反比例函数九年级数学教案

第第 2626 章章 反比例函数反比例函数 26 1 126 1 1 反比例函数反比例函数 1 1 教学目标 1 理解反比例函数的概念 能判断两个变量之间的关系是否是函数关系 进而识别其中的反比例函数 2 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式 3 能判断一个给定函数是否为反比例函数 通过探索现实生活中数量间的反比例关系 体 会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型 进一步理解常量与变量的辩证关 系和反映在函数概念中的运动变化观点 教学重点 反比例函数的概念 教学难点 涉及较多学科的知识 学生理解问题时有一定的难度 教学过程 一 一 创设情景创设情景 探究问题探究问题 3 速度 v 是时间 t 的函数吗 为什么 说明 1 引导学生观察 讨论路程 速度 时间这三个量之间的关系 得出关系式 s vt 指导 学生用这个关系式的变式来完成问题 1 2 引导学生观察 讨论 并运用 1 中的关系式填表 并观察变化的趋势 引导学生用语言描述 3 结合函数的概念 特别强调唯一性 引导讨论问题 3 情境情境 3 3 用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系 1 一个面积为 6400m2的长方形的长 a m 随宽 b m 的变化而变化 2 某银行为资助某社会福利厂 提供了 20 万元的无息贷款 该厂的平均年还款额 y 万元 随还 款年限 x 年 的变化而变化 3 游泳池的容积为 5000m3 向池内注水 注满水所需时间 t h 随注水速度 v m3 h 的变化而 变化 随着速度的变化 全程所用时间发生怎样的变化 随着速度的变化 全程所用时间发生怎样的变化 情境情境 1 1 当路程一定时 速度与时间成什么关系 s vt 当一个长方形面积一定时 长与宽成什么关系 说明 这个情境是学生熟悉的例子 当中的关系式学生都列得出来 鼓励学生积极思考 讨论 合 作 交流 最终让学生讨论出 当两个量的积是一个定值时 这两个量成反比例关系 如 xy m m 为一 个定值 则 x 与 y 成反比例 这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫 情境情境 2 2 汽车从南京出发开往上海 全程约 300km 全程所用时间 t h 随速度 v km h 的变化而变化 问题 1 你能用含有 v 的代数式表示 t 吗 2 利用 1 的关系式完成下表 v km h v km h 606080809090100100120120 t ht h 4 实数 m 与 n 的积为 200 m 随 n 的变化而变化 问题 1 这些函数关系式与我们以前学习的一次函数 正比例函数关系式有什么不同 2 它们有一些什么特征 3 你能归纳出反比例函数的概念吗 一般地 形如 y k 为常数 k 0 的函数称为反比例函数 其中 x 是自变量 y 是 x 的函数 k 是 k x 比例系数 说明 这个情境先引导学生审题列出函数关系式 使之与我们以前所学的一次函数 正比例函数的关系 式进行类比 找出不同点 进而发现特征为 1 自变量 x 位于分母 且其次数是 1 2 常量 k 0 3 自 变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数 4 函数值 y 的取值范围是非零实数 并引导归纳出反比例函数的概 念 紧抓概念中的关键词 使学生对知识认知有系统性 完整性 并在概念揭示后强调反比例函数也可表 示为 y kx 1 k 为常数 k 0 的形式 并结合旧知验证其正确性 二 例题教学二 例题教学 例 1 下列关系式中的 y 是 x 的反比例函数吗 如果是 比例系数 k 是多少 1 y 2 y 3 y 4 y 3 5 y 6 y 2 7 y x 15 2 x 1 3 x 1 x 2 1 x x 3 1 2x 说明 这个例题作了一些变动 引导学生充分讨论 把函数关系式如何化成 y 或 y kx b 的形 k x 式了解函数关系式的变形 知道函数关系式中比例系数的值连同前面的符号 会与一次函数的关系式进行 比较 若对反比例函数的定义理解不深刻 常会认为 2 与 4 也是反比例函数 而 2 式等号右边 的分母是 x 1 不是 x 2 式 y 与 x 1 成反比例 它不是 y 与 x 的反比例函数 对于 4 等号右边 不能化成 的形式 它只能转化为的形式 此时分子已不是常数 所以 4 不是反比例函数 而 k x 1 3x x 7 中右边分母为 2x 看上去和 2 类似 但它可以化成 即 k 所以 7 是反比例函数 1 2 x 1 