轻松学统计(1)

轻松学统计 1 作者 张忠朴 1 刻板印象 现代人其实离不开统计 但是现代人却又普遍有 统计很难学 的刻版印象 所以在学校上统计课时 学生翘课或上课打瞌睡就成了司空见惯的现象 而相对的 老师也就只好搬出活当 死当来以儆效尤 这种怨憎会的场景真的是学统计的宿命 吗 曾经也被统计公式搞的七晕八素 曾经也在统计课堂中无聊入眠 但是没想到 自己居然会成为教统计的老师 因此我一直希望自己的学生不要重入自己当年的恶 梦 我立志要让学生轻松学统计 但是如果他们已有统计难学的刻版印象 那该如何先让他们放轻松呢 第一招 当然是要打破心结 因此统计的第一节课需要先发制人 先问学生一个问题 统 计难学吗 学生几乎都异口同声的哀叫 难 我沉默以对 让他们迟疑 30 秒之后再问 有没有听过常态分配 学生们几 乎都会略为安心地说 有 我微笑以对 在他们安心 30 秒之后再问 请问是先有常态分配 所以人长 的不高不矮 还是先有身高的事实再有常态分配 同学一阵交头接耳之后 几乎 全数举手赞成是先有身高的事实 再有常态分配 既然这是大家的共识 当然要乘胜突破他们的心防 和颜悦色的告诉大家 既然统计学是事实在先 理论在后 那么我们何苦要自己吓自已 认为统计很难 呢 当大家默默点头之后 就可以继续向他们挑战 既然统计是前人将事实归纳 出的结论 那么让我们也一起重新走过这段寻幽访胜的趣味古道好不好 欢呼声中 我们开始了寻幽访胜之旅 2 寻幽访胜 寻幽访胜的第一个问题是 统计必备的原料是什么 几乎立刻会有人想到 统计的原料是数据 这当然是正确的答案 在兴奋之余再向他们挑战 请问是不是有数据就是统计 老师 那可不见得 那你认为除了数据 还需要加上什么才可能让统计更完整呢 一阵沉思之后 有人提出 要将数据拿来计算 Good 但是要算出什么东西呢 譬如要算出平均身高 对 平均身高是最重要的统计量之一 一般用表示 是代表集中趋势的 统计量 这就上路了 这群学生已渐渐会寻幽访胜了 除了计算平均值 这些数据还可以算出那些名堂 还可以算出差距 请问你说的差距是什么意思 就是指最高身高减最低身高嘛 OK 你所谓的差距就是统计学上所说的全距 一般用 R 来表示 R 是代表离中 趋势的一种统计量 这群学生现在已能慢慢体会到推理的自信与学习的乐趣了 这时不妨给他们一 点更 Tough 的问题 那么请问是不是有了这些计算 等 就算是统计呢 学生由兴奋陷入沈思 沉思之后有些学生开始轻轻的摇头 那你们是不是认为原始数据加上计算并不完全等于统计呢 他们如释重负地拼命点头 但是为了帮他们更趋于严谨而成熟 这时候不但不 能丢救生圈给他们 反而要用铁石心肠来逼问 那么统计倒底是什么 碗糕 3 柳暗花明 虽然他们还不能立即回答这个难题 但是他们至少已明白统计中少不了数据与 计算 而那仍然不足的部分倒底是什么呢 换言之 计算若不是统计的终点 那么 统计最终的目的倒底是什么呢 慢慢地有学生会说 统计的目的是要让我们得到有意义的情报 对 但是什么才是有意义的情报呢 有位同学在经过连番追问后 若有所悟 他突然反守为攻 请问老师能不能举几个有关情报的例子 这样我们就可以回答什么是有意义 的情报了 真是孺子可教 既然问的合情合理 那就先举一个例子让他们揣摩 例 请问 拉力强度很好 算不算是有意义的情报 老师 不算 为什么不算 老师 因为 拉力强度很好 太笼统了 它根本没有任何数据可作判断的参 考 既然初生之犊不畏 唬 那就只有加一点料 再来试试他们 例 2 好 那么我们加上数据 拉力强度平均为 5kg cm2 请问这算不算有 意义的情报 老师 这样的情报虽然有意义 但是仍不理想 为什么 因为只有提到平均值是 5kg cm2 但是我们并不知道这是 0 与 10 的平均 还 是 4 99 与 5 01 的平均 所以很难单凭平均值来判断此一情报是否有意义 这些学生真是成材 他们的思绪已愈来愈严谨了 居然已能从推理中体会到集 中趋势并无法完全代表统计量的事实 不偾不启古有明训 所以只有再为他们指点 迷津 例 3 你们的考虑没错 既然如此 那么我们就再加上范围 大多数产品的拉 力强度在 5kg 0 6kg 之内 这样你们满意了吗 不满意 学生齐哄 为什么 因为大多数太不明确了 得天下英才而教之的喜乐这时一起涌现 这群学生真的太可爱了 那我们把大多数更明确化一点好不好 好 例 4 如果修改成 99 73 的产品拉力强度在 5kg 0 6kg cm2之内 你们 满意吗 一些参与度较高的同学马上表示满意 但仍有一部分没有表示意见 为了确认 全班的认知程度 所以再一次改采主动 请全班同学从例 1 到例 4 中 要挑出一个 他认为最有意义的情报 经过两分钟的表决 结果全班同学一致认为例 4 才是相对 而言最有意义的情报 4 水落石出 经过这一连串的讨论 需要帮学生将思绪重新整理一下 于是在黑板上先画了 下面这张图 然后向学生解释 这是一般生产系统简单的示意图 I 代表 Input 也就是指原 料 P 代表 Production 也就是指加工 O 代表 Output 也就是成品 接着我请大家 想一下如果统计也是一个系统 那么就统计而言上图中的 I P O 分别代表什么呢 有一位同学立刻自告奋勇的冲上黑板 在上图的每一个框框下分别填上 数据 算有意义的情报 等一下 当他要冲回座位时我大叫一声 一面把另一枝粉笔交给他 一面 向他说 谢谢您刚才的答案 这的确是很恰当的答案 但是可否请您再将您的答案作 一点整合 能否试试看将 数据 计算 及 有意义的情报 整理成一个 关系式 这位同学考虑了一下 重新在黑板上写了一个关系式 他一面写 我一面替他高兴 当他写完后 我请他向全班同学解释一下 他充 满自信地说 这个公式的意思是说 数据经过计算后若能产生出有意义的情报 那就是统计 不待我的邀请 全班同学已对他的解释报以热烈的掌声 一面欣赏地看着他走 回座位 一面向全班同学说 你们看 只要大家肯不断地发挥创意 努力思考 我 们就可以自己体会出统计的真谛 所以我们为什么要怕统计呢 但是 下课之前最后我要请各位从大家例 4 中 归纳出有意义的情报应包括那些 构成要素 老师 5kg 代表集中趋势 甲同学说 那 0 6kg 应该是代表离中趋势 乙同学接着说 但是 剩下的 99 73 呢 我反问 老师 那是指含盖在 5 0 6kg 这个范围之内的机率 完全正确 所以希望各位同学能将刚才讨论的例子一般化 其实就统计学而言 任何有意义的情报都有三个构成要素 分别是 1 集中趋势 通常以作代表 2 离中趋势 通常以 作代表 3 被含盖在特定范围内的机率 为了加深同学的印象 所以下课之前才请他们翻开课本上的常态分配图 然后请问他们 如果成年男子的身高平均值 是 167cm 标准差 是 8cm 那么请 问大约有多少成年男子的身高在 159 至 175cm 之间 立刻有学生回答 68 26 为什么 因为 159cm