从图5 8的回归方程的残差序列的自相关系数和偏自相关系数可以看到不存在序列相关 因此 在实际建模中 可以借助ARMA p q 模型去拟和一些具有平稳性的经济变量的变化规律 93 前述的AR p MA q 和ARMA p q 三个模型只适用于刻画一个平稳序列的自相关性 一个平稳序列的数字特征 如均值 方差和协方差等是不随时间的变化而变化的 时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的概率分布 然而 对于一个非平稳时间序列而言 时间序列的数字特征是随着时间的变化而变化的 5 3非平稳时间序列建模 94 也就是说 对于一个平稳的时间序列可以通过过去时间点上的信息 建立模型拟合过去信息 进而预测未来的信息 而非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同的 难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的随机性 因此 对于一个非平稳序列去建模 预测是困难的 但在实践中遇到的经济和金融数据大多是非平稳的时间序列 95 图5 9中国1978年 2002年的GDP序列 96 1 确定性时间趋势和单位根过程描述类似图5 9形式的非平稳经济时间序列有两种方法 一种方法是包含一个确定性时间趋势 5 3 1 其中ut是平稳序列 a t是线性趋势函数 这种过程也称为趋势平稳的 因为如果从式 5 3 1 中减去a t 结果是一个平稳过程 注意到像图5 9一类的经济时间序列常呈指数趋势增长 但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势 5 3 1非平稳序列和单整 97 另一种方法是设定为单位根过程 非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算 得到具有平稳性的序列 考虑下式 5 3 2 也可写成 5 3 3 98 其中a是常数 ut是平稳序列 若ut i i d N 0 2 且ut是一个白噪声序列 则该过程称为含位移a的随机游走 若令a 0 y0 0 则由式 6 2 生成的序列yt 有var yt t 2 t 1 2 T 显然违背了时间序列平稳性的假设 而其差分序列 yt是平稳序列 99 实际上 在5 1节中讨论的回归方程的序列自相关问题是暗含着残差序列是一个平稳序列 这是因为 如果残差序列是一个非平稳序列 则说明因变量除了能被解释变量解释的部分以外 其余的部分变化仍然不规则 随着时间的变化有越来越大的偏离因变量均值的趋势 这样的模型是不能够用来预测未来信息的 100 残差序列是一个非平稳序列的回归被称为伪回归 这样的一种回归有可能拟合优度 显著性水平等指标都很好 但是由于残差序列是一个非平稳序列 说明了这种回归关系不能够真实的反映因变量和解释变量之间存在的均衡关系 而仅仅是一种数字上的巧合而已 伪回归的出现说明模型的设定出现了问题 有可能需要增加解释变量或者减少解释变量 抑或是把原方程进行差分 以使残差序列达到平稳 一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列通过某种变换化成一个平稳序列 根据5 2节中的方法建模 并利用变量之间的相关信息 描述经济时间序列的变化规律 101 2 单整像前述yt这种非平稳序列 可以通过差分运算 得到平稳性的序列称为单整 integration 序列 定义如下 定义如果序列yt 通过d次差分成为一个平稳序列 而这个序列差分d 1次时却不平稳 那么称序列yt为d阶单整序列 记为yt I d 特别地 如果序列yt本身是平稳的 则为零阶单整序列 记为yt I 0 102 单整阶数是使序列平稳而差分的阶数 对于上面的随机游走过程 有一个单位根 所以是I 1 同样 平稳序列是I 0 一般而言 表示存量的数据 如以不变价格资产总值 储蓄余额等存量数据经常表现为2阶单整 以不变价格表示的消费额 收入等流量数据经常表现为1阶单整 而像利率 收益率等变化率的数据则经常表现为0阶单整 103 如果两个序列分别为d阶单整和e阶单整 即xt I d yt I e e d则二序列的线性组合是e阶单整序列 即zt axt byt I max d e 104 5 3 2非平稳序列的单位根检验检查序列平稳性的标准方法是单位根检验 本节将介绍5种单位根检验方法 DF检验 ADF检验 PP检验 KPSS检验和ERS检验 前三种方法出现的比较早 在实际应用中较为常见 但是 由于这3种方法均需要对被检验序列作可能包含常数项和趋势变量项的假设 因此 应用起来带有一定的不便 后3种方法克服了前3种方法带来的不便 在剔除原序列趋势的基础上 