2 通过这个例题使学生进一步认识反比例函数概念的本质 提高辨别的能力 例 2 在函数 y 1 y y x 1 y 中 y 是 x 的反比例函数的有 个 2 x 2 x 1 1 2x 说明 这个例题也是引导学生从反比例函数概念入手 着重从形式上进行比较 识别一些反比例函 数的变式 如 y kx 1的形式 还有 y 1 通分为 y y x 都是变量 分子不是常量 故不是反 2 x 2 x x 比例函数 但变为 y 1 可说成 y 1 与 x 成反比例 2 x 例 3 若 y 与 x 成反比例 且 x 3 时 y 7 则 y 与 x 的函数关系式为 说明 这个例题引导学生观察 讨论 并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法 初步感知用 待定 系数法 来求比例系数 并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法 即只需已知一组对应值即可求 比例系数 三 拓展练习三 拓展练习 1 写出下列问题中两个变量之间的函数关系式 并判断其是否为反比例函数 如果是 指出比例系 数 k 的值 反比例函数的自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数 1 底边为 5cm 的三角形的面积 y cm2 随底边上的高 x cm 的变化而变化 2 某村有耕地面积 200ha 人均占有耕地面积 y ha 随人口数量 x 人 的变化而变化 3 一个物体重 120N 物体对地面的压强 p N m2 随该物体与地面的接触面积 S m2 的变化而变 化 2 下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数 如果是 比例系数是多少 1 y x 2 y 3 xy 2 0 2 3 2 3x 4 xy 0 5 x 2 3y 3 已知函数 y m 1 x是反比例函数 则 m 的值为 2 2 m 第 3 题要引导学生从反比例函数的变式 y kx 1入手 注意隐含条件 k 0 求出 m 值 四 课堂小结四 课堂小结 这节课你学到了什么 还有那些困惑 五 布置作业 五 布置作业 六 课后反思 六 课后反思 26 1 126 1 1 反比例函数反比例函数 2 2 教学目标 1 会用待定系数法求反比例函数的解析式 2 通过实例进一步加深对反比例函数的认识 能结合具体情境 体会反比例函数的意义 理解比例系数的具 体的意义 3 会通过已知自变量的值求相应的反比例函数的值 运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些 简单的问题 重点 用待定系数法求反比例函数的解析式 难点 例 3 要用科学知识 又要用不等式的知识 学生不易理解 教学过程 一一一 复习复习复习 1 反比例函数的定义 判断下列说法是否正确 对 错 说明 引导学生分析 讨论 列出函数关系式 并检验是否是反比例函数 指出比例系数 1200 6 5 4 3 2 20 1 2 2 的反比例函数是每日铺轨量则铺轨天数计划修建铁路 例定时 商和除数成反比当被除数 不为零 一 的反比例函数是为常量时 当其体积 高为方形的边长为一个正四棱柱的底面正 的反比例函数是为常量时 当 周长为 宽为矩形的长为 成正比例与中 圆的面积公式 的反比例函数是变量 变量和相邻的两条边长分别为一矩形的面积为 dkmxdykm xyVyx baCCba rsrs xycmycmxcm 2 思考 如何确定反比例函数的解析式 1 已知 y 是 x 的反比例函数 比例系数是 3 则函数解析式是 2 当 m 为何值时 函数 是反比例函数 并求出其函数解析式 关键是确定比例系数 二二 新课新课 1 例 2 已知变量 y 与 x 成反比例 且当 x 2 时 y 9 1 写出 y 与 x 之间的函数解析式和自变量的取值 范围 小结 要确定一个反比例函数的解析式 只需求出比例系数 k 如果已知一对自变量与函数的对应 x k y 值 就可以先求出比例系数 然后写出所要求的反比例函数 2 练习 已知 y 是关于 x 的反比例函数 当 x 时 y 2 求这个函数的解析式和自变量的取值范围 4 3 3 说一说它们的求法 1 已知变量 y 与 x 5 成反比例 且当 x 2 时 y 9 写出 y 与 x 之间的函数解析式 2 已知变量 y 1 与 x 成反比例 且当 x 2 时 y 9 写出 y 与 x 之间的函数解析式 4 例 3 设汽车前灯电路上的电压保持不变 选用灯泡的电阻为 R 通过电流的强度为 I A 1 已知一个汽车前灯的电阻为 30 通过的电流为 0 40A 求 I 关于 R 的函数解析式 并说明比例系 数的实际意义 2 