3.2.1几类不同增长的函数模型(2)

莆田一中 林新潮第 1 页2020 03 27 3 2 1 几类不同增长的函数模型 一 教材内容分析 二 学习者特征分析 三 教学目标 知识 技能 情感态度 价值观 知识与技能 结合实际例子体会直线上升 指数爆炸 对数增长等不同增长的函数模型的意义 理解它们增长的 差异性 过程与方法 能够借助信息技术 利用函数图象及数据表格 对几种常见增长类型函数的增长状况进行比较 初 步体会它们增长的差异性 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型 指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等 了解函数模型的广泛应用 情感 态度 价值观 体验函数是描述宏观世界事物运动变化规律的数学模型 体验指数函数 对数函数 幂函 数 分段函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用 四 设计思想 五 教学重点和难点 重点 将实际问题转化为函数模型 比较常函数 一次函数 指数函数 对数函数 幂函数模型的增长差异 结 合实际例子体会直线上升 指数爆炸 对数增长 幂函数增长等不同函数类型的含义 难点 怎么选择数学模型分析解决实际问题 六 教学过程 第二课时 一 创设情境 引入课题 我们知道 对数函数 指数函数与幂函数在区间上都log 1 a yx a 1 x yaa 0 n yxn 0 是增函数 从上述的例子可以看到 这三类函数的增长是有差异的 那么这种差异的具体情况是怎样的呢 二 师生互动 探究新知 下面 我们不妨先以对数函数 指数函数与幂函数为例进行探究 2 logyx 2xy 2 yx 利用几何画板作出这三个函数的图象 从图象上可以看出在内 对数函数的图象恒在指数函 0 2 logyx 数与幂函数的下方 而且对数函数 指数函数2xy 2 yx 2 logyx 相交于点和点 2xy 2 4 4 16 问 根根图象 你能写出分别使不等式与 2 2 log2xxx 成立的自变量 x 的取值范围 2 2 log2xxx 问 是不是对数函数 指数函数与幂函数都有这样的特点 log 1 a yx a 1 x yaa 0 n yxn x y 1234567 3 3 6 9 12 15 18 21 24 O 莆田一中 林新潮第 2 页2020 03 27 对数函数的图象恒在指数函数与幂函数图象的下方 log 1 a yx a 1 x yaa 0 n yxn 指数函数与幂函数在区间均有两个交点 1 x yaa 0 n yxn 0 如图 1 所示 它是函数与函数 此时它们有两个交点 再如图 2 所示 它是函数2xy 1 13 logyx 三个函数在的图象 从图中可以看出2xy 3xy 2 yx 0 函数的图象恒在函数与图象的上方 它与函数3xy 2xy 2 yx 的图象没有交点 2 yx 一般地 对于指数函数和幂函数 通 1 x yaa 0 n yxn 过探索可以发现 在区间上 无论 n 比 a 大多少 尽管在 x 的一 0 定变化范围内 会小于 但由于的增长快于 因此总存在一 x a n x x a n x 个 当时 就会有 0 x 0 xx xn ax 同样地 对于对数函数和幂函数 在区间上 随着 x 的增大 log 1 a yx a 0 n yxn 0 增大越来越慢 图象就像是渐渐地与 x 轴平行一样 尽管在 x 的一定变化范围内 可能会大于 但logaxlogax n x 由于增长慢于的增长 因此总存在一个 当时 就会有 logax n x 0 x 0 xx log n ax x 综上所述 在区间上 尽管函数 和都是增函数 但 0 1 x yaa log 1 a yx a 0 n yxn 是它们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着 x 的增大 的增长速度越来越快 会超过并 1 x yaa 远远大于的增长速度 而的增长速度则会越来越慢 因此 总会存在一个 当 0 n yxn log 1 a yx a 0 x 时 就会有 0 xx log nx ax xa 类比拓展 你能用同样的方法 讨论一下函数 01 x yaa 和在区间上的衰减情况吗 log 01 a yxa 0 n yxn 0 三 尝试练习 检验成果 教材 P101练习 1 四 课堂小结 回顾反思 x y x y 图 图 1图 图 图 2图 y log1 13x y 2x 1234 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 y 2x y 3x y x2 246 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 O O x y 12345678910 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 O 莆田一中 林新潮第 3 页2020 03 27 常见增长模型函数 1 一次函数模型 增长特征 匀速增长 直线上升 0 ykxb k 2 指数函数模型 且 的增长特征 随着自变量 x 的增长大 0 x ymab a 1 0 am 1 x yaa 函数值增大的速度越来越快 称之为指数爆炸 3 对数函数模型 且 的增长特征 随着