18.3总体特征数的估计

蓝天家教网 伴你快乐成长 本资料来源于本资料来源于 七彩教育网七彩教育网 18 统计 统计 18 3 总体特征数的估计总体特征数的估计 知识网络知识网络 1 会根据实际问题的需求 合理地选取样本 掌握从样本数据中提取基本的数字特征 平均数 标准差 的方法 2 理解样本数据平均数的意义和作用 会计算样本数据平均数 能用样本数据平均数 估计总体平均数 3 理解样本数据标准差的意义和作用 会计算样本标准差 能用样本标准差估计总体 标准差 4 初步体会样本频率分布和数字特征的随机性 了解样本信息与总体信息存在一定的 差异 理解随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想 能解决一些简单的实际问 题 了解统计思维与确定性思维的差异 会对数据处理过程进行初步评价 典型例题典型例题 例 1 1 在方差计算公式中 数字 10 20 20 20 10 1 2 10 2 2 2 1 2 xxxs 和 20 分别表示 A 数据的个数和方差B 平均数和数据的个数 C 数据的个数和平均数D 数据组的方差和平均数 2 某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下 行业名称计算机机械营销物流贸易 应聘人数2158302002501546767457065280 行业名称计算机营销机械建筑化工 招聘人数124620102935891157651670436 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况 则根据 表中的数据 就业形势一定是 A 计算机行业好于化工行业B 建筑行业好于物流行业 C 机械行业最紧张D 营销行业比贸易行业紧张 3 从鱼塘捕得同时放养的草鱼 240 尾 从中任选 9 尾 称得每尾鱼的质量分别是 1 5 1 6 1 4 1 6 1 3 1 4 1 2 1 7 1 8 单位 千克 依此估计这 240 尾鱼的 总质量大约是 A 300 克B 360 千克C 36 千克D 30 千克 4 某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜 这亩地西瓜约 600 个 在西瓜上 市时随机摘了 10 个成熟的西瓜 称重如下 蓝天家教网 伴你快乐成长 则 这 10 个西瓜的平均质量是 千克 这亩地西瓜产量约是 千克 5 校初三年级甲 乙两班举行电脑汉字输入速度比赛 两个班参加比赛的学生每分钟 输入汉字的个数 经统计和计算后结果如下表 有一位同学根据下表得出如下结论 甲 乙两班学生的平均水平相同 乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多 每分钟输入汉字达 个以上为优秀 甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大 上述结论正确的是 填序号 例 2 已知一组数据 x1 x2 x10的方差是 2 且 x1 3 2 x2 3 2 x10 3 2 380 求 x 例 3 为了科学地比较考试成绩 有些选拔性考试常常将考试分数转化为标准分 Z 转化 关系式为 其中 x 是某位学生的考试分数 是这次考试的平均分 S 是这次 xx Z S x 考试的标准差 Z 为这位学生的标准分 转化后的分数可能出现小数或负数 因此 又常 将 Z 分数作线性变换转化为其他分数 例如某次学业选拔性考试采用的是 T 分数 线性 变换公式为 T 42Z 58 已知一组学号 i 为 1 10 的学生的某次考试成绩如下表 求学号为 2 的学生的 T 分数 例 4 不通过计算 比较图中 1 2 两组数据的平均值和标准差 其中黑点 表示数据 西瓜质量 单位 千克 5 55 45 04 94 64 3 西瓜数量 单位 个 123211 班级参加人数平均字数中位数方差 甲 乙 学号 i 12345678910 成绩 xi 70806975686879877074 2 3 2 1 0 1 4 图 1 2 3 2 1 0 1 4 图 2 蓝天家教网 伴你快乐成长 课内练习课内练习 1 随机抽查某商场四月份中 5 天的营业额如下 单位 万元 3 4 2 9 3 0 3 1 2 6 试 估计这个商场四月份营业额大约是 A 90 万元B 950 万元C 900 万元D 80 万元 2 从观测所得的数据中取出个 个 个组成一个样本 那么这个样本m 1 xn 2 xp 3 x 的平均数是 A B 3 321 xxx pnm xxx 321 C D 3 321 pxnxmx pnm pxnxmx 321 3 已知甲 