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MATLAB控制系统仿真 1 提纲 一 弹簧 重物 阻尼器系统二 传递函数三 结构图模型 2 引言 MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化软件 它集数值分析 矩阵运算和图形显示于一体 构成了一个方便的界面友好的用户环境 控制系统的分析与设计方法 都是以数学模型为基础进行的 MATLAB可以用于以传递函数形式描述的控制系统 在本节中 首先举例说明如何使用MATLAB进行辅助分析 然后讨论传递函数和结构图 3 一 弹簧 重物 阻尼器系统 弹簧 重物 阻尼器动力学系统如图2 1所示 重物M的位移由y t 表示 用微分方程描述如下 该系统在初始位移作用下的瞬态响应为 其中q cos 1z 初始位移是y 0 系统的瞬态响应当z 1时为欠阻尼 当z 时为过阻尼 当z 1时为临界阻尼 4 过阻尼情况 y 0 0 15mwn 弧度 秒 欠阻尼情况 y 0 0 15mwn 弧度 秒 利用MATLAB程序 unforced m 可以显示初始位移为y 0 的物体自由运动曲线 如图2 63所示 在unforced m程序中 变量y 0 wn t z1和z2的值由指令直接输入工作区 然后运行unforced m程序就可以产生响应曲线 5 y0 0 15 wn sqrt 2 zeta1 3 2 sqrt 2 zeta2 1 2 sqrt 2 t 0 0 1 10 unforced a MATLAB指令窗口 6 计算系统在给定初始条件下的自由运动t1 acos zeta1 ones 1 length t t2 acos zeta2 ones 1 length t c1 y0 sqrt 1 zeta1 2 c2 y0 sqrt 1 zeta2 2 y1 c1 exp zeta1 wn t sin wn sqrt 1 zeta1 2 t t1 y2 c2 exp zeta2 wn t sin wn sqrt 1 zeta2 2 t t2 计算运动曲线的包络线bu c2 exp zeta2 wn t bl bu 画图plot t y1 t y2 t bu bl gridxlabel Time sec ylabel y t Displacement m text 0 2 0 85 oeverdampedzeta1 num2str zeta1 text 0 2 0 80 underdampedzeta2 num2str zeta2 b 分析弹簧 重物 阻尼器的MATLAB程序unforced m图2 63分析弹簧 重物 阻尼器的MATLAB指令 7 图2 64弹簧 重物 阻尼器的自由运动曲线 在欠阻尼和过阻尼情况下的响应曲线如图2 64所示 MATLAB可分析以传递函数形式描述的系统 分子多项式和分母多项式都必须在MATLAB指令中指定 8 在MATLAB中多项式由行向量组成 这些行向量包含了降次排列的多项式系数 例如多项式p s 1s3 3s2 0s1 4s0 按图2 65的格式输入p 1304 p 1304 r roots p r 3 3553e 001 7765e 01 1 0773e 00j1 7765e 01 1 0773e 00j p poly r p 1 0003 0000 000 0 000j4 000 0 000j 图2 65输入多项式并求根 9 矩阵乘法由MATLAB的conv 函数完成 把两个多项式相乘合并成一个多项式n s 即 n s 3s2 2s 1 s 4 3s3 14s2 9s 4 与此运算相关的MATLAB函数就是conv 函数polyval 用来计算多项式的值 多项式n s 在s 5处值为n 5 66 见图2 66 p 321 q 14 n conv p q n 31494 value polyval n 5 value 66 图2 66MATLAB的conv 函数和polyval 函数 10 设传递函数为G s num den 其中num和den均为多项式 利用函数 二 传递函数 P Z pzmap num den 可得G s 的零极点位置 即P为极点位置列向量 Z为零点位置列向量 该指令执行后自动生成零极点分布图 考虑传递函数 和 11 图2 67零极点图 传递函数G s H s 的零极点图如图2 67所示 相应的MATLAB指令如图2 68所示 12 numg 601 deng 1331 z roots numg z 0 0 4082j0 0 4082j p roots1 deng p 1 1 1 n1 11 n2 12 d1 12 j d2 1 2 j d3 13 numh conv n1 n2 denh conv d1 conv d2 d3 num conv numg denh den conv deng numh printsys num den num den 6s 5 18s 4 25s 3 图2 68绘制零极点图指令 13 三 结构图模型 一个开环控制系统可以通过G1 s 与G2 s 两个环节的串联而得到 利用series 函数可以求串联连接的传递函数 函数的具体形式为 num den series num1 den1 num2 den2 例如G1 s 和G2 s 的传递函数分别为 则 14 串联函数的用法示于图2 69 num1 1 den1 50000 num2 11 den2 12 num den series num1 den1 num2 den2 printsys num den num den s 1500s 3 1000s 2 图2 69series函数的用法 15 