如果接上新灯泡的电阻大于 30 那么与原来的相比 汽车前灯的亮度将发生什么变化 在例 3 的教学中可作如下启发 1 电流 电阻 电压之间有何关系 2 在电压 U 保持不变的前提下 电流强度 I 与电阻 R 成哪种函数关系 3 前灯的亮度取决于哪个变量的大小 如何决定 先让学生尝试练习 后师生一起点评 三 巩固练习 1 当质量一定时 二氧化碳的体积 V 与密度 p 成反比例 且 V 5m3 时 p 1 98kg m3 1 求 p 与 V 的函数关系式 并指出自变量的取值范围 2 求 V 9m3 时 二氧化碳的密度 四 拓展 1 已知 y 与 z 成正比例 z 与 x 成反比例 当 x 4 时 z 3 y 4 求 1 Y 关于 x 的函数解析式 2 当 z 1 时 x y 的值 2 五 交流反思 求反比例函数的解析式一般有两种情形 一种是在已知条件中明确告知变量之间成反比例函数关系 如例 2 另一种是变量之间的关系由已学的数量关系直接给出 如例 3 中的由欧姆定律得到 R U I 六 布置作业 作业本 2 1 1 反比例函数 22 4 m x y 之间的函数关系 与 求值都等于 的时 与成反比例 并且与成正例 与 已知 xy yxxxyxyyyy 10 32 2121 26 1 226 1 2 反比例函数的图像和性质 反比例函数的图像和性质 1 1 教学目标 1 体会并了解反比例函数的图象的意义 2 能描点画出反比例函数的图象 3 通过反比例函数的图象的分析 探索并掌握反比例函数的图象的性质 教学重点和难点 本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质 由于反比例函数的图象分两支 给画图带来了复杂性是本节教学的难点 教学过程 1 情境创设 可以从复习一次函数的图象开始 你还记得一次函数的图象吗 在回忆与交流中 进一步认识函数图 象的直观有助于理解函数的性质 转而导人关注新的函数 反比例函数的图象研究 反比例函数的图象 又会是什么样子呢 2 探索活动 探索活动 1 反比例函数的图象 x y 6 由于反比例函数的图象是曲线型的 且分成两支 对此 学生第一次接触有一定的难度 因 x y 6 此需要分几个层次来探求 1 可以先估计 例如 位置 图象所在象限 图象与坐标轴的交点等 趋势 上升 下降等 2 方法与步骤 利用描点作图 列表 取自变量 x 的哪些值 x 是不为零的任何实数 所以不能取 x 的值的为零 但仍可以以零 为基准 左右均匀 对称地取值 描点 依据什么 数据 方法 找点 连线 怎样连线 可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接 起来 探索活动 2 反比例函数的图象 x y 6 可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动 1 可以用画反比例函数的图象的方式与步骤进行自主探索其图象 x y 6 2 可以通过探索函数与之间的关系 画出的图象 x y 6 x y 6 x y 6 探索活动 3 反比例函数与的图象有什么共同特征 x y 6 x y 6 引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象 曲线 及 两支 的特征 反比例函数 k 0 的图象是由两个分支组成的曲线 当时 图象在一 三象限 当 x k y 0 k 时 图象在二 四象限 0 k 反比例函数 k 0 的图象关于直角坐标系的原点成中心对称 x k y 3 例题教学 课本安排例 1 1 巩固反比例函数的图象的性质 2 是为了引导学生认识到 由于在反比例函数 k 0 中 只要常数 k 的值确定 反比例函数就确定了 因此要确定一个反比例函数 只需要一 x k y 对对应值或图象上一个点的坐标即可 3 可以先设问 能否利用图象的性质来画图 4 应用知识 体验成功 练笔 课本 课内练习 1 2 3 5 归纳小结 反思提高 用描点法作图象的步骤 反比例函数的图象的性质 6 布置作业 26 1 226 1 2 反比例函数的图像和性质 反比例函数的图像和性质 2 2 教学目标 1 巩固反比例函数图像和性质 通过对图像的分析 进一步探究反比例函数的增减性 2 掌握反比例函数的增减性 能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题 教学重点 通过对反比例函数图像的分析 探究反比例函数的增减性 教学难点 由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移 又由于反比例函数图像分成两条分支 给研究函数的增 减性带来复杂性 教学设计 一 复习 1 反比例函数 的图象经过点 1 