实际问题与二元一次方程组

W 1 实际问题与二元一次方程组实际问题与二元一次方程组 知识精点知识精点 在本节的学习中 通过探究用二元一次方程组解决实际问题 理解和掌握列二元一次 方程组解应用题的一般步骤 进一步提高自己分析问题 解决问题的能力 增强应用数学 知识的意识 本节的主要概念有 1 列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题 先将题中的未知量设成未知数 用字母表示 审清题意 再找出题中含未知数字母的相等关系 列出方程组成方程组 一 般地 有几个未知数 就要列几个方程 而且所列方程必须满足 1 方程组中各个方程 的同一个未知数必须表示的是同一个量 2 方程中各同类量的单位必须统一 3 所 得的解既要满足方程组中的每一个方程 又要符合题目的实际情况 2 列二元一次方程的一般步骤 1 审题 2 找相等关系 3 列出方程组成方程组 4 解方程组 并检验 5 作答 重 难 疑点重 难 疑点 重点 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 难点 找相等关系 列方程组 疑点 各类型应用题中的基本关系式的理解与运用 典例精讲典例精讲 例例 1 一列快车长 70 米 慢车长 80 米 若两车同向而行 快车从追上慢车到完全离 开慢车为 20 秒 若两车相向而行 则两车从相遇到离开时间为 4 秒 求两车每小时各行多 少千米 方法指导 方法指导 同向而行属于追及问题 追及路程为两车长之和 相向而行属于相遇问题 相遇距离为两车长之和 解 解 设快车速度为 x 米 秒 慢车速度为 y 米 秒 根据题意 得 8070 4 8070 20 yx yx 解方程组 得 15 5 22 y x 即 hkmsmyhkmsmx 54 15 81 5 22 答 快车每小时行 81 千米 慢车每小时行 54 千米 方法总结 本题的关键是认识到两车相对运动问题的实质是相遇和追及问题 并且相方法总结 本题的关键是认识到两车相对运动问题的实质是相遇和追及问题 并且相 遇或追及的距离是两车车长 所用的公式是速度和 差 遇或追及的距离是两车车长 所用的公式是速度和 差 时间时间 相距 追及 距离 相距 追及 距离 举一反三举一反三 某商场按定价销售某种商品时 每件可获利 45 元 按定价的 8 5 折销售该 商品 8 件与定价降低 35 元销售该商品 12 件所获利润相等 该商品进价 定价分别是多少 解 解 设进价 定价分别为 x y 元 根据题意 得 35 12 85 8 45 xyxy xy 解得 200 155 y x 例例 2 泰州市中考题 一批货物要运往某地 货主准备租用汽车运输公司的甲 乙 W 2 两种货车 已知过去两次租用这两种货车的情况如下表 第一次第二次 甲种货车辆数 辆 25 乙种货车辆数 辆 36 累计运货吨数 t 15 535 现租用该公司 3 辆甲种货车及 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货 如果按每吨付运费 30 元计算 问 货主应付运费多少元 方法指导 方法指导 欲求运费数 须求运货吨数 求运货总吨数 则只须求出甲 乙两种货车 每辆车的运载量即可 根据表中信息可知 两个相等关系是 1 2 甲货车的运载量 3 乙货车的运载量 15 5 2 5 甲货车的运载量 6 乙货车的运载量 35 解 解 设甲种货车每辆车的运载量为 x 吨 乙种货车每辆车的运载量为 y 吨 根据题意 得 3565 5 1532 yx yx 解得 5 2 4 y x 货主应付费 30 4 3 2 5 5 735 元 答 货主应付运费 735 元 方法总结 若无法直接设元 则应采用间接设元法 要善于读懂表格 从图表中获取方法总结 若无法直接设元 则应采用间接设元法 要善于读懂表格 从图表中获取 信息 信息 举一反三举一反三 宿迁市中考题 项王故里的门票价格规定如下表 购票人数1 50 人51 100 人100 人以上 每人门票价5 元4 5 元4 元 某校初一甲 乙两班共有 103 人 其中甲班人数多于乙班人数 去游项王故里 如果 两班都以班为单位购票 则一共需付 486 元 1 如果两班联合起来 作为一团体购票 则可以节约多少元钱 2 两班各有多少名学生 解 解 1 两班团体购票的费用为 103 4 412 则可节约 486 412 74 元 2 设甲班有 x 人 乙班有 y 人 且 x y 则有 若 10051 x 501 y 则 48655 4 103 yx yx 解得 45 58 y x 若 10051 x 