平面向量专题复习

平面向量专题复习平面向量专题复习 一 一 向量的有关概念 向量的有关概念 1 1 向量的模计算公式 向量的模计算公式 1 1 向量法 向量法 a 2 aaa 2 2 坐标法 设 坐标法 设 x x y y 则 则 aa 22 yx 2 2 单位向量的计算公式 单位向量的计算公式 长度为长度为 1 1 个单位长度的向量 叫单位向个单位长度的向量 叫单位向 量量 1 1 与向量 与向量 x x y y 同向的单位向量是 同向的单位向量是 a 2222 yx y yx x 2 2 与向量 与向量 x x y y 反向的单位向量是 反向的单位向量是 a 2222 yx y yx x 3 3 平行向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量 规定 零向量与任一向量平行 规定 零向量与任一向量平行 两向量共线 平行 的充要条件 两向量共线 平行 的充要条件 设设 x x1 1 y y1 1 x x2 2 y y2 2 ab 为实数为实数 向量法 向量法 abb0ab 坐标法 坐标法 x x1 1 y y2 2 x x2 2 y y1 1 0 0 abb0 y y1 1 0 0 y y 2 2 0 0 2 2 1 1 y x y x 4 4 垂直向量 垂直向量 规定 零向量与任一向量垂直 规定 零向量与任一向量垂直 两向量垂直的充要条件 两向量垂直的充要条件 设设 x x1 1 y y1 1 x x2 2 y y2 2 ab 向量法 向量法 0 0 abab 坐标法 坐标法 x x1 1x x2 2 y y1 1y y2 2 0 0ab 5 5 平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式 若若 11 yxA 22 yxB 则 则 1212 yyxxAB 22 2121 ABxxyy 二 二 向量的加法 向量的加法 1 1 向量法 三角形法则 首尾相接首尾连 向量法 三角形法则 首尾相接首尾连 平行四边形法则 平行四边形法则 起点相同连对角 起点相同连对角 2 2 坐标法 设 坐标法 设 x x1 1 y y1 1 x x2 2 y y2 2 ab 则则 x x1 1 x x2 2 y y1 1 y y2 2 a b 三 三 向量的减法 向量的减法 1 1 向量法 三角形法则 首首相接尾尾连 差向量的方向指向 向量法 三角形法则 首首相接尾尾连 差向量的方向指向 被减向量 被减向量 2 2 坐标法 设 坐标法 设 x x1 1 y y1 1 x x2 2 y y2 2 ab 则则 x x1 1 x x2 2 y y1 1 y y2 2 a b 3 3 重要结论 重要结论 ababab 四 四 两个向量的夹角计算公式 两个向量的夹角计算公式 1 1 向量法 向量法 coscos ba ba 2 2 坐标法 设 坐标法 设 x x1 1 y y1 1 x x2 2 y y2 2 则 则 coscos ab 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 五 五 平面向量的数量积计算公式 平面向量的数量积计算公式 1 1 向量法 向量法 cos cos abab 2 2 坐标法 设 坐标法 设 x x1 1 y y1 1 x x2 2 y y2 2 ab 则则 x x1 1 x x2 2 y y1 1 y y2 2ab 3 3 的几何意义 的几何意义 ab 数量积数量积 等于等于的长度的长度 与与在在的方向上的投影的方向上的投影 abaaba cos cos 的乘积 的乘积 b 4 4 平面向量基本定理 如果平面向量基本定理 如果 是同一平面内的两是同一平面内的两e1e2 个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对 实数实数 1 1 2 2 使得 使得 1 1 2 2不共线的向量不共线的向量 叫叫 a e1e2e1e2 做表示这一平面内所有向量的一组基底 做表示这一平面内所有向量的一组基底 六 六 三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABC ABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为 11 A x y 22 B x y 则 则 ABC ABC 的重心的坐标是的重心的坐标是33 C x y 123123 33 xxxyyy G 中点坐标公式中点坐标公式 2 2 21 21 yy y xx x 平面向量专题例析平面向量专题例析 1 1 2014 2014 高考广东卷文第高考广东卷文第 