2 那么这个反比例函数的解析式为 图象 在第 象限 它的图象关于 成中心对称 2 反比例函数 的图象与正比例函数 的图象 交于点 A 1 m 则 m 反比例函数的解析式为 这两个图象的另一个交点坐标是 3 画出函数的图像 x 6 y 6 和 x y 二 讲授新课 1 引导学生观察函数的表格和图像说出 y 与 x 之间的变化关系 x 6 y 6 和 x y 1 x y 6 X 6 5 4 3 2 1123456 y 1 1 2 1 5 2 3 66321 51 21 2 x y 6 X 6 5 4 3 2 1123456 y 11 21 5236 6 3 2 1 51 2 1 2 做一做 1 用 或 填空 1 已知 和 是反比例函数 的两对自变 11 y x 22 y x x y 3 量与函数的对应值 若 则 2 已知和是反比例函数 的两对自变 11 y x 22 y x x y 3 量与函数的对应值 若 则 2 已知 是反比例函数 的图象上的三个点 并且 则 的大小关系是 A B C D 3 已知 是反比例函数 的图象上的三个点 则 的大小 12 0 xx 12 0yy 12 0 xx 12 0yy 11 xy 22 xy 33 xy 2 y x 123 0yyy 123 xxx 123 xxx 312 xxx 123 xxx 132 xxx 1 1y 2 3y 3 2y 2 y x 123 yyy 关系是 4 已知反比例函数 1 当 x 5 时 0 y 1 2 当 x 5 时 则 y 1 或 y 3 当 y 5 时 x 的范围是 3 讲解例题 例 下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图 设从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为 时 平均速度为 千米 时 且平均速度限定为不超过 160 千米 时 1 求 v 关于 t 的函数解析式和自变量 t 的取值范围 杭州杭州 萧山萧山 绍兴绍兴 上虞上虞 余姚余姚 宁波宁波 21 39 31 29 48 2 画出所求函数的图象 3 从杭州开出一列火车 在 40 分内 包括 40 分 到达余姚 可能吗 在 50 分内 包括 50 分 呢 如 有可能 那么此时对列车的行驶速度有什么要求 小结 1 自变量 t 不仅要符合反比例函数自身的式子有意义 而且要符合实际问题中的具体意义及附 加条件 2 对于在自变量的取值范围内画函数的图像映注意图像的纯粹性 3 一般有 两种方法求自变量的取值范围 一是利用函数的增减性 二是利用图解法 练习 课本第 16 页课内练习第 3 题 三 小结 本节课我学到了 我的困惑 四 比较正比例函数和反比例函数的性质 正比例函数反比例函数 解析式 图像直线双曲线 位置 k 0 一 三象限 k 0 二 四象限 k 0 一 三象限 k 0 二 四象限 增减性 k 0 y 随 x 的增大而增大 k 0 y 随 x 的增大而减小 k 0 在每个象限 y 随 x 的 增大而减小 k 0 在每个象限 y 随 x 的 增大而增大 5 y x 0 ykxk 0 k yk x 五 布置作业 见作业本 课题 反比例函数概念复习课题 反比例函数概念复习 教学目标教学目标 1 进一步认识成反比例的量的概念 2 结合具体情境体会反比例函数的意义 理解反比例函数的概念 3 掌握反比例函数的解析式 会求反比例函数的解析式 教学重点和难点教学重点和难点 重点 反比例函数的定义和会求反比例函数的解析式 难点 目标 2 教学设计教学设计 一 知识要点 一般地 形如 y k 是常数 k 0 的函数叫做反比例函数 x k 注意 1 常数 k 称为比例系数 k 是非零常数 2 解析式有三种常见的表达形式 A y k 0 B xy k k 0 C y kx 1 k 0 x k 二 例题讲解 1 在下列函数表达式中 x 均为自变量 哪些 y 是 x 的反比例函数 每一个反比例函数相应的 k 值是多少 9 y 2x 1 2 若 y 3xa 1是反比例函数 则 a 3 若 y a 2 x a2 2a 1为反比例函数关系式 则 a 4 如果反比例函数 y 的图象位于第二 四象限 那么 m 的范围为 x m31 5 下列的数表中分别给出了变量 y 与 x 之间的对应关系 其中是反比例函数关系的是 x 1234 y8543 6 回答下列问题 1 当路程 s 一定时 时间 t 与速度 v 的函数关系 2 当矩形面积 S 一定时 长 a 与宽 b 的函数关系 3 当三角形面积 S 一定时 三角形的底边 y 与高 x 的函数关系 4 当电压 U 不变时 通过的电流 I 与线路中的电阻 R 的函数关系 7 实践应用 例 1 设面积为 20cm2 