10051 y 则 4865 45 4 103 yx yx 无解 若 x 100 501 y 则 48654 103 yx yx 解得 74 29 y x x 29 与 x 100 矛盾 舍去 故甲班有 58 人 乙班有 45 人 例例 3 重庆市中考题 某中学新建了一栋 4 层的教学大楼 每层楼有 8 间教室 进 出这栋大楼共有 4 道门 其中两道正门大小相同 两道侧门大小也相同 安全检查中 对 4 道门进行了测试 当同时开启一道正门和两道侧门时 2 分钟内可以通过 560 名学生 当 同时开启一道正门和一道侧门时 4 分钟内可以通过 800 名学生 W 3 1 求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生 2 检查中发现 紧急情况时因学生拥挤 出门的效率将降低 20 安全检查规定 在紧急情况下全大楼的学生应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离 假设这栋教学大楼每门 教室最多有 45 名学生 问 建造的这 4 道门是否符合安全规定 请说明理由 方法指导 方法指导 1 题中的两个相等关系是 2 一道正门的人流量 2 一道侧门的 人流量 560 一道正门的人流量 一道侧门的人流量 4 800 2 分别计算出这栋教学楼学生最多时的人数 拥挤时 5 分钟 4 道门能通过的人数 再作比较得出结论 解 解 1 设平均每分钟一道正门可以通过 x 名学生 一道侧门可以通过 y 名学生 根 据题意 得 800 4 560 2 2 yx yx 解得 80 120 y x 2 这栋教学楼最多有学生 4 8 45 1440 名 拥挤时 5 分钟 4 道门能通过 5 2 120 80 1 20 1600 名 1600 1440 建造的 4 道门符合安全规定 答 1 平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过 120 人和 80 人 2 大楼建造的 4 道门符合安全规定 方法总结 根据题设所给等量关系正确设元 方法总结 根据题设所给等量关系正确设元 举一反三举一反三 北京市海淀区中考题 某同学在 A B 两家超市发现他看中的随身听的 单价相同 书包单价也相同 随身听和书包单价之和是 452 元 且随身听的单价比书包单 价的 4 倍少 8 元 1 求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元 2 某一天该同学上街 恰好赶上商家促销 超市 A 所有商品打八折销售 超市 B 全场购物满 100 元返购物券 30 元销售 不足 100 元不返券 购物券全场通用 但他只带 了 400 元钱 如果他只在一家超市购买看中的这两样物品 你能说明他可以选择哪一家购 买吗 若两家都可以选择 在哪一家购买更省钱 解 解 1 设书包的单价为 x 元 随身听的单价为 y 根据题意 得 84 452 xy yx 解得 360 92 y x 2 在超市 A 购买随身听与书包各一件需花费 452 80 361 6 元 361 6 400 可选择在超市 A 购买 在超市 B 可先花费现金 360 元购买随身听 再利用得到的 90 元返券 加上 2 元现金 购买书包 总计共花费现金 360 2 362 元 362361 6 在超市 A 购买更省钱 答 1 随身听 书包的单价各为 360 元和 92 元 2 A B 两家超市均可以购买 但在超市 A 购买更省钱 知识网络知识网络 列二元一次方程组解应用题的步骤为 W 4 学法点津学法点津 学习列二元一次方程组解应用题时要注意运用类比的思想方法 建立在一元一次方程 解应用题的基础上去学习它 熟悉各种类型的实际问题中的基本关系式 善于将题中的未 知量与已知量联系起来 找出题中所含的相等关系式 所列方程组必须满足 1 方程组 中同一个未知数表示的是同一个量 2 方程两边的数值要相等 求出方程组的解后要检 验 检验包括两个方面 1 代入原方程组检验 2 代入实际问题中检验 1 某车间每天能生产甲种零件 120 个 或者乙种零件 100 个 或者丙种零件 200 个 甲 乙 丙 3 种零件分别取 3 个 2 个 1 个才能配一套 则在 30 天内最多能生产 套产品 各应生产甲 乙 丙 3 种零件 天 2 贰元与伍元纸币共 25 张 共 80 元 那么贰元与伍元纸币分别有 张和 张 3 兄弟两人 弟弟 5 年后的年龄与哥哥 5 年前的年龄相等 3 年后兄弟两人的年龄和 是他们年龄之差的 3 倍 则兄弟两人今年的岁数分别为 4 