乙两个样本 样本容量一样大 若甲样本的方差是 0 4 乙样本的方差是 0 2 那么比较甲 乙两个样本的波动大小的结果是 A 甲样本的波动比乙大B 乙样本的波动比甲大 C 甲 乙的波动一样大D 无法比较 4 数据 501 502 503 504 505 506 507 508 509 的标准差是 A B C D 1 20 3 2 15 3 15 3 5 数据 0 1 3 2 4 的极差为 方差为 标准差为 6 已知一个样本 1 3 2 5 X 若它的平均数是 3 则这个样本的标准差为 7 有一组数据 它们的算术平均值为 10 若去 123 n x x xx 123n xxxx 掉其中最大的 余下数据的算术平均值为 9 若去掉其中最小的 余下数据的 n x 1 x 蓝天家教网 伴你快乐成长 算术平均值为 11 则关于的表达式为 关于的表达式为 1 xn n xn 8 已知一组数据的方差是 2 且 1210 x xx 求 222 1210 3 3 3 xxx 120 x 9 某班 40 人随机平均分成两组 两组学生一次考试的成绩情况如下表 求全班的平均成绩与标准差 10 为了缓解道路交通高峰的压力 某市政府采取了错时上下班的措施 下表是新华路 在采取措施前后每 30min 通过的汽车量 时间段 6 30 7 00 7 00 7 30 7 30 8 00 8 00 8 30 8 30 9 00 9 00 9 30 采取措施前交通流量 辆200025003000180017001600 采取措施后交通流量 辆180022002500230020001800 1 从 6 30 到 9 30 这个时间段内 采取错时上下班前后 汽车的平均流量有变化 吗 2 分别计算两组数据的方差 你认为采取的措施是否有效果 统计量 组 别 平均标准差 第一组906 第二组804 蓝天家教网 伴你快乐成长 蓝天家教网 伴你快乐成长 18 统计 统计 18 3 总体特征数的估计总体特征数的估计 A 组组 1 如果一组数据的极差是 80 若画图前确定组距是 9 则组数是 A 7 组 B 8 组 C 9 组 D 10 组 2 能反映一组数据与其平均值的离散程度的是 A 极差和方差B 极差和标准差C 方差和标准差D 平均数与极差 3 若样本 x1 1 x2 1 xn 1 的平均数为 10 其方差为 2 则对于样本 x1 2 x2 2 xn 2 的下列结论正确的是 A 平均数为 10 方差为 2B 平均数为 11 方差为 3 C 平均数为 11 方差为 2D 平均数为 14 方差为 4 4 如果一个有 40 个数据的样本的平均数是 5 标准差为 则这个样本数据的平方3 和为 5 甲乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下 品种第一年第二年第三年第四年第五年 甲 9 8 9 9 10 1 10 10 2 乙 9 4 10 3 10 8 9 7 9 8 其中产量比较稳定的小麦品种是 6 下面是一个班在一次测验时的成绩 分别计算男生和女生的成绩和平均值 中位数 以及众数 试分析一下这个班级学习情况 男生 55 55 61 65 68 68 71 72 73 74 75 78 80 81 82 87 94 女生 53 66 70 71 73 73 75 80 80 82 82 83 84 85 87 88 90 93 94 9 7 7 甲 乙两工人同时加工一种圆柱零件 在他们所加工的零件中各抽取 10 个进行直径 检测 测得数据如下 单位 mm 甲 19 9 19 7 19 8 20 0 19 9 20 2 20 1 20 3 20 2 20 1 乙 20 0 20 2 19 8 19 9 19 7 20 2 20 1 19 7 20 2 20 4 1 分别计算上面两个样本的平均数和方差 2 若零件规定直径为 20 0 0 5 mm 根据两个样本的平均数和方差 说明谁加工的 零件的质量较稳定 8 一次科技知识竞赛 两组学生成绩统计如下 蓝天家教网 伴你快乐成长 根据统计学知识判断两个小组的成绩谁优谁劣 并说明理由 18 统计 统计 18 3 总体特征数的估计总体特征数的估计 B 组组 1 一组数据的方差为 s2 将这组数据中的每一个数都乘以 2 所得的一组新数据的方差 是 A s2B 2 s2 C 4 s2 D s2 1 2 2 某班有 48 名学生 在一次考试中统计出平均分为 70 分 方差为 75 后来发现有 2 名同学的分数等错了 甲实得 80 分却记了 50 分 乙得 70 分却记了 100 分 更正后 平均分和方差分别为 A 70 75B 70 50C 70 D 65 255 2 3 在一次歌手大奖赛上 