3 3 题题 已知向量已知向量 1 2a 3 1b 则则 ba A A B B C C D D 2 1 2 1 2 0 4 3 2 20142 2014 北京文北京文 3 3 已知向量已知向量 则 则 2 4a 1 1b 2ab A A B B C C D D 5 7 5 9 3 7 3 9 3 3 2014 2014 高考全国高考全国 2 2 卷文第卷文第 4 4 题题 设向量设向量满足满足 ba 则 则 10 ba 6 ba ba A A 1 1 B B 2 2 C C 3 3 D D 5 5 4 4 2014 2014 高考大纲卷文第高考大纲卷文第 6 6 题题 已知已知为单位向量 其夹角为为单位向量 其夹角为 ba 6060 则 则 2 2a b b A A 1 1 B B 0 0 C C 1 1 D 2D 2 5 20145 2014 高考江西卷文第高考江西卷文第 1212 题题 已知单位向量已知单位向量 23 3 1 cos 2121 aeeaee 则若向量且的夹角为 6 20146 2014 高考重庆卷文第高考重庆卷文第 1212 题题 已知向量已知向量 bababa 则 且的夹角为与 10 6 2 60 7 20147 2014 高考山东卷文第高考山东卷文第 7 7 题题 已知向量已知向量 若若 1 3a 3 bm 向量向量的夹角为的夹角为 则实数 则实数 a b 6 m A A B B C C 0 0 D D 2 333 8 20148 2014 高考四川卷文第高考四川卷文第 1414 题题 平面向量平面向量 1 2 a 4 2 b cmab m R 且 且c 与与a 的夹角等于的夹角等于c 与与 b 的夹角 则的夹角 则m 9 9 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 3 3 设向量设向量满足满足 1 1 a b a b 则则 a b 1 2 2ab A A B B C C D D 2 357 解析解析 222 2 2 44ababaa bb 22 44aa bb 1 14 4 13 2 1010 设向量 设向量 1 1 与 与 1 1 2 2 垂直 则 垂直 则a cos b cos 等于等于 cos2 A A B B C C 0 0 D 1D 1 2 2 1 2 1111 已知向量 已知向量夹角为夹角为 且 且 则 则 a b 45 1 210aab b 解析解析 因为因为 所以 所以 即 即 102 ba 10 2 2 ba 所以 所以 1044 22 bbaa 1045cos44 0 2 bb 整理得整理得 解得 解得或或 舍 舍 0622 2 bb23 b2 b 去 去 答案答案 3 2 1212 为平面向量 已知为平面向量 已知 4 4 3 3 2 2 3 3 1818 则 则 a b a a b 夹角的余弦值等于夹角的余弦值等于 a b A A B B C C D D 8 65 8 65 16 65 16 65 13 200813 2008 海南 宁夏文海南 宁夏文 已知平面向量已知平面向量a 1 1 3 3 b 4 4 2 2 ab 与与 a 垂直 则垂直 则 是 是 A A 1 1 B B 1 1C C 2 2D D 2 2 解 由于解 由于 4 32 1 3 abaaba 43320 即 即10 1001 1414 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 3 3 已知向量已知向量 若 若为实数 为实数 则 则 1 2 1 0 3 4 abc abc A A B B C C D D 1 4 1 212 解析解析 2 1 0 2 1 ba abc 2 1 0324 1 15 15 20112011 年高考海南卷文科年高考海南卷文科 13 13 已知已知与与为两个不共线的单为两个不共线的单a b 位向量位向量 k k 为实数为实数 若向量若向量与向量与向量垂直垂直 则则 ab kab k 16 16 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 7 7 如图 正六边形如图 正六边形 ABCDEFABCDEF 中 中 BACDEF A 0 A 0 B B C C D D BE AD CF 解析 BACDEFDECDEFCDDEEFCF 1717 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 13 13 设向量设向量 a b 满足满足 2 5 2 1 ab 且且a b 与 的方向相反 则的方向相反 则a 的坐标为的坐标为 解析 由题解析 由题 2 215b 所以