构造统计量检验序列是否存在单位根 应用起来较为方便 105 其中a是常数 t是线性趋势函数 ut i i d N 0 2 1 DF检验为说明DF检验的使用 先考虑3种形式的回归模型 106 1 如果 1 1 则yt平稳 或趋势平稳 2 如果 1 yt序列是非平稳序列 5 3 4 式可写成 显然yt的差分序列是平稳的 3 如果 的绝对值大于1 序列发散 且其差分序列是非平稳的 107 因此 判断一个序列是否平稳 可以通过检验 是否严格小于1来实现 也就是说 原假设H0 1 备选假设H1 1 从方程两边同时减去yt 1得 108 其中 1 所以原假设和备选假设可以改写为可以通过最小二乘法得到 的估计值 并对其进行显著性检验的方法 构造检验显著性水平的t统计量 109 但是 Dickey Fuller研究了这个t统计量在原假设下已经不再服从t分布 它依赖于回归的形式 是否引进了常数项和趋势项 和样本长度T Mackinnon进行了大规模的模拟 给出了不同回归模型 不同样本数以及不同显著性水平下的临界值 这样 就可以根据需要 选择适当的显著性水平 通过t统计量来决定是否接受或拒绝原假设 这一检验被称为Dickey Fuller检验 DF检验 110 上面描述的单位根检验只有当序列为AR 1 时才有效 如果序列存在高阶滞后相关 这就违背了扰动项是独立同分布的假设 在这种情况下 可以使用增广的DF检验方法 augmentedDickey Fullertest 来检验含有高阶序列相关的序列的单位根 111 2 ADF检验ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量yt的滞后差分项来控制高阶序列相关 112 扩展定义将检验 5 3 14 也就是说原假设为 原假设至少存在一个单位根 备选假设为 序列不存在单位根 序列yt可能还包含常数项和时间趋势项 判断 的估计值是接受原假设或者接受备选假设 进而判断一个高阶自相关序列AR p 过程是否存在单位根 113 类似于DF检验 Mackinnon通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验不同显著性水平的t统计量的临界值 这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根 114 但是 在进行ADF检验时 必须注意以下两个实际问题 1 必须为回归定义合理的滞后阶数 通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数 在实际应用中 还需要兼顾其他的因素 如系统的稳定性 模型的拟合优度等 115 2 可以选择常数和线性时间趋势 选择哪种形式很重要 因为检验显著性水平的t统计量在原假设下的渐进分布依赖于关于这些项的定义 如果在检验回归中含有常数 意味着所检验的序列的均值不为0 一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线图 通过图形观察原序列是否在一个偏离0的位置随机变动 进而决定是否在检验时添加常数项 116 如果在检验回归中含线性趋势项 意味着原序列具有时间趋势 同样 决定是否在检验中添加时间趋势项 也可以通过画出原序列的曲线图来观察 如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势随时间变化而变化 那么便可以添加时间趋势项 117 EViews软件中的操作说明 双击序列名 打开序列窗口 选择View unitRootTest 得到下图 单位根检验窗口 118 进行单位根检验必须定义4项 1 选择检验类型在Testtype的下拉列表中 选择检验方法 EViews5提供了6种单位根检验的方法 AugmentedDickey Fuller ADF Test Phillips Perron PP Test Dickey FullerGLSTest Kwiatkowski Phillips SchmidtandShin KPSS Test Elliot Rothenberg andStockPointOptimal ERS Test NgandPerron NP Test 119 2 选择被检验序列的形式在Testforunitrootin中确定序列在水平值 一阶差分 二阶差分下进行单位根检验 可以使用这个选项决定序列中单位根的个数 如果检验水平值未拒绝 而在一阶差分拒绝原假设 序列中含有一个单位根 是一阶单整I 1 如果一阶差分后的序列仍然拒绝了原假设 则需要选择2阶差分 一般而言 一个序列经过两次差分以后都可以变为一个平稳序列 也就是二阶单整I 2 120 3 