七位评委为歌手打出的分数如下 9 4 8 4 9 4 9 9 9 6 9 4 9 7 现去掉一个最高分和一个最低分后 所剩数据的平均值 和方差分别为 A 9 4 0 484B 9 4 0 016C 9 5 0 04D 9 5 0 016 4 期末考试后班长算出全班 40 个人数学成绩的平均分为 M 如果把 M 当成一个同学 的分数 与原来的 40 个分数一起 算出这 41 个分数的平均值 N 那么 M N 为 5 某班有 30 名学生 分成 3 个小组 每个小组 10 个同学在一次考试中 第一小组的 平均成绩是 80 分 第二小组的平均成绩是 77 分 第三小组的 10 个同学的考试分数分别 为 76 85 86 92 83 81 89 73 78 87 则该班这次考试的平均分为 6 某鱼塘放养鱼苗 10 万条 根据这几年的经验知道 鱼苗成活率为 95 一段时间后准 备打捞出售 第一次从网中取出 40 条 称得平均每条鱼重 2 5 kg 第二次网出 25 条 称 得平均每条鱼重 2 2 kg 第三次网出 35 条 称得平均每条鱼重 2 8 kg 请你根据这些数 据 估计鱼塘中的鱼的总重量约是多少 分数 50 60 70 80 90 100 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 蓝天家教网 伴你快乐成长 7 一次科技知识竞赛 两组学生成绩统计如下 分数5060708090100 甲组251013146 人数 乙组441621212 已经算得两个组的人均分都是 80 分 请根据你所学过的统计知识 进一步判断这两 个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次 并说明理由 8 有顾客反映某家航空公司售票处售票的速度太慢 为此 航空公司收集了 100 位顾客 购票时所花费时间的样本数据 单位 分钟 结果如下表 2 3 1 0 3 5 0 7 1 0 1 3 0 8 1 0 2 4 0 9 1 1 1 5 0 2 8 2 1 7 5 2 1 6 3 9 5 4 2 3 6 1 2 6 2 8 2 4 3 9 3 8 1 6 0 3 1 1 1 1 3 1 1 1 4 3 1 4 0 2 0 3 2 7 2 7 4 1 4 0 3 1 5 5 0 9 3 3 4 2 21 7 2 2 1 0 3 3 3 4 4 6 3 6 4 5 0 5 1 2 0 7 3 5 4 8 2 6 0 9 7 4 6 9 1 6 4 1 2 1 5 8 5 0 1 7 3 8 6 3 3 2 0 6 2 1 3 7 7 8 1 9 0 8 1 3 1 4 3 5 11 8 6 7 5 2 0 2 0 2 0 1 2 2 9 6 5 1 0 4 6 2 0 1 2 5 8 2 9 2 0 2 9 6 6 0 7 1 5 航空公司认为 为一位顾客办理一次售票业务所需的时间在 5 分钟之内就是合理的 上面的数据是否支持航空公司的说法 顾客提出的意见是否合理 请你对上面的数据进行适当的分析 回答下面问题 蓝天家教网 伴你快乐成长 1 根据原始数据计算中位数 均值 和标准差 并进行分析 2 对数据进行适当的分组 分析数据分布的特点 3 你认为应该用哪一个统计量来分析上述问题比较合适 蓝天家教网 伴你快乐成长 参考答案参考答案 18 3 总体特征数的估计总体特征数的估计 典型例题典型例题 例 1 1 C 提示 对照公式即可知道 n i i xx n s 1 22 1 2 B 提示 从表中可以看出 计算机行业应聘人数与招聘人数都比较多 但录用率 约占 50 化工行业招聘名额虽少 但应聘者也相应较少 故 A 不正确 相对物流行 业 机械行业不是最紧张的 建筑行业应聘人数不多 显然好于物流行业 营销行业 招聘比约为 1 1 5 但贸易行业招聘数不详 无法比较 3 B 提示 从放养的草鱼 240 尾 从中任选 9 尾 这 9 尾鱼具有代表性 由此可由 样本估计总体的情况 任选 9 尾鱼 每尾鱼的平均质量为 千克 5 1 8 17 12 14 13 16 14 16 15 1 9 1 x 千克 3605 1240 4 5 0 3000 5 例 2 依题设有 变形得 222 1210 2 10 xxxxxx 2 222 12101210 102 20 xxxxx xxx 又由 x1 3 2 x2 3 2 x10 3 2 380 变形得 380 222 12101210 10 96 xxxxxx 并化简得 解得 或 2 6270 xx 3x 9x 例 3 易知 70 80 69 75 68 68 79 87 70 74 74 x 1 10 36 2222 1 7074 8074 