的平行四边形的一边长为 a cm 这条边上的高为 h cm 求 h 关于 a 的函数解析式及自变量 a 的取值范围 h 关于 a 的函数是不是反比例函数 如果是 请说出它的比例系数 求当边长 a 25cm 时 这条边上的高 例 2 设电水壶所在电路上的电压保持不变 选用电热丝的电阻为 R 电水壶的功率为 P W x1234 y6897 x1234 y5876 X1234 y11 21 31 4 2 xy4 2 x y3 x 4 0 y2 x 5 y1 x 5 1 y8 x 5 y7 7xy6 3x6y5 2 3 2 10 x y 1 已知选用电热丝的电阻为 50 通过电流为 968w 求 P 关于 R 的函数解析式 并说明比例系数的 实际意义 2 如果接上新电热丝的电阻大于 50 那么与原来的相比 电水壶的功率将发生什么变化 例 3 1 y 是关于 x 的反比例函数 当 x 3 时 y 0 6 求函数解析式和自变量 x 的取值范围 2 如果一个反比例函数的图象经过点 2 5 5 n 求这个函数的解析式和 n 的值 3 y 与 x 1 成反比例 当 x 2 时 y 1 求函数解析式和自变量 x 的取值范围 4 已知y与x 2成反比例 并且当x 3 时 y 2 求x 1 5 时y的值 5 如果是的反比例函数 是的反比例函数 那么是的 ymmxyx A 反比例函数 B 正比例函数 C 一次函数 D 反比例或正比例函数 三 练习 P21 1 4 四 小结 五 布置作业 26 226 2 实际问题与反比例函数 实际问题与反比例函数 1 1 教学目标 1 经历通过实验获得数据 然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程 体会建模思想 2 会综合运用反比例函数的解析式 函数的图像以及性质解决实际问题 3 体验数形结合的思想 教学重点 难点 运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系 进而利用反 比例函数的图像及性质解决问题 教学设计 一 忆一忆 1 什么是反比例函数 它的图像是什么 具有哪些性质 2 小明家离学校 3600 米 他骑自行车的速度是 x 米 分 与时间 y 分 之间的关系式是 若他每分钟骑 450 米 需 分钟到达学校 二 想一想 设 ABC 中 BC 的边长为 x cm BC 边上的高 AD 为 y cm ABC 的面积为常数 已知 y 关于 x 的函数图 像过点 3 4 1 求 y 关于 x 的函数解析式和 ABC 的面积 2 画出函数的图像 并利用图像 求当时 y 的值 82 x 小结 1 根据实际问题中变量之间的数量关系建立函数解析式 3 根据给定的自变量的值或范围求函数的值或范围 可以应用函数的性质 也可以应用函数的图像 根据已知函数的值或范围求相应的自变量的值或范围 可以应用函数的性质和图像 也可以把问 题转化为解方程或不等式 三 练一练 设每名工人一天能做某种型号的工艺品 x 个 若某工艺厂每天要生产这种工艺品 60 个 则需工人 y 名 1 求 y 关于 x 的函数解析式 2 若一名工人每天能做的工艺品个数最少 6 个 最多 8 个 估计该工艺品厂每天需要做这种工艺品 的工人多少人 四 说一说 请你说一说本节课自己的收获并对自己参与学习的程度做出简单的评价 五 作业 26 226 2 实际问题与反比例函数 实际问题与反比例函数 2 2 教学目标 1 经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型 进而解决实际问题的过程 2 体会数学与现实生活的紧密性 培养学生的情感 态度 增强应用意识 体会数形结合的数学思想 3 培养学生自由学习 运用代数方法解决实际问题的能力 教学重难点 重点是运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系 进而利用反比例函数的 图像及性质解决问题 难点是例 2 中变量的反比例函数关系的确定建立在对实验数据进行有效的分析 整合的基础之上 过程较 为复杂 教学设计 一 创设情境 引入新课 如图 在温度不变的条件下 通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压 测出每一次加压后气缸内气体的 体积和气体对气缸壁所产生的压强 1 请根据表中的数据求出压强 p kpa 关于体积 V ml 函数解析式 2 当压力表读出的压强为 72 kpa 时 气缸内的气体压缩到多少 ml 体积 V ml 压强 p kpa 10060 9067 8075 7086 60100 分析 1 对于表中的实验数据你将作怎样的分析 处理 2 能否用图像描述体积 V 与压强 p 的对