某学校组织七年级学生到学农基地进行学农劳动 基地分配给该学校宿舍若干 如 果每室住 8 人 则少 12 个床位 如果每室住 9 人 却又空出 2 个房间 问该学校参加这次 学农劳动的学生有多少人 基地分配给学校宿舍有几间 5 客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶 客车长 150m 货车长 250m 如果两 车相向而行 那么两车车头相遇到车尾离开共需 10s 如果客车从后面追货车 那么从客 车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需 100s 求两车的速度 6 一个两位数的十位数字与个位数字之和是 7 如果这个两位数与 45 的和正好是原 两位数个位数字与十位数字对调后的两位数 求这个两位数 7 据报道 2000 年第一季度我国对外贸易进出口总额达 980 亿美元 比 1999 年同期 增长 40 其中出口增长了 39 进口增长了 41 2000 年第一季度我国对外贸易出口 进口各多少美元 8 在预防 非典 活动中 向明中学初三 1 班 45 名同学被平均分配到甲 乙 丙 三处打扫环境卫生 甲处的同学最先完成打扫任务 卫生委员根据实际情况及时把甲处的 同学全部调到乙 丙两处支援 调动后 乙处的人数恰好为丙处人数的 1 5 倍 问从甲处 调往乙 丙两处各多少人 9 某牛奶加工厂现有鲜奶 9t 若在市场上直接销售鲜奶 每吨可获利润 500 元 制成 酸奶销售 每吨可获利润 1200 元 制成奶片销售 每吨可获利润 2000 元 该工厂的生产能力是 如制成酸奶 每天可加工 3t 制成奶片每天可加工 1t 受人员 限制 两种加工方式不可同时进行 受气温条件限制 这批牛奶必须在 4 天内全部销售或 加工完毕 为此 该厂设计了两种可行方案 方案一 尽可能多地制成奶片 其余的直接销售 W 5 方案二 将一部分制成奶片 其余制成酸奶销售 并恰好 4 天完成 你认为选择哪种方案获利最多 为什么 10 教育局组织了 12 个队参加的足球友谊循环赛 每两个队之间赛且赛一场 中 规 定胜一场得 3 分 平一场得 1 分 负一场得 0 分 某校足球队在这次循环赛中所胜场数比 所负场数多 2 场 结果共得 18 分 你能求出该校足球队胜了几场 平了几场 负了几场 试一试 11 某市为更有效地利用水资源 制定了用水标准 如果一户三口之家每月用水量不 超过 3 Mm 按每立方米水 1 30 元计算 如果超过 3 Mm 超过部分按每立方米水 2 90 元 收费 其余仍按每立方米水 1 30 元计算 小红一家三人 1 月份共用水 3 12m 支付水费 22 元 问该市制定的用水标准 M 为多少 小红一家超标使用了多少立方米的水 同步练习二同步练习二 某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机 已知该厂家生产三种不同型号的电视 机 出厂价分别为 甲种每台 1500 元 乙种每台 2100 元 丙种每台 2500 元 1 若商场同时购进其中两种不同型号电视机共 50 台 用去 9 万元 请你研究一下 商场的进货方案 2 若商场销售一台甲种电视机可获利 150 元 销售一台乙种电视机可获利 200 元 销售一台丙种电视机可获利 250 元 在同时购进两种不同型号电视机的方案中 为使销售 时获利最多 你选择哪种进货方案 3 若商场准备用 9 万元同时购进三种不同型号的电视机 50 台 请你设计进货方 案 参考答案参考答案 同步练习一同步练习一 1 600 15 12 3 2 15 10 3 17 岁和 7 岁 4 学生有 252 人 宿舍有 30 间 5 客车速度 22m s 货车速度 18m s 6 解 设这个两位数十位数字为 x 个位数字为 y 则 104510 7 xyyx yx 解得 6 1 y x 故这个两位数为 16 7 解 设 1999 年第一季度我国对外出口 x 亿美元 进口 y 亿美元 则 980 411 391 980 401 yx yx 解得 350 350 y x 所以 1 39x 486 5 1 41y 493 5 故 2000 W 6 年第一季度对外贸易出口 486 5 亿美元 进口 493 5 亿美元 8 设从甲处调往乙处 x 人 调往丙处 y 人 则有 15 5 115 15 yx yx 解方程组得 3 12 y x 9 解 方案一 获利 10500500 149 200014 1 W 元 方案二 设有 xt 鲜奶制成奶片 yt 鲜奶制成酸奶 则 4 3 9 y x yx 解得 5 7 5 1 y