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文档简介

2 5 2平面向量应用举例 平面几何中的常用向量结论 三角形四心的向量表示 外 重 三角形四心的向量表示 内 垂 例1 已知O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 则P点的轨迹一定通过 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 由 得出 由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过 ABC的重心 C 变式1 已知P是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 点O满足 则O点一定是 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 由 得出 故O是 ABC的重心 C 变式2 已知O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 则P点的轨迹一定通过 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 在 ABC中 由正弦定理有 令 则 由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过 ABC的重心 C 例2 已知O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 则P点的轨迹一定通过 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 取BC的中点D 则 由已知条件可得 又因为 所以 所以DP是BC的垂直平分线 所以P点的轨迹一定经过 ABC的外心 A 外心的向量表示 结论2 ABC所在平面一定点O 动点P满足P点轨迹经过 ABC的外心 结论1 O是三角形的外心 或 例3 已知O是平面上一定点 A B C是平面上不共线的三个点 动点P满足 则P点的轨迹一定通过 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 由已知等式可知 在等式的两边同时乘以 即 故点P的轨迹一定通过 ABC的垂心 D 变式3 已知O是平面上一点 A B C是平面上不共线的三个点 点O满足 则O点一定是 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 同理可得 D 垂心的向量表示 结论1 O是 ABC的垂心的充要条件是 结论2 动点P满足P点的轨迹经过 ABC的垂心 例4 已知O是平面上一点 A B C是平面上不共线的三个点 a b c是 ABC的A B C所对的三边 点O满足 则O点一定是 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 点拨 由已知条件可得 同理可得 则O点一定是 ABC的内心 B 例5 已知非零向量与满足 且 则 ABC为 A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形 点拨 从可知的平分线垂直对边BC 故 ABC为等腰三角形 可知cosA 所以 60 故 ABC为等边三角形 从 D 例6 已知O是平面上一点 A B C是平面上不共线的三个点 点O满足 则O点一定是 ABC的 A外心B内心C重心D垂心 则O点一定是 ABC的内心 四心逐个突破 B 证 设 例7 已知O为 ABC所在平面内一点 且满足 问 O是 ABC的 心 化简 同理 从而 课后作业
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