7474 10 s 于是 学号为 2 的学生的 Z 分数为 8074 1 6 Z 故该学生的 T 分数为 1 4258100T 例 4 从图 1 2 中可以看出 两组数据的平均值相等 这是因为图 1 2 中的数据均关 于 1 对称 故平均值均为 1 图 1 的标准差比图 2 的标准差大 这是因为图 1 中各数据与其平均值离散程度大 图 2 中前 10 个数据与其平均值的离散程度与图 1 相同 而后几个数据与其平均值的离散 蓝天家教网 伴你快乐成长 程度小 因此整体上说图 2 中所有数据与其平均值的离散程度小于图 1 课内练习课内练习 1 A 提示 根据算出 9030 5 6 21 30 39 24 3 2 D 提示 根据加权平均数的定义或直接根据平均数定义即可得出 3 A 提示 方差越小数据越稳定 4 B 提示 由方差的计算公式可得 5 4 2 2 6 2 7 11 n n 9 8 由条件可得 2 222 12101210 102 20 xxxxx xxx 222 12101210 10 96 120 xxxxxx 将 得 即 2 90 10 26 10100 xxx 2 610 xx 解得 310310 x 或 9 设第一组 20 名学生成绩为 学生成绩的标准差为 20 1 2 ixi 1 S 第二组 20 名学生的成绩为 学习成绩的标准差为 20 1 2 iYi 2 S 所以有 90 20 1 2021 xxx80 20 1 2021 yyy 从而全班平均成绩为 85 20802090 40 1 z 又因为 6 90 20 20 1 1 2 2 20 2 2 2 1 2 1 SxxxxxS 4 80 y20 20 1 2 2 2 20 2 2 2 1 2 2 SyyyyS 所以 51 40 40 1 2 2 20 2 2 2 1 2 20 2 2 2 1 zyyyxxxS 即所求的平均成绩和标准差分别为 85 51 蓝天家教网 伴你快乐成长 10 1 由于 所以 汽车的平均流量没有变化 21002100 xx 后前 辆 辆 2 比较方差说明 采取措施后 各时间段的汽车流量平缓 22 203105ss 后前 采取的措施有一定的效果 18 统计 统计 18 3 总体特征数的估计总体特征数的估计 A 组组 1 C 提示 极差就是样本数据的最大值与最小值的差 2 C 提示 根据方差和标准差的定义 3 C 4 1120 5 甲 提示 比较它们的方差即可 6 17 名男生成绩的平均值是 72 9 分 中位数是 73 分 众数为 55 和 68 20 名女生成绩的平均值是 80 3 分 中位数是 82 分 众数为 73 80 和 82 从上述情况来看 这个班女生成绩明显好于男生成绩 7 因为样本数据在 20 0 上下波动 故取 a 20 0 所以 02 20 0 20 10 2 0 02 20 0 20 10 2 0 乙甲 xx 0336 0 10 2 0 1034 0 10 1 22 2 mms 甲 0516 0 10 2 0 1052 0 10 1 22 2 mms 乙 显然甲工人加工零件的质量比较稳定 8 甲 80 乙 80 甲 172 乙 256 甲 172 乙 256 xx 2 S 2 S 2 S 2 S 1 从众数来看 甲组 90 分 乙组 70 分 甲组成绩较好 2 从中位数来看 甲组 80 分 乙组 80 分 但 80 分以上甲组有 33 人 乙组只有 26 人 甲组成绩较好 3 从方差来看 从众数来看 甲组 90 分 乙组 70 分 甲组成绩较好 甲组成绩 蓝天家教网 伴你快乐成长 波动较小好 4 从满分来看 甲组 6 人 乙组 12 人 乙组成绩较好 B 组组 1 C 2 B 3 D 提示 最高分是 9 9 最低分是 8 4 去掉后的数据为 9 4 9 4 9 6 9 4 9 7 它们的平均数是 5 9 5 7 94 96 94 94 9 x 方差为 22222 2 9 49 5 9 49 5 9 69 5 9 49 5 9 79 5 0 016 5 s 4 1 5 80 6 先算出三次称鱼的平均数为 所以鱼塘 53 2 352540 358 2252 2405 2 kg 中的鱼的总重量为 2 53 100000 95 24 万 kg 7 1 甲组成绩的众数为 90 分 乙组成绩的众数为 70 分 以成绩的众数比较看 甲组 成绩好些 2 2222 2 8080 13 8070 10 8060 5 8050 2 50 1 甲 s 172 80100 6 8090 14 22 2222 2 8080 2 8070 16 8060 4 8050 4 50 1 乙 s 256 80100 12 8090 12 22 表明甲组成绩较乙组波动要小