当系统是以并联的形式连接时 利用parallel 函数可得到系统的传递函数 指令的具体形式为 系统以反馈方式构成闭环 则系统的闭环传递函数为 num den parallel num1 den1 num2 den2 求闭环传递函数的MATLAB函数有两个 cloop 和feedback 其中cloop 函数只能用于H s 1 即单位反馈 的情况 cloop 函数的具体用法为 num den cloop numg deng sign 其中numg和deng分别为G s 的分子和分母多项式 sign 1为正反馈 sign 1为负反馈 默认值 16 feedback 函数的用法为 num den feedback numg deng numh denh sign 其中numh为H s 的分子多项式 denh为分母多项式 闭环反馈系统的结构图如图2 70所示 被控对象G s 和控制部分Gc s 以及测量环节H s 的传递函数分别为 图2 70闭环反馈系统的结构图 17 应用series 函数和feedback 函数求闭环传递函数的MATLAB指令如图2 71所示 numg 1 deng 500 numc 11 denc 12 numh 1 denh 110 num1 den1 series numc denc numg deng num den feedback num1 den1 numh denh 1 printsys num den num den s 2 11s 105s 4 60s 3 100s 2 s 1 图2 71feedback 函数的应用 18 例2 12一个多环的反馈系统如图2 49所示 给定各环节的传递函数为 试求闭环传递函数GB s C s R s 19 解求解步骤如下 步骤1 输入系统各环节的传递函数 步骤2 将H2的综合点移至G2后 步骤3 消去G3 G2 H2环 步骤4 消去包含H3的环 步骤5 消去其余的环 计算GB s 根据上述步骤的MATLAB指令以及计算结果在图2 72中 ng1 1 dg1 110 ng2 1 dg2 11 ng3 101 dg3 144 ng4 11 dg4 16 nh1 1 dh1 1 nh2 2 dh2 1 20 nh3 11 dh3 12 n1 d1 series ng2 dg2 nh2 dh2 n2 d2 feedback ng3 dg3 n1 d1 1 n3 d3 series n2 d2 ng4 dg4 n4 d4 feedback n3 d3 nh3 dh3 1 n5 d5 series ng1 dg1 ng2 dg2 n6 d6 series n5 d5 n4 d4 n7 d7 cloop n6 d6 1 printsys n7 d7 num den s 4 3s 3 3s 2 3s 22s 6 38s 5 261s 4 1001s 3 1730s 2 1546s 732 图2 72多环结构图简化 21 通过pzmap 或roots 函数可查看传递函数是否有相同的零极点 还可使用minreal 函数除去传递函数共同的零极点因子 如图2 73所示 numg 16116 deng 1712115 printsys numg deng numg deng s 3 6s 2 11s 6s 4 7s 3 12s 2 11s 5 num den minreal numg deng printsys num den 1pole zeroscancellednum den s 2 4s 3s 3 6s 2 6s 5 图2 73minreal 函数的应用 22 例2 2所示的位置随动系统 在给定各元件参数并忽略La和令ML 0的情况下 其结构图如图2 74所示 图2 74位置随动系统的结构图 第一步求闭环传递函数GB s qc s qr s 求解过程及结果如图2 75所示 第二步利用step 函数计算参考输入qr t 为单位阶跃信号时输出qc t 的响应 23 num1 200 den1 20 num2 1 den2 20 50 num3 0 20 den3 1 num4 540 den4 1 na da series num1 den1 num2 den2 nb db feedback na da num3 den3 1 nc dc series nb db num4 den4 num den cloop nc dc 1 printsys num den num den 54002s 2 2 5s 5400 t 0 0 005 3 y t step num den t plot t y grid 图2 75位置随动系统的结构图简化及阶跃响应指令 24 图2 76位置随动系统的阶跃响应曲线 图2 76给出了位置随动系统的阶跃响应曲线 用plot 函数用于画出y t 曲线 grid函数用于给图形加上网格 25 2 7循序渐进设计示例 磁盘驱动读取系统 我们指出了磁盘驱动系统的基本设计目标 尽可能将磁头准确定位在指定的磁道上 并且磁头从1个磁道转移到另1个磁道所花的时间不超过10ms 在这里 我们将完成设计流程的第4 5步 首先应选定执行机构 传感器和控制器 然后建立控制对象和传感器等元部件的模型 根据表2 1磁盘驱动读取系统的典型参数 我们有 G s 还可以改写成 26 图2 8磁盘驱动器读取系统框图模型 表2 1磁盘驱动器读取系统典型参数 图2 78磁盘驱动器读取系统框图模型 27 其中 由于 因此 常被略去 有 或 该闭环系统的框图模型见图2 9 利用框图变换化简规则 有 利用G s 的2阶近似表示 可以有 28 当取Ka 40时 最后可得 2 79闭环系统的框图模型 使用MATLAB的函数step 可以得到时 如