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相对论习题课及大作业解答 例题1 两个惯性系中的观察者O和O 以0 6c的相对速度互相接近 如果测得两者的初始距离是20m 则O 测得两者经过时间 t s后相遇 A 例2 例3 某宇宙飞船以0 8c的速度离开地球 若地球上接收到它发出的两个信号之间的时间间隔为10s 则宇航员测出的相应的时间间隔为 A 6s B 8s C 10s D 16 7s 例4 一火箭的固有长度为L 相对于地面匀速直线运动的速率为v1 火箭上的人从火箭后端向位于前端的靶发射子弹 子弹相对于火箭的速率为v2 在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是 例5 宇宙飞船相对地球以0 8c飞行 一光脉冲从船尾传到船头 飞船上的观察者测得飞船长90m 地球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件的空间间隔是 A 30m B 54m C 270m D 90m 设飞船系为S 地球系为S 由尺缩效应 错 在地球系中 光脉冲从船尾发出 与 光脉冲到达船头 不同时 所以 这两个事件的空间间隔不是地球系中测得的飞船长度 解 地球系中 飞船系中 例5 宇宙飞船相对地球以0 8c飞行 一光脉冲从船尾传到船头 飞船上的观察者测得飞船长90m 地球上的观察者测得光脉冲从船尾传到船头两事件的空间间隔是 A 30m B 54m C 270m D 90m 例6 地面上一个短跑选手用10s跑完100m 问在与运动员同方向上以v 0 6c运动的飞船中观测 这个选手跑了多长距离 用了多少时间 例6 地面上一个短跑选手用10s跑完100m 问在与运动员同方向上以v 0 6c运动的飞船中观测 这个选手跑了多长距离 用了多少时间 由洛仑兹变换得 解 在飞船中的观察者看来 选手用12 5秒时间反向跑了2 25 109米 例7 一宇宙飞船的船身固有长度为L0 90m 相对地面以匀速率v 0 8c在一观测站的上空飞过 求 1 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔 2 宇航员测得飞船的船身通过观测站的时间间隔 2 宇航员测得飞船船身通过观测站的时间间隔 解 1 由相对论效应 观测站测出船身的长度为 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔 例8 在惯性系K中 有两个事件同时发生在x轴上相距1000m的两点 而在另一惯性系K 沿x轴方向相对于K系运动 中测得这两个事件发生的地点相距2000m 求在K 系中测这两个事件的时间间隔 解 由洛仑兹变换得 解法二 由 洛仑兹不变量 得 例9 本题5分 4368 在K惯性系中观测到相距 x 9 108m的两地点相隔 t 5s发生两事件 而在相对于K系沿x方向以匀速度运动的K 系中发现此两事件恰好发生在同一地点 试求在K 系中此两事件的时间间隔 解 设两系的相对速度为v 可直接得到 因为 t 是原时 解法二 由 洛仑兹不变量 得 例10 本题5分 4378 火箭相对于地面以v 0 6c c为真空中光速 的匀速度向上飞离地球 在火箭发射后 t 10s时 火箭上的钟 该火箭向地面发射一导弹 其速度相对于地面为v1 0 3c 问火箭发射后多长时间 导弹到达地球 地球上的钟 计算中假设地面不动 解 按地球的钟 导弹发射的时间是在火箭发射后 3分 这段时间火箭在地面上飞行距离 则导弹飞到地球的时间是 1分 那么从火箭发射后到导弹到达地面的时间是 1分 例题11设电子静止质量为m0 将一个电子从0 6c加速到速率为0 8c 需作功 0 128MeV 例题12 北京和上海直线相距1000km 在某一时刻从两地同时各开出一列火车 现有一飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过 速率恒为v 9km s 求宇航员测得的两列火车开出时刻的间隔 哪一列先开出 飞船系 由洛仑兹变换得 上海先发车 例13 一位宇航员乘一艘火箭飞船以0 6c的速度飞过地球 同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点 按照宇航员的测定 火箭飞船在午后12点30分通过一个相对地球静止不动的空间站 并用无线电向地球报告 1 此时 空间站的时钟指的是什么时间 2 宇航员测定地球到空间站的距离是多少 3 