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数列复习课 数列目标 1 知识目标 理解数列的概念 通项公式 数列和函数之间的关系 理解数列的递推公式 明确递推公式与通项公式的异同 理解数列前n项和Sn与通项an之间的关系 2 能力目标 会用通项公式写出数列的任意一项 对于比较简单的数列 会根据其前几项写出它的一个通项公式 会根据数列的递推公式写出数列的前几项 能根据数列的前n项和公式写出通项公式 培养学生观察 归纳 推理的能力 3 德育目标 培养学生联系 类比的能力 集合元素的性质 函数的概念 想一想 确定性互异性无序性 函数就是特殊的映射 看下面一组实例 1 堆放的钢管4 5 6 7 8 9 10 2 正整数1 2 34 的倒数1 1 2 1 3 1 4 3 4 1的正整数次幂 1 1 1 1 5 无穷多个1数排成一列数 1 1 1 共同特点1 都是一列数 2 有一定的次序 21 2的精确到1 0 1 0 01 0 001 的不足近似值排列成一列数 1 1 4 1 41 1 414 有限 无限 无限 无限 无限 特殊函数 数列 递推公式 分类 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 定义 通项公式 图象表示 项数 项的大小 本节基础知识框图表解 通项公式 递推公式是反映数列内在规律的重要公式 下面列表阐明它们的异同 不同点 通项公式 递推公式 给出n的值 可求出数列中的第n项 由前项 或前几项 的值 通过一次 或多次 运算 逐步地求出第n项an 相同点 可确定一个数列 求出数列中的任意一项 数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做数列 数列中的每一个数都叫做这个数列的项 各项依次叫做这个数列的第一项 或首项 第2项 第n项 数列中的数是按一定次序排列的 因此 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同 那它们就是不同的数列 例如 4 5 6 7 8 9 10与数列10 9 8 7 6 5 4是不同的数列 在数列的定义中 并没有规定数列中的数必须不同 因此 同一个数在数列中可以重复出现 数列的一般形式可以写成a1 a2 a3 a4 a5 an 上面的数列可简记作 an 例如 把数列1 2 4 8 2n 简记作 2n 数列的项通常用字母加右下角标表示 其中右下角标表示项的位置序号 我们还应注意到这里 an 与an是不同的 an 表示数列a1 a2 a3 a4 a5 an 而an只表示这个数列的第n项 这里 an 是数列的简记符号 并不表示一个集合 关于定义的理解 再强调以下几点 1 an 与an是不同的概念 an 表示数列a1 a2 a3 a4 a5 an 而an只表示数列 an 的第几项 2 数列的项与它的项数是不同的概念 数列的项是指这个数列中的某一个确定的数 是一个函数值 也就是相当于f n 而项数是指这个数在数列中的位置序号 它是自变量的值 相当于f n 中的n 3 次序对于数列来讲是十分重要的 有几个相同的数 由于它们的排列次序不同 构成的数列就不是一个相同的数列 显然数列与数集有本质的区别 如 2 3 4 5 6这5个数按不同的次序排列时 就会得到不同的数列 而 2 3 4 5 6 不论按怎样的次序排列都是同一个集合 如果数列 an 的第n项an与之间的关系可用一个公式来表示 这个公式就叫做这个数列的通项公式 例如 数列4 5 6 7 8 9 10的通项公式an n 3 n 7 这里n 7 表示n取不大于7的正整数 因为数列中只有7项 数列的通项公式 数列 的通项公式是an 这里n取所有正整数 此数列有无穷多项 再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点 1 数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集 1 2 n 为定义域的函数的表达式 2 如果知道了数列的通项公式 那么依次用1 2 3 去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项 同时 用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项 如果是的话 是第几项 3 如所有的函数关系不一定都有解析式一样 并不是所有的数列都有通项公式 4 有的数列的通项公式 在形式上不一定是唯一的 5 有些数列 只给出它的前几项 并没有给出它的构成规律 那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一 对于数列4 5 6 7 8 9 10 每一项的序号与这一项有下面的对应关系 序号 1234567 45678910 这就是说 上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射 因此 从映射 函数的观点看 数列可以看作是一个定义域为正整数集N 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数 当自变量从小到大依次取值时 对应的一列函数值 这里的函数是一种特殊的函数 