定义检验方程中需要包含的选项在Includeintestequation中定义在检验回归中是否含有常数项 常数和趋势项 或二者都不包含 这一选择很重要 因为检验统计量在原假设下的分布随这3种情况不同而变化 在什么情况下包含常数项或者趋势项 刚才已经作了介绍 121 4 定义序列相关阶数在Laglenth这个选项中可以选择一些确定消除序列相关所需的滞后阶数的准则 一般而言 EViews默认Akaikeinfo准则和Scharz准则 定义上述选项后 单击OK进行检验 EViews显示检验统计量和估计检验回归 单位根检验后 应检查EViews显示的估计检验回归 尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定 可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验 122 5 关于核函数形式的选择如果选择KPSS法 ERS法和NP法进行单位根检验 还需要选择适当的核函数 如下图所示 在Spectralestimationmethod中选择具体的核函数形式 123 例5 8检验居民消费价格指数序列的平稳性 例5 7用AR 1 模型模拟1990年1月 2004年12月居民消费价格指数一阶差分 CPI的变化规律 在用ADF进行单位根检验前 需要设定序列的是否含有常数项或者时间趋势项 我们可以通过画出原序列的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项 从图5 7的CPI图形可以看出含有常数项 但不含有时间趋势项 CPI序列的ADF检验结果如下 124 125 检验结果显示 CPI序列接受原假设 因此 CPI序列是一个非平稳的序列 接着再对一阶差分 CPI序列进行单位根检验 ADF检验结果如下 126 检验结果显示 一阶差分 CPI序列拒绝原假设 接受 CPI序列是平稳序列的结论 因此 CPI序列是1阶单整序列 即CPI I 1 例5 9检验中国GDP序列的平稳性 127 3 PP检验类似于DF检验的作用 Phillips和Perron 1988 提出一种非参数方法来检验一阶自回归过程AR 1 的平稳性 附加一个修正因子 对于方程 5 3 15 原假设和备选假设为 128 接受原假设 意味着存在一个单位根 反之 接受备选假设 意味着不存在单位根 PP检验 Phillips PerronTest 也是通过构造一个具有t分布的统计量tp p来检验的取值情况 只是此时t统计量的构造相对于DF检验的统计量更为稳健 PP统计量tp p的具体构造形式如下 129 5 3 17 其中 是式 5 3 15 回归残差方差的一致估计量 即其中k是解释变量的个数 5 3 18 130 5 3 19 其中q是截断滞后因子 t 是t统计量 是的标准差 是回归标准差 是残差序列的j阶自协方差的估计值 残差在零频率处的谱密度估计量 131 通过模拟可以给出PP统计量在不同显著性水平下的临界值 使得我们能够很容易的实施检验 使用PP检验 还必须定义截断滞后因子q 即要包括需修正的序列相关阶数 选择的滞后阶数可以通过原序列的自相关和偏自相关系数图大致确定 也可以通过AIC准则来确定 132 4 KPSS检验KPSS Kwiatkowski Phillips Schmidt Shin 1992 检验的原理是用从待检验序列中剔出截距项和趋势项的序列 构造LM统计量 令 yt 是被检验序列 xt 是外生变量向量序列 xt 包含原序列 yt 中可能含有的截距项 或者截距项和趋势项 建立如下回归方程 5 3 20 133 其中 xt 1 表示 yt 中只含有截距项 或 xt 1 t 表示 yt 中含有截距项和趋势项 对方程 5 3 20 作最小二乘回归得到残差序列的估计 是剔除趋势和截距项的序列 KPSS检验就是基于此基础上 通过检验残差的估计序列 是否存在单位根 从而来判断原序列是否存在单位根 令 5 3 21 134 则KPSS统计量LM构造如下 5 3 22 KPSS检验的原假设是序列是 趋势 平稳的 备选假设是序列是不平稳的 Kwiatkowski Phillips Schmidt Shin 1992 给出了不同置信水平下的临界值 小于临界值接受原假设 式 5 3 22 中的f0是频率为零时的残差谱密度 在实际应用中 主要有两种f0的估计方法 1 协方差核估计 2 自回归谱密度估计量 135 5 ERS检验ERS Elliot Rothenberg StockPointOptimal 1996 检验是在被检验序列的拟差分序列回归基础上构造的统计量进行检验的 首先定义序列的拟差分序列如下 5 3 28 136 并且构造如下回归方程 5 3 29 其中 xt包含了常数项或者常数项和趋势项 令表示方程 5 3