地球上观测者测定地球到空间站距离是多少 4 地球上收到无线电讯号 地球上是什么时间 5 地球上收到无线电讯号 飞船上是什么时间 例题13 一位宇航员乘一艘火箭飞船以0 6c的速度飞过地球 同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点 按照宇航员的测定 火箭飞船在午后12点30分通过一个相对地球静止不动的空间站 并用无线电向地球报告 1 此时 空间站的时钟指的是什么时间 2 宇航员测定地球到空间站的距离是多少 解 1 火箭飞船测得为原时 空间站上时钟为午后12点37 5分 2 宇航员测得距离 例题13 一位宇航员乘一艘火箭飞船以0 6c的速度飞过地球 同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点 按照宇航员的测定 火箭飞船在午后12点30分通过一个相对地球静止不动的空间站 并用无线电向地球报告 3 地球上观测者测定地球到空间站距离是多少 4 地球上收到无线电讯号 地球上是什么时间 解 3 地球上观测者测得距离 4 按地球上的钟 讯号传播所需时间 距离 速度 午后12点37 5分 22 5分 午后1点地球上收到讯号 例题13 一位宇航员乘一艘火箭飞船以0 6c的速度飞过地球 同时校准他的时钟与地球时钟均指正午12点 按照宇航员的测定 火箭飞船在午后12点30分通过一个相对地球静止不动的空间站 并用无线电向地球报告 5 地球上收到无线电讯号 飞船上是什么时间 解 5 按飞船上的钟 讯号传播所需时间 距离 速度 宇航员测得 午后12点30分 18分 午后12点48分地球收到讯号 A 2 火车以恒定速度通过隧道 火车与隧道的静长相等 从地面上观察 当火车的前端b到达隧道的前端B的同时 有一道闪电击中隧道的后端A 这闪电能否在火车的后端a留下痕迹 在地面参照系S中看 火车长度要缩短 隧道A端的闪电不会在火车的a端留下痕迹 在火车参照系S 中 隧道长度缩短 但隧道的B端与火车b端相遇这一事件与隧道A端发生闪电的事件不是同时的 而是B端先与b端相遇 而后A处发生闪电 隧道B端与火车b端相遇这一事件与A端发生闪电事件的时间差 t 为 移动的距离为 当A端发生闪电时 火车的a端已进入隧道内 所以闪电仍不能击中a端 隧道B端与火车b端相遇时 火车露在隧道外面的长度为 答案 B C C B D 选择题7 一个电子的运动速度v 0 99c 它的动能是 电子的静止能量为0 51MeV A 3 5MeV B 4 0MeV C 3 1MeV D 2 5MeV C A 物理定律对所有惯性系都是一样的 即所有惯性系对一切物理定律等价 在所有惯性系中 真空中的光速相同 且与光源运动无关 运动相对缩短慢 2 在S系中x轴上距离为 x的两处有两个同步钟A和B 在S 系中x 轴上有一个相同的钟A 设S 系相对于S系沿x方向匀速运动 速度为v 且当A 与A相遇时 两钟的读数均为零 那么 当A 钟与B钟相遇时 S系中B钟的读数是 此时S 系中A 钟的读数是 2 在S系中x轴上距离为 x的两处有两个同步钟A和B 在S 系中x 轴上有一个相同的钟A 设S 系相对于S系沿x方向匀速运动 速度为v 且当A 与A相遇时 两钟的读数均为零 那么 当A 钟与B钟相遇时 S系中B钟的读数是 此时S 系中A 钟的读数是 填空题3 一列高速火车以速率u驶过车站 站台上的观察者甲观察到固定于站台 相距1m的两只机械手在车厢上同时划出两个痕迹 求车厢上的观察者乙测出两个痕迹间的距离为多少 思考 哪个长度为原长 把 火车上的痕迹 看成 一把尺 在站台系中 两端同时测量得L 1m 这一长度为 非原长 火车上的痕迹 在车厢系中的长度为原长 填空题6 1 在速度v 情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍 2 在速度v 情况下粒子的动能等于它的静止能量 填空题7 在实验室中 有一个以速率0 5c飞行的原子核 此核沿着它的运动方向以相对于核为0 8c的速度射出一电子 同时还向反方向发射一光子 实验室中的观察者测得电子的速率为 光子的速率为 0 93c c 填空题8设电子静止质量为m0 将一个电子从静止加速到速率为0 6c 需作功 0 128MeV 解 题中计算时 应用了伽利略速度变换式求两把尺子的相对速度 即 这显然是错误的 应采用相对论速度变换式求相对速度 即 计算题2 在惯性系K中 测得某两个事件发生在同一个地点 时间间隔为4s 在另一个惯性系K 中 测得这两个事件发生的时间间隔为6s 求 在K 系中这两个事件的空间间