它的自变量只能取正整数 数列的图象 数列是一种特殊的函数 数列是可以用图象直观的表示的 数列用图象来表示 可以以序号为横坐标 相应的项为纵坐标 描点画图来表示一个数列 在画图时 为方便起见 在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同 如下图 表示数列4 5 6 7 8 9 10的图象 从图上看 数列可用一群孤立的点表示 从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况 把数列与函数比较 数列是特殊的函数 特殊在定义域是正整数集或由以 为首的有限个连续正整数组成的集合 其图象是无限个或有限个孤立的点 O 根据数列的项数可以对数列进行分类 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列 在写数列时 对于有穷数列 要把末列 有穷数列的最后一项叫末项 写出 例如数列1 3 5 7 9 2n 1 表示有穷数列 如果把数列写成1 3 5 7 9 或1 3 5 7 9 2n 1 它就表示无穷数列 无穷数列没有末项 数列的分类 补充说明 按照项与项之间的大小关系 数列的增减性 可以分为以下几类 1 一个数列 如果从第2项起 每一项都不小于它前面的一项 即an 1 an 这样的数列叫做递增数列 2 一个数列 如果从第2项起 每一项都不大于它前面的一项 即an 1 an 这样的数列叫做递减数列 3 一个数列 如果从第2项起 有些项大于它的前一项 有些项小于它的前一项 这样的数列叫做摆动数列 4 一个数列 如果它的每一项都相等 这个数叫做常数列 如果已知数列 an 的第1项 或前几项 且任一项an与它的前一项an 1 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种重要形式 想一想 任何一个数列都能写出其通项公式或递推公式吗 虽然有些数列可以写出其通项公式或递推公式 但并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式 请试举几例 递推数列 典型例题解析与规律 方法 技巧总结 例1写出数列的一个通项公式 使它的前几项分别是下列各数 1 3 0 3 6 9 解 后一项均等于前一项加上3 那么第n项就是第一项加上 n 1 个3 即an 3 n 1 3 3n 6 2 3 5 9 17 33 解 每一项都可以视为2的多少次幂加上1的形式 即an 2n 1 小结 1 数列的通项公式在数列中占有极其重要的地位 它是数列的核心 2 对于给出数列的前几项求数列的一个通项公式这类问题 常归纳为数列的各项中的有关元素与项数的相依变化规律而求之 例2写出数列的一个通项公式 使得它的前几项是下列各数 2 0 9 0 99 0 999 0 9999 解 任何一个整数都可以看成一个分数 所以此数列可以看作是自然数列的倒数 正负相间用 1 的多少次幂进行调整 其通项公式为an 1 n 解 原数列可变形为 1 1 1 1 故通项公式为an 1 1 1 小结 用观察归纳法写出数列的一个通项公式 体现了由特殊到一般的思维规律 观察 分析问题的特点是最重要的 观察要有目的 要能观察出特点 观察出项与项之间的关系 规律 这类问题就是要观察各项与对应的项数之间的项数之间的联系 利用我们熟知的一些基本数列 如自然数列 奇偶数列 自然数列的前n项数列 自然数的平方数列 简单的指数数列 建立合理的联想 转换而达到问题的解决 还必须熟练地掌握一些基本数列的通项公式 比如下面这些数列均属于基本数列 它们的通项公式必须要记住 1 数列 1 1 1 1 的通项公式是 an 1 n 2 数列1 2 3 4 的通项公式是 an n 3 数列1 3 5 7 的通项公式是 an 2n 1 4 数列2 4 6 8 的通项公式是 an 2n 5 数列1 2 4 8 的通项公式是 an 2n 1 6 数列1 4 9 16 的通项公式是 an n2 7 数列1 的通项公式是 an 其中n N 例3 设a1 2 an 1 2an 3 则通项an可能是 A 5 3nB 3 2n 1 1C 5 3n2D 5 2n 1 3 分析 问题已给出递推公式 由此公式写出数列的前几项 然后检验这几项与选择项中哪个式子相符合 可作出判断 解 由递推公式 可算得a1 2 a2 7 而由选择项中的通项 分别算得 A a1 2 a2 1 B a1 2 a2 5 C a1 2 a2 7 D a1 2 a2 7 D 例4 求数列 2n2 9n 3 中的最大项 分析 由通项公式可以看出 an与n构成二次函数关系 求二次函数的最值可采用配方法 此时要注意其中自变量n为正整数 解 由已知an 2n2 9n 3 由于n为正整数 故当n取2时an取到最大值为13 所以数列 2n2 9n 3 中的最大项为a2 13 小结 数列的项与项数之间构成特殊的函数关系 在用函数的有关知识解决数列问题时 要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件 例5 已知数列 an 的通项公式为an n2 5n 4 1 数列中有多少项是负数 2 n为何值时 an有最小值 并求出最小值 分析 数列的通项an与n之间构成二次函数关系 可结合二次函数知识去进行探求 同时要注意n的取值范围 解